第2章 03-2.2 直线与圆的位置关系（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（苏教版）

该高中数学课件聚焦“直线与圆的位置关系”核心知识点，通过题组形式衔接圆的方程、点与圆位置关系等前置内容，以位置关系判断、切线问题、弦长与中点弦为题组构建递进学习支架，帮助学生逐步深化理解。 其亮点在于结合丰富实例解析，用数学眼光观察几何现象，如“太极图”斜率问题；以数学思维推导逻辑，如切线长公式推导；用数学语言表达规律，如弦长公式应用。创新题型如机器人捕获问题培养应用意识，助力学生提升推理与问题解决能力，也为教师提供分层教学资源，提高教学效率。

第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 2.2　直线与圆的位置关系 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　直线与圆的位置关系 1.[2026江苏南通如皋中学阶段测试]已知直线l:ax+2y+a+4=0与圆C:x2+y2+2y-2=0,则直线l与圆C的位置 关系是 (　　　) A.相离　　　    B.相切　　　    C.相交　　　    D.不确定     C     解析　直线l的方程ax+2y+a+4=0可写成a(x+1)+2y+4=0,因此直线l过定点(-1,-2). 因为(-1)2+(-2)2+2×(-2)-2=-1<0,所以点(-1,-2)在圆C内,则直线l与圆C相交. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏常州西夏墅高级中学调研]已知直线l:x+y-2=0与圆C:x2+y2=2,点A(1,1),则下列说法正确的是  (　　　) A.点A在圆C上,直线l与圆C相切 B.点A在圆C内,直线l与圆C相交 C.点A在圆C外,直线l与圆C相切 D.点A在圆C上,直线l与圆C相交     A     解析　易得圆C:x2+y2=2的圆心C(0,0),半径r= , 因为12+12=2,所以点A在圆C上, 又圆心C(0,0)到直线l:x+y-2=0的距离d= = =r, 所以直线l与圆C相切. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江苏南京中华中学调研]若圆C:x2+y2-12x+10y+25=0上有四个不同的点到直线l:3x+4y+c=0的距 离为3,则c的取值范围是 (　　　) A.(0,17)　　　     B.(-13,0) C.(-13,17)　　　    D.(13,17)     C     解析　圆C:x2+y2-12x+10y+25=0可化为(x-6)2+(y+5)2=36, 故圆心为C(6,-5),半径为6. 要使圆上有四个不同的点到直线l:3x+4y+c=0的距离为3, 则圆心C到直线l的距离小于3,即 <3,解得-13<c<17. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2026江苏盐城滨海东坎高级中学月考]已知直线l:ax+by=1,圆C:x2+y2=1,点M(a,b),则 ( ) A.若M在圆C上,则直线l与圆C相交 B.若M在圆C内,则直线l与圆C相离 C.若M在圆C外,则直线l与圆C相交 D.若M在直线l上,则直线l与圆C相离     BC 第1讲　描述运动的基本概念 解析　由圆C:x2+y2=1,得圆心C(0,0),半径r=1. 对于A,若M在圆C上,则MC= =r=1, 圆心C到直线l的距离为 =1=r,故直线l与圆C相切,故A错误. 对于B,若M在圆C内,则MC= <1, 圆心C到直线l的距离为 >1=r,故直线l与圆C相离,故B正确. 对于C,若M在圆C外,则MC= >1, 圆心C到直线l的距离为 <1=r,故直线l与圆C相交,故C正确. 对于D,若M在直线l上,则a2+b2=1, 圆心C到直线l的距离为 =1=r,则直线l与圆C相切,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　直线与圆相切问题 5.[2026江西萍乡上栗中学月考]过点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=4的切线,切点为B,则切线段AB的长为  (　　　) A. 　　　    B.3　　　    C. 　　　    D.      C     解析　易知圆(x-2)2+(y-3)2=4的圆心为(2,3)(记为M),半径r=2,连接AM,MB, 则AM= = ,由题意得MB⊥AB,故AB= = .   第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江苏徐州新沂阶段检测]若过点P(1,2)的直线l1与圆C:(x-2)2+y2=5相切,又与直线l2:ax-y+1=0平行, 则a= (　　　) A.2　　　    B.1　　　    C.- 　　　    D.      D     解析　设与直线l2:ax-y+1=0平行的直线l1的方程为ax-y+m=0(m≠1), 因为直线l1过点P(1,2),所以a-2+m=0,得m=2-a,所以直线l1:ax-y+2-a=0, 又因为直线l1与圆C:(x-2)2+y2=5相切, 所以圆心C(2,0)到直线l1的距离为 = ,所以a= . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[多选题][2026江苏淮安涟水第一中学月考]已知自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其反射 光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,则入射光线l所在直线的方程为 (　　　　) A.4x+3y+3=0　　　    B.4x-3y+3=0 C.3x+4y+3=0　　　    D.3x+4y-3=0     AD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　已知圆x2+y2-4x-4y+7=0(设为圆C)的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1, 它关于x轴的对称圆C'的方程是(x-2)2+(y+2)2=1, 可知入射光线l所在直线的斜率存在,设光线l所在直线的方程是y-3=k(x+3),   由题知对称圆的圆心C'(2,-2)到这条直线的距离等于1,即 =1. 整理得12k2+25k+12=0,解得k=- 或k=- ,故入射光线l所在的方程是y-3=- (x+3)或y-3=- (x+3),即3x+4y- 3=0或4x+3y+3=0. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026浙江湖州安吉高级中学月考]“太极图”因其形状如中心对称的阴阳两鱼互纠在一起,故也被 称为“阴阳鱼太极图”.右图是放在平面直角坐标系中的“太极图”,图中曲线为圆或半圆,已知点P(x, y)是阴影部分(包括边界)的动点,则 的最小值为 (　　　)   A.- 　　　    B.- 　　　    C.- 　　　    D.-1     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图所示,设A(2,0),则 为直线AP的斜率,易知直线AP的斜率存在,设lAP:y=k(x-2),   结合图形可知,当直线AP与半圆x2+(y-1)2=1(x>0)相切时,斜率k最小, 此时 =1,解得k=- 或k=0(舍去),故 的最小值为- . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026江苏宿迁第一高级中学月考]已知直线l:x-y-6=0和圆C:x2+y2+2x+2y-6=0.若P是直线l上的动点,过 P作圆C的一条切线,切点为M,则PM的最小值为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　由圆C:x2+y2+2x+2y-6=0,得(x+1)2+(y+1)2=8, 故圆心为C(-1,-1),半径r=2 , 已知直线l:x-y-6=0,点P在直线l上,设点P(t,t-6),连接PC,CM, 则PC= = , 由圆的切线性质可得,PM= = = = ≥ ,当且仅当t=2时,PM 取得最小值,最小值为 .   第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025江苏泰州期中]已知方程x2+y2+4x-2my+2m2-2m-4=0(m∈R)表示圆C. (1)求实数m的取值范围; (2)当圆C的面积最大时,求过点A(1,0)的圆的切线方程; (3)P为圆上任意一点,已知点B(3,0),在(2)的条件下,求PA2+PB2的最小值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)方程x2+y2+4x-2my+2m2-2m-4=0(m∈R)可化为(x+2)2+(y-m)2=-m2+2m+8, ∵该方程表示圆, ∴-m2+2m+8>0,解得-2<m<4, ∴实数m的取值范围为(-2,4). (2)圆C的半径r= = (-2<m<4),当m=1时,圆C的半径最大,即圆C的面积最大, 此时圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=9,圆心C(-2,1),半径r=3, 当切线斜率不存在时,其方程为x=1,满足题意; 当切线斜率存在时,设其方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,则 =3,解得k= , ∴所求切线方程为y= (x-1),即4x-3y-4=0. 综上,切线的方程为x=1或4x-3y-4=0. 第1讲　描述运动的基本概念 (3)设P(x,y),∵C(-2,1),A(1,0),B(3,0), ∴PA2+PB2=(x-1)2+y2+(x-3)2+y2=2[(x-2)2+y2]+2, 设M(2,0),则(x-2)2+y2表示圆C上的点P与点M的距离的平方, ∵CM= = >3, ∴点M在圆C外, ∴(PM)min=CM-r= -3, 则(PA2+PB2)min=2( -3)2+2=54-12 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　圆的弦长与中点弦 11.[2026江苏南京师范大学附属中学阶段测试]若圆C:(x-2 )2+(y+2 )2=r2(r>0)与y轴相切,则圆C截x轴 所得的弦长为 (　　　) A.4　　　    B.2 　　　    C.8　　　    D.4      C     解析　已知圆C:(x-2 )2+(y+2 )2=r2(r>0),则其圆心为C(2 ,-2 ),半径为r, 因为圆C与y轴相切,所以r=2 , 所以圆C截x轴所得的弦长为2 =2 =8. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026安徽部分学校检测]已知点A,B为圆C:x2+y2-8y+4=0上两点,AB= ,点P为线段AB的中点,则CP=  (　　　) A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      C     解析　圆C的标准方程为x2+(y-4)2=12, 其圆心为C(0,4),半径R=2 , 因为P为线段AB的中点,AB= , 所以CP= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2025江苏常州期中]已知圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线x-2ay-9=0对称,则圆C中以 为中点的弦 的长为 (　　　) A.1　　　    B.2　　　    C.3　　　    D.4     D     解析　方程x2+y2-2x+4y=0可化为(x-1)2+(y+2)2=5,故圆C的圆心为C(1,-2),半径R= , 由题意知直线x-2ay-9=0过圆心C,所以1+4a-9=0,即a=2,故 即(1,-1),记为A,易知以A为中点的弦与 CA垂直(关键点), 又CA=1,所以弦长为2 =4. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026江苏连云港赣榆高级中学检测]已知一个圆与y轴相切,直线y=x被该圆截得的弦长为2 ,且圆 心在直线x-3y=0上,则此圆的方程为_______________________________________.     (x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9     解析　由题意可设圆心坐标为(3m,m),则圆的半径为3|m|, 故圆的方程为(x-3m)2+(y-m)2=9m2, 圆心(3m,m)到直线y=x的距离d= = |m|, 所以直线y=x被该圆截得的弦长为2 =2 |m|, 故2 |m|=2 ,解得m=±1, 故此圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9. 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2026江苏盐城东台中学期中]如图,圆x2+y2=8内有一点M(-1,2),AB为过点M的弦,且其所在直线的倾 斜角为α. (1)当α= 时,求AB的长; (2)是否存在弦AB被点M平分?若存在,写出直线AB的方程;若不存在,请说明理由; (3)CD是过点M的另一条弦,当AB与CD始终保持垂直时,求AB·CD的最大值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当α= 时,kAB=-1,则直线AB的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0, 易知圆x2+y2=8的圆心为原点且半径为2 , 因为圆心到直线AB:x+y-1=0的距离为 , 所以AB=2 = . (2)假设存在弦AB被点M平分. 当弦AB被点M平分时,点M是AB的中点,   第1讲　描述运动的基本概念 连接OA,OB,OM,则OA=OB,OM⊥AB, 又kOM=-2,所以kAB= , 所以直线AB的方程为y-2= (x+1), 即x-2y+5=0. (3)记点O到AB,CD的距离分别为d1,d2,则 + =OM2=5, 又AB=2 ,CD=2 , 所以AB·CD=4 ≤4× =22, 当且仅当d1=d2= 时等号成立, 所以AB·CD的最大值为22. 第1讲　描述运动的基本概念 16.[2025江苏扬州新华中学期中]已知圆C:(x+2)2+y2=9及点P(0,1),过点P的直线与圆交于A,B两点. (1)若AB=4 ,求直线AB的方程; (2)求△ABC面积的最大值,并求此时弦AB的长. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)若直线AB的斜率不存在,则直线AB的方程为x=0,此时AB=2 ,不符合题意,所以直线AB的斜 率存在,设直线AB的方程为y=kx+1, 易知圆C的圆心为C(-2,0),半径为3,又AB=4 , 所以C到直线AB的距离为 =1, 则 =1,可得3k2-4k=0,解得k=0或k= , 所以直线AB的方程为y=1或4x-3y+3=0. (2)由(1)知当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=0,AB=2 , 易得C(-2,0)到直线AB的距离为2,则S△ABC= ×2×2 =2 ; 若直线AB的斜率存在,设其方程为y=mx+1, 第1讲　描述运动的基本概念 则C到直线AB的距离d= , 故AB=2 =2 , 所以S△ABC= ×d×AB= × , 令t= ,则t≥0, 则S△ABC= ≤ = ,当且仅当t= , 即m=-1或m=-7时等号成立,故S△ABC的最大值为 . 因为 >2 , 所以△ABC面积的最大值为 ,此时AB=2 =3 . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 2.2　直线与圆的位置关系 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　直线与圆的位置关系 1.[2026江苏南通如东三校联考]若圆x2+(y-2)2=r2(r>0)上到直线y= x-2的距离为1的点有且仅有2个,则r 的取值范围是 (　　　) A.(0,1)　　　    B.(1,3)　　　    C.(3,+∞)　　　    D.(0,+∞)     B     解析　由圆x2+(y-2)2=r2(r>0),得圆心为(0,2),半径为r, 则圆心(0,2)到直线y= x-2的距离d= =2, 因为圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个, 所以|r-d|<1,即|r-2|<1,解得1<r<3,故r的取值范围是(1,3). 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏南京金陵中学月考]已知圆C:x2+(y+2)2=r2(r>0)与直线l:y= x+2,直线l上存在点P,过点P可以 作两条互相垂直且与圆C相切的直线,则r的取值范围是 (　　　) A.(0, ]　　　    　 B.(1, ] C.[ ,2)　　　    D.[ ,+∞)     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设两切点为A,B,则PA=PB,由题意得PA⊥PB,连接AC,BC,则四边形PACB是正方形,故PC= r, 因此只要直线l上存在点P,使得PC= r即可满足题意(关键点). 因为C(0,-2),直线l:y= x+2即 x-y+2=0, 所以圆心C到直线l的距离d= =2≤ r,解得r≥ ,所以r的取值范围是[ ,+∞).   第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江苏南京航空航天大学附属高级中学调研]已知A(2,0),B(10,0),若直线tx-4y+2=0上任意一点P,使  · >0恒成立,则t的取值范围为 (　　　) A. 　　　     B.  C. ∪(3,+∞)　　　     D.(-∞,-3)∪      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为A(2,0),B(10,0),且 · >0,所以点P在以AB为直径的圆外(关键点), 易得以AB为直径的圆的方程为(x-2)·(x-10)+y2=0(点拨:圆的直径式方程),即(x-6)2+y2=16, 因为点P为直线tx-4y+2=0上任意一点,所以直线tx-4y+2=0与圆(x-6)2+y2=16相离, 所以圆心(6,0)到直线tx-4y+2=0的距离d大于圆的半径,即d= >4,解得t>3或t<- , 所以t的取值范围为 ∪(3,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026安徽芜湖十二中期中]已知M(m,n)为曲线y=3- 上任意一点,则 的取值范围是 ( ) A. 　　　    B.[1,3] C. 　　　     D.      C 第1讲　描述运动的基本概念 解析　由4x-x2≥0,得0≤x≤4,由y=3- ,得(x-2)2+(y-3)2=4, 易知y≤3,所以曲线y=3- 是圆心为(2,3)(记为C),半径r=2的下半圆(位于直线y=3及直线y=3下方 的部分),其图形如图所示,    表示点M(m,n)与点(-2,-3)(记为P)所连直线的斜率, 令k= ,得km-n+2k-3=0,即点M在直线kx-y+2k-3=0上, 由图知,当直线PM与半圆相切时,有 =2,整理得3k2-12k+8=0, 第1讲　描述运动的基本概念 解得k=2- 或k=2+ (舍),此时k最小, 当M的坐标为(0,3)时,k最大,此时k= =3. 综上, 的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江苏南京师范大学附属中学阶段测试]已知不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)在曲线y= 上, 且满足 = ,则直线AB斜率的取值范围是 (　　　) A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由y= 得(x-2)2+y2=1(y≥0), 所以曲线y= 是以(2,0)(记为C)为圆心,1为半径的上半圆(位于x轴及x轴上方的部分). 设P(0,-1),则由不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)满足 = ,知A,B,P三点共线, 所以过点P(0,-1)的直线与曲线y= 有两个交点. 设E(1,0),则直线PE的斜率是 =1,   设过点P的直线与曲线y= 相切于点T,易知直线PT的斜率存在且不为0,设直线PT的方程为y= 第1讲　描述运动的基本概念 kx-1(k≠0),即kx-y-1=0, 则 =1, 解得k= 或k=0(舍), 结合图形可知,要想过点P的直线与曲线y= 有两个交点,直线AB的斜率的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　圆的切线与弦长问题 6.[2026江苏溧阳戴埠高级中学月考]已知点A(-1,1),B(3,3),线段AB为☉M的一条直径.设过点C(2,-1)且与 ☉M相切的两条直线的斜率分别为k1,k2,则k1+k2= (　　　) A.- 　　　    B.- 　　　    C. 　　　    D.      D     解析　因为点A(-1,1),B(3,3),线段AB为☉M的一条直径,所以圆心为M  ,  ,即M(1,2),圆的半径r = AB=  = , 由题意可知两条切线的斜率均存在,故设切线方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0, 则 = ,化简可得2k2-3k-2=0, 故k1,k2是方程2k2-3k-2=0的两个根,故k1+k2= . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[多选题][2025四川内江期中]已知圆C:(x+1)2+(y-2)2=25,直线l:(3m+1)x+(m+1)y-4m-2=0,直线l与圆C交 于A,B两点,则 (　　　　) A.直线l恒过定点(1,1) B.当m= 时,弦AB最长 C.当m=- 时,弦AB最短 D.(AB)min=2      AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　直线l的方程可化为(3x+y-4)m+x+y-2=0, 令 解得  因此直线l恒过定点(1,1),A正确; 圆C:(x+1)2+(y-2)2=25的圆心为C(-1,2),半径r=5,显然当直线l过圆心时,弦AB最长,则(3m+1)×(-1)+(m+1)×2 -4m-2=0,解得m=- ,B错误; 记P(1,1),易知当CP⊥l时,弦AB最短, 此时- × =-1, 解得m=- ,C正确; 结合C中分析知(AB)min=2 =4 ,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江苏盐城五校联盟联考]设m∈R,圆M:x2+y2+2x-2y-7=0.若动直线l1:x+my-1-2m=0与圆M交于点A, C,动直线l2:mx-y-m+2=0与圆M交于点B,D,则AC+BD的最大值是 (　　　) A.2 　　　    B.2 　　　    C. 　　　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　方程x2+y2+2x-2y-7=0可化为(x+1)2+(y-1)2=9,故圆M的圆心为M(-1,1),半径r=3, 直线l1,l2的方程可分别化为x-1+m(y-2)=0,m(x-1)-(y-2)=0,均恒过点(1,2)(记为E), 由m×1+(-1)×m=0知l1⊥l2,且(1+1)2+(2-1)2=5<9,故E在圆内,如图所示,   连接ME,易得ME= ,设G,F分别是AC,BD的中点,连接MF,MG,MB,MA,则MG⊥AC,MF⊥BD,易知四边形 MFEG为矩形, 令GE=MF=x∈[0, ],则EF=MG= , 第1讲　描述运动的基本概念 所以AC=2 =2 , BD=2 =2 , 所以AC+BD=2( + )≤2× =2 (点拨:柯西不等式), 当且仅当 = ,即x= 时取等号, 故AC+BD的最大值为2 . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025江苏扬州六校联盟联考]过直线l:x-y+4=0上任意一点P作圆O:x2+y2=4的两条切线,切点分别为A, B,则直线AB过定点______________,记线段AB的中点为Q,则点Q到直线l的距离的最小值为_________.     (-1,1)     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设P(x0,y0),则y0=x0+4, 由题意可得直线AB的方程为(x0-0)(x-0)+(y0-0)(y-0)=4,即x0x+y0y=4,又y0=x0+4,∴直线AB的方程为x0(x+y)+ 4y-4=0,故直线AB过定点(-1,1). 设Q(x,y),M(-1,1), 由 · =0,得(x+1)x+(y-1)y=0, 整理得点Q的轨迹方程为 + = , 因为点 到直线l:x-y+4=0的距离d= = > , 所以直线l与圆 + = 相离, 所以点Q到直线l的距离的最小值为 - = . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026江苏盐城六校联盟联考]已知圆C:x2+y2=16,点A(2,2),B(2 026,2 026),P,Q为圆C上的动点,且满足 ∠PAQ=90°,线段PQ的中点为M,则线段MB长度的最大值为________________.     2 025 +      解析　由圆C:x2+y2=16,得圆心为C(0,0),半径r=4. 设M(x,y),由题意得CM⊥PQ, 所以CM2+PM2=16, 因为∠PAQ=90°, 所以AM=PM, 所以CM2+AM2=16,即x2+y2+(x-2)2+(y-2)2=16,化简得(x-1)2+(y-1)2=6, 所以点M在以(1,1)(记为N)为圆心, 为半径的圆上. 又B(2 026,2 026),所以NB= =2 025 , 故线段MB长度的最大值为NB+ =2 025 + . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026江苏常州高级中学阶段考试]平面直角坐标系xOy中,已知定点N(0,2),动点M满足 · =3,记 动点M的轨迹为曲线C.过点O作两条直线分别与曲线C交于P,Q和S,T四点(其中点P,S在x轴上方). (1)求曲线C的方程; (2)若PQ⊥ST,求四边形PTQS面积的取值范围; (3)设PT交x轴于点A,SQ交x轴于点B,证明:OA=OB. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设M(x,y),则 =(-x,-y), =(-x,2-y), 故 · =x2-y(2-y)=3,化简可得x2+(y-1)2=4, 故曲线C的方程为x2+(y-1)2=4. (2)由题意可知直线PQ,ST斜率均存在,且不为0,由PQ⊥ST,可设直线PQ:y=kx,直线ST:y=- x, 由(1)知曲线C是圆心为C(0,1),半径r=2的圆, 则C(0,1)到直线PQ的距离d= ,同理可得C(0,1)到直线ST的距离d0= , 故PQ=2 =2 , ST=2 =2 , 故S四边形PTQS= PQ·ST= ×2 ×2 =2 × =2 ,当k>0时,k+ ≥ 第1讲　描述运动的基本概念 2,当且仅当k=1时取等号,当k<0时,(-k)+ ≥2 =2,即k+ ≤-2,当且仅当k=-1时取等号, 因此 = ≥2,当且仅当k=±1时取等号, 故 ≥4,故0< ≤ , 故 ∈ , 故S四边形PTQS=2 ∈(4 ,7]. (3)证明:设直线PQ:y=kx,直线ST:y=mx,其中k,m均不为0, 联立 可得(1+k2)x2-2kx-3=0, 第1讲　描述运动的基本概念 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2= ,x1x2= , 同理设S(x3,y3),T(x4,y4),则x3+x4= ,x3x4= , 则直线PT:y= (x-x1)+y1, 令y=0,则x= +x1= ,故xA= , 同理可得xB= , 则xA+xB= +  = , (y1x4-x1y4)(y3-y2)+(y3x2-x3y2)(y1-y4)=y1y3x4-y1y2x4-x1y4y3+x1y2y4+y1y3x2-y3y4x2-y1y2x3+y4y2x3=kmx1x3x4-k2x1x2x4-m2x1x4x3 第1讲　描述运动的基本概念 +kmx1x2x4+kmx1x3x2-m2x3x4x2-k2x1x2x3+kmx4x2x3 =kmx1 -k2x4 -m2x1 + kmx4 +kmx3 -m2x2 - k2x3 +kmx2 = (x1+x2)+  (x4+x3)+ (x4+x3)+ (x1+x2)= × + × + × + ×  = =0, 因此xA+xB=0,故OA=OB,得证. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　直线与圆位置关系的综合应用 12.[多选题][2025江苏南通海安高级中学月考]瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外 心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ ABC,AB=AC,B(-1,3),C(4,-2),且其“欧拉线”与圆M:(x+3)2+y2=r2(r>0)相切,则下列结论正确的是  (　　　　) A.△ABC的“欧拉线”方程为x-y-1=0 B.若点(x,y)在圆M上,则 的最大值是7 C.圆M上的点到直线x+y-2=0的最大距离为  D.若点(x,y)在圆M上,则x+ y的最小值是-3-4  ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,∵AB=AC,∴△ABC的“欧拉线”为BC的垂直平分线,易得BC的中点为 ,且kBC=  =-1, ∴线段BC的垂直平分线的方程为y- =x- ,即x-y-1=0,故A正确; 对于B,∵△ABC的“欧拉线”与圆M:(x+3)2+y2=r2(r>0)相切, ∴圆心(-3,0)到直线x-y-1=0的距离为 =2 =r,∴圆M的方程为(x+3)2+y2=8,  表示圆上的点(x,y)与(0,1)连线的斜率,设 =k,则y-1=kx,即kx-y+1=0,由题意知直线kx-y+1=0与 圆M:(x+3)2+y2=8有交点,所以 ≤2 ,即k2-6k-7≤0,解得-1≤k≤7,所以 的最大值为7,故B正 确; 第1讲　描述运动的基本概念 对于C,∵圆心(-3,0)到直线x+y-2=0的距离d= = , ∴圆M上的点到直线x+y-2=0的距离的最大值为d+r= +2 = ,故C错误; 对于D,令t=x+ y,∴y= ,代入方程(x+3)2+y2=8,可得4x2+(18-2t)x+t2+3=0, ∵点(x,y)在圆上,∴4x2+(18-2t)x+t2+3=0有实数根, 则Δ=(18-2t)2-4×4×(t2+3)≥0,整理得t2+6t-23≤0,解得-3-4 ≤t≤-3+4 , ∴t的最小值为-3-4 ,即x+ y的最小值为-3-4 ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026湖北武汉第一中学月考]已知Rt△ABC的两个顶点A(-2,0),B(2,0),直角顶点C的轨迹记为曲线T, 过点P(1,0)的直线l与曲线T相交于M,N两点. (1)求曲线T的方程; (2)若点R(4,0),记△MNR的面积为S,求S的取值范围; (3)是否存在x轴上的定点Q(a,0),使得QM·QN为定值?若存在,求出所有满足题意的Q点坐标;若不存在,请 说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设C(x,y),则AC2+BC2=AB2=42,即(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=16,整理得x2+y2=4, 结合题意知曲线T的方程为x2+y2=4(y≠0). (2)解法一:由题意可知,直线l一定与T相交于不同的两点,且直线l的斜率不为0, 不妨设l:x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2), 由 得(m2+1)y2+2my-3=0(y≠0),则y1+y2=- ,y1y2=- . 则S= PR·|y1-y2|= |y1-y2| =   =   =   第1讲　描述运动的基本概念 = ×  = ×2×  =3× . 令 =t(t≥ ),则S=3× = ,t≥ . 又∵t+ ≥ ,∴ ≤3 , ∴S∈(0,3 ]. 解法二:当直线l的斜率不存在时,l:x=1,直线l与曲线T的两个交点分别为(1, ),(1,- ), 不妨令M(1, ),N(1,- ),则S=3 ; 第1讲　描述运动的基本概念 当直线l的斜率存在时,设l:y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2),易知k≠0, 由 解得(1+k2)x2-2k2x+k2-4=0, 则x1+x2= ,x1x2= , 则y1+y2=k(x1+x2)-2k,y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1], 则S= PR·|y1-y2|= |y1-y2| =   =3 , 令t= ,k≠0, 第1讲　描述运动的基本概念 则S=3 ,t∈(0,1), 故S的取值范围是(0,3 ]. (3)由(2)中解法一可知,y1+y2=- ,y1y2=- , QM·QN= · , 因为 + =4,所以(x1-a)2+ = -2ax1+a2+ =4-2ax1+a2, 同理(x2-a)2+ =4-2ax2+a2, 所以QM·QN = , 因为x1=my1+1,x2=my2+1, 所以(4-2ax1+a2)(4-2ax2+a2) 第1讲　描述运动的基本概念 =(a2-2a+4-2amy1)(a2-2a+4-2amy2) =(a2-2a+4)2-2am(a2-2a+4)(y1+y2)+4a2m2y1y2 =(a2-2a+4)2-2am(a2-2a+4)· +4a2m2  =(a2-2a+4)2+ , 若QM·QN为定值,则4a(a-1)(a-4)=0,则a=0或a=1或a=4, 故满足题意的Q的坐标为(0,0),(1,0),(4,0). 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　结合当下的科技产品考查直线与圆的位置关系 14.[2026江西赣州赣县中学阶段检测]如图,某机器人比赛的主办方设计了一个矩形场地ABCD(含边界 和内部,A为坐标原点),AD的长为10米,在AB边上距离A点4米的F处放一只电子狗,在距A点2米的E处放 一个机器人,机器人行走的速度为v,电子狗行走的速度为2v,若电子狗和机器人同时出发,在场地内沿直 线行走,且同时到达场地内的某点M,则电子狗会被机器人捕获,点M叫“成功点”. (1)求在这个矩形场地内“成功点”M的轨迹方程; (2)若P为矩形场地AD边上的一点,电子狗在线段FP 上总能逃脱,求AP的取值范围.   第1讲　描述运动的基本概念 思维进阶 信息提取 信息处理 AB边上,点F距离A点4米,点E距离A点2米 F(0,4),E(0,2) 机器人行走的速度为v,电子狗行走的速度为2v,同 时到达点M  = ,即FM=2EM 电子狗在线段FP上总能逃脱 FP与M的轨迹无交点 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得E(0,2),F(0,4),设成功点M(x,y)(0≤x≤10), 由题意可得 = ,即FM=2EM, 则 =2 ,化简得x2+ = , 因为点M在矩形场地内部(含边界), 所以0≤x≤ , 所以这个矩形场地内成功点M的轨迹方程是x2+ =  . (2)由(1)知,点M的轨迹是以 为圆心, 为半径的右半圆, 由电子狗在线段FP上总能逃脱,得直线FP与点M的轨迹相离, 此时直线FP的斜率k<0,方程为y=kx+4,即kx-y+4=0, 第1讲　描述运动的基本概念 所以 > ,得k2<3, 又k<0,所以- <k<0, 所以0<tan∠FPA< , 此时AP= > = , 又AP≤10,所以AP的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 $