第2章 05-易混易错练2（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（苏教版）

该高中数学课件聚焦“圆与方程”单元，系统梳理圆的一般方程条件、直线与圆位置关系、切线方程及弦长计算等核心内容，通过“易错点分类”（忽视圆的一般方程条件、特殊点/直线、隐含条件）构建知识网络，串联知识点内在逻辑。 其亮点在于“易错点专项突破”复习模式，如针对“忽视圆的一般方程条件”设计含参数圆的方程问题，结合解析与警示培养数学抽象能力，通过切线方程分类讨论（斜率存在与不存在）发展逻辑推理，利用曲线方程转化（如半圆与直线交点）强化模型意识。分层例题设计适配不同学生，助力教师精准教学，有效巩固知识。

第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 专题专项练 易混易错练2 第1讲　描述运动的基本概念 易错点1　忽视圆的一般方程表示圆的条件致错 1.[2026江苏宿迁泗阳实验高级中学调研]若点A(0,4)在圆x2+y2+2kx-4y+k2-k-2=0外,则实数k的取值范围 是 (　　　) A.(-1,2)　　　     B.(-∞,-1)∪(2,+∞) C.(-6,-1)∪(2,+∞)　　　    D.(-6,+∞)     C     解析    因为方程x2+y2+2kx-4y+k2-k-2=0表示圆, 所以(2k)2+(-4)2-4(k2-k-2)>0(易错点),所以k>-6.① 又点A(0,4)在圆外,所以k2-k-2>0,解得k>2或k<-1.② 由①②取交集可得,实数k的取值范围是(-6,-1)∪(2,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 2.已知a>0,b>0,若直线2x+y-2=0平分圆x2+y2-2ax-4by+1=0,则 + 的取值范围是_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　由圆的一般方程得圆心为(a,2b),4a2+16b2-4>0,即a2+4b2-1>0(易错点), 因为直线2x+y-2=0平分圆,所以圆心(a,2b)在该直线上,即2a+2b-2=0,即a=1-b①, 将①代入a2+4b2-1>0,得5b2-2b>0, 即b(5b-2)>0,因为b>0,所以b> , 又a=1-b>0,所以b<1,即b∈ . 则 + = (a+b)= + + , 令t= ,则t∈ ,原式= +t+ , 因为函数y=t+ 在t∈ 上单调递减,所以t+ > ,所以 +t+ > ,所以 + 的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示    在处理圆的一般方程的相关问题时,第一步必须先验证D2+E2-4F的符号,只有当D2+E2-4F>0 时,才能按圆的性质进行后续计算,若忽略此条件,会导致解题的前提错误,结果必然偏离正确答案.如:第 1题易忽视D2+E2-4F>0而得到实数k的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞);第2题易忽视D2+E2-4F>0而误得b∈ (0,1). 第1讲　描述运动的基本概念 易错点2　忽视特殊点、特殊直线致错 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江苏常州田家炳高级中学调研]已知A(0,5)和P(3,4)为圆C:x2+(y-b)2=r2(r>0)上两点. (1)求圆C的方程; (2)过点Q(5,3)向圆C作切线m,求切线m的方程; (3)若过点P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为15,求l的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵A(0,5)和P(3,4)为圆C:x2+(y-b)2=r2(r>0)上两点, ∴ ∴  ∴圆C的方程为x2+y2=25. (2)若过点Q的直线的斜率不存在(易错点),则直线的方程为x=5,显然与圆C相切; 若过点Q的直线的斜率存在,则设其方程为y-3=k0(x-5),即k0x-y-5k0+3=0,当该直线与圆相切时, 由圆心C(0,0)到切线的距离为半径的长,得 =5,解得k0=- , ∴切线的方程为y-3=- (x-5),即8x+15y-85=0. 综上,切线m的方程为x=5或8x+15y-85=0. (3)当直线l的斜率不存在时(易错点),直线l的方程为x=3,则B(3,-4),点A到直线PB的距离为3,则S△ABP= ×8 第1讲　描述运动的基本概念 ×3=12,与已知矛盾; 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-4=k(x-3),即kx-y+4-3k=0, 设P(x1,y1),B(x2,y2), 联立  得(k2+1)x2+(8k-6k2)x+9k2-24k-9=0, 则x1+x2= ,x1x2= , 由弦长公式可得, PB= · =   =  第1讲　描述运动的基本概念 =  = , 点A到直线l的距离d= ,则S△ABP= × × =15, 解得k= 或k=3,则直线l的方程为4x-3y=0或3x-y-5=0. 易错警示　利用待定系数法求过定点的直线时,常设直线方程为点斜式,点斜式使用的前提是斜率存 在,不要默认直线的斜率存在而忽略了斜率不存在的情况. 第1讲　描述运动的基本概念 易错点3　忽视隐含条件致错 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026江苏连云港高级中学月考]若直线y=x+b与曲线y=- 恰有一个公共点,则实数b的取值范围 为___________________.     (-1,1]∪{- }     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由y=- ,可得y2=1-x2,即x2+y2=1(y≤0)(易错点), 所以曲线y=- 是圆x2+y2=1在x轴及x轴下方的部分, 作出曲线y=- 与直线y=x+b,如图所示,   当直线y=x+b与圆x2+y2=1相切且切点在第四象限内时,b<0且 =1,所以b=- ,此时直线y=x+b与曲线y= - 有1个公共点; 当直线y=x+b过点(0,-1)时,b=-1,此时直线y=x+b与曲线y=- 有2个公共点; 第1讲　描述运动的基本概念 当直线y=x+b过点(-1,0)时,b=1,此时直线y=x+b与曲线y=- 有1个公共点. 结合图形可知,曲线y=- 与直线y=x+b恰有1个公共点时,实数b的取值范围是(-1,1]∪{- }. 易错警示　判断方程表示的曲线时,要注意方程成立的前提条件,如本题中要注意y=- 中y≤0的条 件,若忽略这类隐含条件(变量范围、曲线实际形状等),直接按完整图形计算,会导致结果错误. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025江苏南通如东高级中学开学考试]已知以点C (t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于O,A两点,与y 轴交于O,B两点,其中O为坐标原点. (1)求证:△OAB的面积为定值; (2)设直线y=-2x+4与圆C交于M,N两点,若OM=ON,求圆C的标准方程; (3)在(2)的条件下,设P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:设圆的半径为r.因为圆心为C t,  (t∈R,t≠0),且圆过原点,所以r2=t2+ ,所以圆的标准 方程为(x-t)2+ =t2+ (t∈R,t≠0). 令x=0,得y=0或y= ,令y=0,得x=0或x=2t, 故B ,A(2t,0), 则S△OAB=  =4,所以△OAB的面积为定值. (2)由OM=ON可知MN的垂直平分线过原点,又弦的垂直平分线必过圆心,故直线OC与直线y=-2x+4垂直, 则kOC·(-2)=-1,即 ·(-2)=-1,解得t=±2,所以圆心C(2,1)或C(-2,-1), 则圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5. 第1讲　描述运动的基本概念 易得当圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5时,直线2x+y-4=0与圆相交; 当圆的方程为(x+2)2+(y+1)2=5时,圆心到直线2x+y-4=0的距离d= = > ,故直线与圆不相交, 舍去, 所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5. (3)由(2)可知,圆心C(2,1),半径为 ,B(0,2), 设点B关于直线x+y+2=0的对称点为B'(x,y), 则线段BB'的中点为 , 则 解得  第1讲　描述运动的基本概念 即B'(-4,-2), 则PB+PQ=PB'+PQ≥B'Q,当B',P,Q三点共线时取等号,又点B'到Q的最短距离为B'C- =  - =2 ,所以PB+PQ的最小值为2 ,此时直线B'C的方程为y= ,点P为直线B'C与直线l的交点, 由 解得  即点P . 故PB+PQ的最小值为2 ,此时P . 易错警示　审题不严,对题中的隐含条件处理不当,常会造成解题错误,如直线与圆相交时,要在有交点 的情况下研究其他问题. 第1讲　描述运动的基本概念 $