第2章 04-2.3 圆与圆的位置关系（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（苏教版）

该高中数学课件聚焦“圆与圆的位置关系”，涵盖位置判断、公切线、公共弦及综合应用等核心知识点。课堂导入衔接圆的方程与直线和圆的位置关系，通过基础题组、能力题组、创新题型搭建学习支架，逐步深化知识理解。 其亮点是精选江苏名校真题，融入“晚旁”徽标等创新情境，以数学思维引导分类推理（如相切分内切外切讨论），用数学语言表达几何关系（如公共弦方程推导）。助力学生提升运算能力与几何直观，为教师提供分层教学资源，提高教学效率。

第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 2.3　圆与圆的位置关系 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　圆与圆的位置关系 1.[2026江苏连云港赣马高级中学检测]圆C1:x2+y2=9和圆C2:x2+y2-4x+2y-3=0的位置关系是 (　　　) A.内含　　　    B.相交　　　    C.内切　　　    D.外切     B     解析　圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=3, 圆C2的圆心为C2(2,-1),半径r2=2 . 因为C1C2= = ,r1+r2=3+2 ,|r1-r2|=3-2 ,3-2 < <3+2 ,所以两圆相交. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏扬州瓜洲中学月考]已知以C(-4,3)为圆心的圆与圆x2+y2=1内切,则圆C的方程为(　　　) A.(x-4)2+(y+3)2=36　　　     B.(x+4)2+(y-3)2=16 C.(x+4)2+(y-3)2=36　　　     D.(x-4)2+(y+3)2=16     C     解析　因为 =5>1, 所以点C(-4,3)在圆x2+y2=1的外部, 设圆C的半径为r,则r-1=5,解得r=6, 所以圆C的方程为(x+4)2+(y-3)2=36. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025江苏无锡第一中学期中]已知圆O1:x2+y2=1,圆O2:(x+3)2+(y-a)2=16,如果这两个圆相切,则实数a的 值是____________.     0或±4     解析　易知圆O1的圆心为O1(0,0),半径r1=1,圆O2的圆心为O2(-3,a),半径r2=4, 因为两个圆相切,所以两个圆内切或外切, 当两个圆内切时,O1O2=r2-r1,即 =3,所以a=0; 当两个圆外切时,O1O2=r2+r1,即 =5,解得a=±4. 综上,实数a的值为0或±4. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　两圆的公共弦与公切线 4.[2026江苏南通海安实验中学检测]圆C1:(x-2)2+(y-4)2=9与圆C2:x2+y2-10x+9=0的公切线条数为 (　　) A.1　　　    B.2　　　    C.3　　　    D.4     B 解析　圆C1的圆心为C1(2,4),半径r1=3, 圆C2的方程可化为(x-5)2+y2=16,故圆C2的圆心为C2(5,0),半径r2=4, 则r2-r1=1,r2+r1=7,因为C1C2= =5∈(1,7),所以两圆相交,故两圆有2条公切线. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江苏溧阳戴埠高级中学月考]圆O1:(x-1)2+(y-1)2=28与圆O2:x2+(y-4)2=18的公共弦长为    (　　　) A.2 　　　    B.2 　　　    C.3 　　　    D.6      D     解析　设两圆的公共点为A,B,由已知得圆O1的一般方程为x2+y2-2x-2y-26=0,圆O2的一般方程为x2+y2-8y- 2=0, 两圆方程作差,得直线AB:x-3y+12=0(公共弦所在直线), 而圆心O1(1,1)到直线AB的距离d= = ,圆O1的半径为2 , 所以AB=2 =6 . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025江苏南京师范大学附属实验学校期中]已知圆C1:x2+y2-2 x+a=0与圆C2:x2+(y-1)2=4相交于A,B两 点,且AB=2 ,则实数a的值为 (　　　) A.-1或-9　　　    B.-1　　　    C.-9　　　    D.1     A     解析　由圆C1的方程为x2+y2-2 x+a=0可得12-4a>0,故a<3.圆C2的圆心为C2(0,1),半径为2,两圆方程相 减可得直线AB的方程为-2 x+2y+a+3=0, 又AB=2 , 所以圆心C2到直线AB的距离为 =1, 则由点到直线的距离公式可得 =1, 解得a=-1或a=-9. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏徐州第三中学月考]已知圆C1:x2+y2+2ax=0与圆C2:x2+y2-2 y+2=0恰有三条公切线,则a= __________. ±1     解析　因为圆C1与圆C2恰有三条公切线,所以两圆外切(关键点), 由圆C1的方程得圆心为C1(-a,0),半径r1=|a|, 由圆C2的方程得圆心为C2(0, ),半径r2= =1, 则C1C2=r1+r2,即 =|a|+1,解得a=±1. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025江苏苏州期中]圆O:x2+y2=1与圆C关于直线x+y-2=0对称,写出两圆的一条公切线方程: ______________________.     x-y+ =0(答案不唯一)     第1讲　描述运动的基本概念 解析　易知圆O的圆心为O(0,0),设(0,0)关于直线x+y-2=0的对称点的坐标为(a,b),则 解得a= b=2, 所以圆C的方程是(x-2)2+(y-2)2=1,其圆心为C(2,2),半径为1, 则两圆的圆心距为 =2 , 因为2 >2,所以两圆外离, 易得kOC=1,设与直线OC平行的公切线方程为y=x+m,即x-y+m=0, 则由点O到直线y=x+m的距离为1,可得 =1,解得m=± ,所以两圆的公切线方程为x-y+ =0或x-y-  =0, 易知直线x=1,直线y=1也为两圆的公切线. 综上,两圆的公切线方程为x-y+ =0,x-y- =0,x=1,y=1.(写出一个即可) 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　圆与圆的位置关系的综合应用 9.[多选题][2026江苏淮安淮阴中学期中]已知圆C1:x2+y2=9,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=16,则 (　　　　) A.过点(-3,-3)作圆C1的切线有且仅有2条 B.圆C1与圆C2无公共点 C.点P在圆C1上,点Q在圆C2上,则PQ的最大值为12 D.圆C2上到直线y= x-3 的距离为2的点恰有3个     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　圆C1:x2+y2=9的圆心为C1(0,0),半径r1=3, 圆C2:(x-3)2+(y-4)2=16的圆心为C2(3,4),半径r2=4. 对于A,因为(-3)2+(-3)2>9,所以点(-3,-3)在圆C1外,因此过点(-3,-3)作圆C1的切线有且仅有2条,A正确; 对于B,C1C2= =5,则r2-r1<C1C2<r2+r1,因此圆C1与圆C2相交,有2个公共点,B错误; 对于C,(PQ)max=r1+C1C2+r2=3+5+4=12,C正确; 对于D,点C2(3,4)到直线 x-y-3 =0的距离d= =2= r2, 则与直线y= x-3 平行且距离为2的两条平行线中,一条过圆C2的圆心,另一条与圆C2相切,因此圆C2 上到直线y= x-3 的距离为2的点恰有3个,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[多选题][2026陕西榆林期中]若圆C1:x2+y2-2x-2y=0与圆C2:x2+y2-x-y-1=0的交点为P,Q,则 (　　　) A.公共弦PQ所在直线的方程为x+y-1=0 B.线段PQ中垂线的方程为x-y+1=0 C.过点(0,3)作圆C1:x2+y2-2x-2y=0的切线,其方程为y=x+2 D.若实数x,y满足圆C1:x2+y2-2x-2y=0,则y-x的最大值为2     AD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　圆C1:x2+y2-2x-2y=0的圆心为C1(1,1),半径r1= , 圆C2:x2+y2-x-y-1=0的圆心为C2 ,半径r2= . 对于A,由题知两圆相交,两圆方程相减可得公共弦PQ所在直线的方程为x+y-1=0,故A正确. 对于B,由圆的性质可知,线段PQ的中垂线即为直线C1C2,其方程为y-1= (x-1),化简可得x-y=0,故B错 误. 对于C,易知点(0,3)在圆C1外, 当切线斜率不存在时,不合题意; 当切线斜率存在时,设切线方程为y=kx+3, 因此圆心C1(1,1)到切线y=kx+3的距离d= = ,解得k=2± , 第1讲　描述运动的基本概念 所以切线方程为y=(2± )x+3,故C错误. 对于D,令y-x=t,则y=t+x,代入圆C1的方程,整理可得2x2+2(t-2)x+t2-2t=0, 该方程有解,故Δ=4(t-2)2-8(t2-2t)≥0,解得-2≤t≤2, 即y-x的最大值为2,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026江苏江阴南菁高级中学期中]已知圆M:(x+1)2+(y-1)2=2,点A(-4,0). (1)过A的直线l被圆M截得的弦长为2,求l的方程; (2)经过点B(0,6)的圆N与圆M外切于点D(0,2),求圆N的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由已知得,圆M的半径r1= ,圆心为(-1,1). 易知直线l的斜率存在,设其方程为y=k(x+4),因为过A的直线l被圆M截得的弦长为2, 所以圆心到直线的距离d= =1,即点(-1,1)到直线y=k(x+4)的距离为1, 即 =1,解得k=0或k= , 则直线l的方程为y=0或y= (x+4),即y=0或3x-4y+12=0. (2)因为所求圆与圆M外切,且切点为D(0,2), 所以设所求方程为(x+1)2+(y-1)2-2+λ[x2+(y-2)2]=0, 代入B(0,6),得24+16λ=0,解得λ=- , 则所求方程为(x+1)2+(y-1)2-2- [x2+(y-2)2]=0,即- (x2+y2)+2x+4y-6=0,即(x-2)2+(y-4)2=8. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 2.3　圆与圆的位置关系 第1讲　描述运动的基本概念 题组　圆与圆的位置关系及其应用 1.[2026江苏常州前黄高级中学期中]已知m,n∈R,若圆x2+y2-4mx+4m2-1=0和圆x2+y2-2ny-4+n2=0恰有三条 公切线,则2m+n的最大值为(　　　) A. 　　　    B. 　　　    C.2 　　　    D.3      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　方程x2+y2-4mx+4m2-1=0可化为(x-2m)2+y2=1, 则圆x2+y2-4mx+4m2-1=0的圆心为(2m,0),半径为1, 方程x2+y2-2ny-4+n2=0可化为x2+(y-n)2=4, 则圆x2+y2-2ny-4+n2=0的圆心为(0,n),半径为2. 因为两圆恰有三条公切线, 所以两圆外切,即圆心距等于半径和, 所以 =1+2=3,即4m2+n2=9, 令2m+n=t,则n=t-2m,代入4m2+n2=9, 得4m2+(t-2m)2=9,整理得8m2-4tm+t2-9=0, 因为m∈R, 所以Δ=(-4t)2-4×8×(t2-9)≥0,解得-3 ≤t≤3 , 所以2m+n的最大值为3 . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏宿迁中学测试]已知圆C:x2+y2-4x-4y+4=0,直线l:x+y+1=0,Q为l上的动点.过点Q作圆C的切线 QA,QB,切点分别为A,B,当AB·CQ最小时,直线AB的方程为 (　　　) A.x+y-2=0　　　     B.5x+5y-12=0 C.x+2y-3=0　　　    D.3x+6y-8=0     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　圆C:x2+y2-4x-4y+4=0可化为(x-2)2+(y-2)2=4, 所以圆心为C(2,2),半径r=2, 因为QA,QB是圆C的两条切线, 所以QA⊥AC,QB⊥BC, 因此A,Q,B,C四点在以QC为直径的圆上,且AB⊥CQ,QA=QB, 所以QC·AB=4S△QAC=4× ×QA×AC=4QA, 又QA= ,所以当QC最小,即QC⊥l时,QA取得最小值,即QC·AB取得最小值, 此时直线QC的方程为y-2=x-2,即y=x, 联立 解得x=y=- ,即Q , 第1讲　描述运动的基本概念 所以QC= = ,其中点坐标为 , 故以QC为直径的圆的方程为 + = ,即x2+y2- x- y-2=0, 又圆C:x2+y2-4x-4y+4=0, 所以两圆的方程相减即得直线AB的方程,为5x+5y-12=0.   第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江苏常州北郊高级中学调研]在平面直角坐标系xOy中,直线l:x-y+4=0与x轴、y轴分别交于A,B两 点,过l上一点P作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为M,N,设线段MN的中点为Q,则AQ的最大值为 (　　　) A.2　　　    B.2 　　　    C.2 　　　    D.3      D 第1讲　描述运动的基本概念 解析　设点P(t,t+4),M(x1,y1),N(x2,y2),连接OM,ON,OQ, 因为PM,PN是圆的切线,所以OM⊥PM,ON⊥PN,   所以M,N在以OP为直径的圆上,该圆的圆心为 ,半径为 , 方程为 + = , 又M,N在圆x2+y2=4上,所以M,N为两圆的交点, 第1讲　描述运动的基本概念 将两圆的方程作差得直线MN的方程为tx+(t+4)y-4=0,即t(x+y)+4(y-1)=0, 所以直线MN恒过定点(-1,1),记为G, 连接OG,因为OQ⊥MN,Q,G,M,N四点共线,所以OQ⊥QG, 即Q在以OG为直径的圆上, 该圆的圆心为 (记为C),半径r= , 所以(AQ)max=AC+r= + =3 , 所以AQ的最大值为3 . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026辽宁大连八中期中]已知圆D:(x-a)2+y2=r2(r>0)与x轴相交于A,B两点,且圆C:x2+(y-5)2=9,点M(0,3). 若圆C与圆D外切,则tan∠AMB的取值范围为 (　　　) A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　圆D的圆心为D(a,0),半径为r, 圆C的圆心为C(0,5),半径为3, 因为圆C与圆D外切,所以 =3+r,所以a2=r2+6r-16, 易知圆C关于y轴对称,点M(0,3)在y轴上,圆D与x轴交于(a-r,0),(a+r,0),不妨记A(a-r,0),B(a+r,0), 由对称性不妨令a≥0, 当0≤a<r时,如图1,则0≤a2=r2+6r-16<r2,解得2≤r< , 故tan∠AMB=tan(∠BMO+∠AMO)= = = =1+ ∈ ; 第1讲　描述运动的基本概念   当a=r时,a2=r2+6r-16=r2,解得r= , 此时A(0,0),B ,故tan∠AMB= = ; 当a>r时,如图2,则a2=r2+6r-16>r2,解得r> , 故tan∠AMB=tan(∠BMO-∠AMO)= = = =1+ ∈ . 第1讲　描述运动的基本概念 综上所述,tan∠AMB的取值范围为 .   第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题][2026江苏南京七校联合调研]已知圆M:x2+(y-3)2=4,点P为x轴上一个动点,过点P作圆M的两条 切线,切点分别为A,B,直线AB与MP交于点C,则下列结论正确的有 (　　　　) A.四边形PAMB周长的最小值为4+2  B.若P( ,0),则△PAB的面积为4  C.AB的最小值为  D.若Q ,则CQ的最大值为      ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,圆M:x2+(y-3)2=4的圆心为M(0,3),半径r=2, 设P(m,0), 则PM= = , 因为PA,PB是圆M的切线, 所以MA⊥PA,MB⊥PB,且MA=MB=2,PA=PB. 则PA= = = , 因此四边形PAMB的周长为2PA+2MA=2 +4, 所以当m=0时,四边形PAMB的周长取得最小值,为4+2 ,故A正确. 对于B,因为PM=  =4, 所以PB=PA= = =2 . 第1讲　描述运动的基本概念 又S△PAM= PA·MA= ×2 ×2=2 ,PM⊥AB, 所以S△PAM= PM·AC=2AC=2 , 所以AC= , 则PC= = =3, 则S△PAB=2× AC·PC=2× × ×3=3 ,故B错误. 对于C,由A得PM= ,PB=PA= , 而S△PAM= PA·MA= PM·AC, 所以AC= = , 则AB=2AC= , 第1讲　描述运动的基本概念 令t=m2+9,则t≥9,AB= =4 , 因为t≥9,所以当t=9时,AB取最小值,为4 = ,故C正确. 对于D,当点P与原点重合时,MP=3,则PA= = ,AC= = , 则PC= = = , 所以C ,又Q ,所以CQ= = ; 当点P与原点不重合时,m≠0, 因为MA⊥PA,MB⊥PB,所以A,B在以PM为直径的圆上, PM的中点坐标为 , PM=  , 第1讲　描述运动的基本概念 则以PM为直径的圆的方程为 + = (m2+9), 将此圆的方程与圆M的方程相减,可得直线AB的方程,为mx-3y+5=0, 易得直线MP的方程为y=- x+3, 联立  消去m得x2+y2- y+5=0,即x2+ = , 所以点C的轨迹是圆心为 (记为O1),半径R= 的圆 不含(0,3)和 两点 , 此时CQ的最大值为O1Q+R= + = . 第1讲　描述运动的基本概念 综上,CQ的最大值为 ,故D正确.   第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江苏扬州中学月考]设P为直线l:2x+y+9=0上的任意一点,过点P作圆O:x2+y2=9的两条切线PA,PB, 切点分别为A,B,则直线AB恒过定点_______________.     (-2,-1)     解析　因为P为直线l:2x+y+9=0上的任意一点,所以设P(m,-2m-9), 连接OA,OB,OP,由题意得OA⊥PA,OB⊥PB,则A,B在以线段OP为直径的圆上(设为圆C), 则圆心C的坐标是 ,半径r= , 所以圆C的方程是 + = , 易知线段AB是圆O和圆C的公共弦, 将圆C的方程与圆O的方程相减,得公共弦AB所在直线的方程,为mx-(2m+9)y-9=0,即m(x-2y)-(9y+9)=0, 由 解得 所以直线AB恒过定点(-2,-1). 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏南京外国语学校月考]已知圆C1:(x+3)2+y2=a2(a>7)和圆C2:(x-3)2+y2=1,动圆M与圆C1,圆C2均相 切,MC1+MC2=3C1C2,则a的值为_____________.     17或19     解析　由题意得圆C1的圆心为C1(-3,0),半径R1=a(a>7), 圆C2的圆心为C2(3,0),半径R2=1, 由a>7,得R1-R2=a-1>6=C1C2,所以圆C2内含于圆C1. 设圆M的半径为r, 若动圆M内切于圆C1,且与圆C2外切(r<a),则MC1=R1-r=a-r,MC2=R2+r=1+r,则MC1+MC2=a+1, 由MC1+MC2=3C1C2,得a+1=18,因此a=17; 若动圆M内切于圆C1,圆C2内切于动圆M,则MC1=R1-r=a-r,MC2=r-R2=r-1, 则MC1+MC2=a-1, 由MC1+MC2=3C1C2,得a-1=18,得a=19.综上所述,a的值为17或19. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江苏连云港灌南惠泽高级中学月考]在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=1和圆C:(x-4)2+(y- 2)2=4. (1)求圆O与圆C的外公切线的长(两圆的外公切线是指与两个圆都相切,且两圆位于公切线同侧的直线; 公切线的长是指公切线上两个切点间的线段长度); (2)过圆C上的任意一点P作圆O的两条切线,切点分别是A,B,设D . ①求 的值; ②求圆心C到直线AB的距离的取值范围.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)圆C:(x-4)2+(y-2)2=4的圆心为C(4,2),半径r1=2, 圆O:x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径r2=1, 则OC= =2 , 所以外公切线的长为 = = . (2)设点P(a,b). ①由题意得(a-4)2+(b-2)2=4,可得a2+b2=8a+4b-16, 所以PD2= + =a2+b2- a- b+ =a2+b2- (8a+4b-16)= (a2+b2), 由PO2=a2+b2,得PO2=5PD2,所以PO= PD,所以 = . ②由题意得A,B在以OP为直径的圆上,易得以OP为直径的圆的方程为 + = , 即x2+y2-ax-by=0,该方程与圆O的方程相减得公共弦AB所在直线的方程,为ax+by=1, 第1讲　描述运动的基本概念 则圆心C(4,2)到直线AB的距离d= , 由①可得4a+2b= (a2+b2)+8, 所以d= =  , 设t= ,则t∈[2 -2,2 +2],d=  , 结合函数f(t)=t+ 的单调性,得d的最小值为 ,最大值为  2 +2+  = , 所以d的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　结合情境创新圆的弦弧几何考查形式 9.[2026广东三校期中联考]“晚旁”徽标是由两个圆设计而成的,其状如月(如图中阴影部分所示).已知 圆C1:x2+y2-2ax+4y+1=0,圆C2:x2+y2-3ax+(4+ )y+4+2 =0,其中0<a<3,A,B为圆C1与圆C2的交点,若弦AB 将圆C1分为长度之比为1∶2的两段弧,则组成“晚旁”的两段弧长之比为_________.(请写出长度较小的 弧与长度较长的弧的长度之比,即该比值小于1)   第1讲　描述运动的基本概念 解析    x2+y2-2ax+4y+1=0可化为(x-a)2+(y+2)2=a2+3,则圆C1的圆心为C1(a,-2),半径r1= ,x2+y2-3ax+(4+  )y+4+2 =0可化为 + = ,则圆C2的圆心为C2 ,半径r2= , 两圆方程相减可得公共弦AB所在直线的方程,为ax- y-3-2 =0, 由弦AB将圆C1分为长度之比为1∶2的两段弧可知∠AC1B=120°, 所以圆心C1(a,-2)到直线ax- y-3-2 =0的距离为 r1,即 = ,又0<a<3,所以a=1, 则r1=2,r2= ,C2 , 易知点C2在直线AB上,所以AB为圆C2的直径, 所以直线AB截圆C2所得的弧长为πr2= π,截圆C1所得的弧长为 πr1= π, 第1讲　描述运动的基本概念 此时组成“晚旁”的两段弧长之比为 = = . 第1讲　描述运动的基本概念 $