第2章 01-第1课时 圆的标准方程（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（苏教版）

该高中数学课件聚焦“圆的标准方程”，通过教材习题改编题、圆拱桥及台风侵袭等实际问题导入，衔接直线方程知识，搭建从具体实例到抽象方程的学习支架，帮助学生理解圆的定义、方程形式及应用。 其亮点是分层设计题目（基础、能力、创新），结合台风侵袭等情境培养数学眼光，通过多种解法（如中点法、直径端点方程）训练数学思维，以阿波罗尼斯圆等模型构建提升数学语言表达能力。学生能提升解题与应用能力，教师可实现分层教学与高效备课。

第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 2.1　圆的方程 第1课时　圆的标准方程 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　对圆的标准方程的理解 1.[教材习题改编]方程y=- 表示的曲线是 (　　　) 　A  B  C  D     A     解析　对y=- 两边平方,整理得x2+y2=4(y≤0), 故方程表示圆心为坐标原点,半径为2的圆在x轴及其下方的部分,故A满足题意. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026广东东莞东华高级中学检测]方程|x|2+(|y|-4)2=1所表示的图形是 (　　　) A.以(0,4)为圆心,1为半径的圆 B.以(0,4)为圆心,1为半径的圆面 C.以(0,4)为圆心,1为半径的圆和以(0,4)为圆心,3为半径的圆构成的同心圆 D.以(0,4)为圆心,1为半径的圆和以(0,-4)为圆心,1为半径的圆     D     解析　由题意得,当y≥0时,x2+(y-4)2=1,表示以(0,4)为圆心,1为半径的圆; 当y<0时,x2+(y+4)2=1,表示以(0,-4)为圆心,1为半径的圆. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江西宜春丰城厚一学校月考]若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则圆心到直线4x-3y +8=0的距离为 (　　　) A.2　　　   　 B.1.2 C.2.4　　　    D.1     A     解析　依题意,直线2x+y-1=0过圆(x-a)2+y2=1的圆心(a,0), 则2a-1=0,解得a= , 所以圆心 到直线4x-3y+8=0的距离为 =2. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　求圆的标准方程 4.[2026江苏盐城滨海东坎高级中学月考]已知点A(-3,1),B(1,-3),则以线段AB为直径的圆的标准方程为  (　　　) A.(x-1)2+(y-1)2=8　　　    　B.(x+1)2+(y+1)2=8 C.(x-1)2+(y-1)2=32　　　     D.(x+1)2+(y+1)2=32     B     解析    解法一:由题意得圆心为 ,即(-1,-1), 半径r= =2 , 所以圆的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=8. 解法二:∵A(-3,1),B(1,-3),∴以AB为直径的圆的方程为(x+3)(x-1)+(y-1)(y+3)=0,整理得(x+1)2+(y+1)2=8. 知识拓展　本题解法二用到结论:以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江苏靖江斜桥中学月考]过点O(0,0),A(2,0),B(0,2)的圆的标准方程为 (　　　) A.(x-1)2+(y-1)2=2　　　     B.(x-2)2+(y-2)2=4 C.(x+1)2+(y+1)2=2　　　    D.(x+2)2+(y+2)2=4     A     解析　由题意知圆心在线段OA的垂直平分线上,即在直线x=1上, 也在线段OB的垂直平分线上,即在直线y=1上,所以圆心坐标为(1,1), 设圆的半径为r,则r2=(1-0)2+(1-0)2=2, 所以圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江苏南通如皋中学月考]若圆C经过点A(2,5),B(4,3),且圆心在直线l:3x-y-3=0上,则圆C的方程为  (　　　) A.(x-2)2+(y-3)2=4　　　    B.(x-2)2+(y-3)2=8 C.(x-3)2+(y-4)2=2　　　    D.(x-3)2+(y-6)2=10     A     解析　由题意得圆心在线段AB的垂直平分线上,且为线段AB的垂直平分线与直线l:3x-y-3=0的交点,kAB = =-1,线段AB的中点坐标为(3,4), 则线段AB的垂直平分线的方程为y-4=x-3,即x-y+1=0, 联立 解得 则圆心坐标为(2,3),半径r= =2, 所以圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=4. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025江苏宿迁中学期中]已知圆C与两坐标轴都相切,且圆C的圆心在直线l:x+2y-2=0上,则圆C的标准 方程为___________________________________.      +　　　 = 或(x+2)2+(y-2)2=4     解析　设圆心C(a,b),由题意可得  当a,b同号时,可得 故圆C的标准方程为 + = ; 当a,b异号时,可得 故圆C的标准方程为(x+2)2+(y-2)2=4. 综上,圆C的标准方程为 + = 或(x+2)2+(y-2)2=4. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　点与圆的位置关系问题 8.[2026江苏南京中华中学月考]若两直线y=x+2k与y=2x+k+1的交点在圆x2+y2=4的内部,则实数k的取值 范围是 (　　　) A.-1<k<- 　　　    B.- <k<1 C.- <k<1　　　    D.-2<k<2     B     解析　联立 解得 即两直线的交点坐标为(k-1,3k-1), 因为该交点在圆x2+y2=4的内部,所以(k-1)2+(3k-1)2<4,解得- <k<1. 第1讲　描述运动的基本概念 9.若点A(a+1,3)在圆C:(x-a)2+(y-1)2=m外,则实数m的取值范围是(　　　) A.( ,+∞)　　　    B.(5,+∞)　　　    C.(0,5)　　　    D.(0, )     C     解析　由点A在圆C外,得(a+1-a)2+(3-1)2>m,解得m<5,又m>0,所以0<m<5. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026吉林长春第五中学月考]某圆拱桥的水面跨度12米,拱高4米,现有一船宽8米,则这条船能从桥 下通过的水面以上最大高度约为(参考数据: ≈4.6, ≈2.2) (　　　)   A.2.5米　　　    B.2.7米　　　    C.2.6米　　　    D.3.1米     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,以圆拱桥横跨水面上的正投影所在直线为x轴,过桥的最高点且垂直于x轴的直线为y轴,建 立如图所示的平面直角坐标系,设图中矩形EFGH为船刚好能从桥下通过时水面以上的位置,   则B(-6,0),E(-4,0),F(4,0),C(6,0), 设圆拱桥所在圆的方程为x2+(y-b)2=r2(r>0), 则36+b2=r2,且(4-b)2=r2, 第1讲　描述运动的基本概念 所以b=- ,r= , 故圆拱桥所在圆的方程为x2+ = , 令x=4,解得y= - ≈2.6, 所以这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为2.6米. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026江西九江三中等校联考]某海面有一台风,台风中心位于轮船正南方200 km的O处,台风以 20 km/h的速度向正东方向移动,台风侵袭的区域为圆形区域,半径为100 km,轮船以20  km/h的速度 向东南方向航行,若将轮船视为一个质点,则台风侵袭轮船的时长为__________小时.     10     第1讲　描述运动的基本概念 解析    以O为坐标原点,台风移动的方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系,则轮船的初始位置为(0,2 00),t小时后,台风侵袭的区域对应的圆的方程为(x-20t)2+y2=1002,圆心为(20t,0),记为A,   此时轮船的位置为(20t,200-20t),记为B. 台风侵袭轮船即点B在圆(x-20t)2+y2=1002内,等价于AB≤100, 即 ≤100,解得5≤t≤15, 所以台风侵袭轮船的时长为15-5=10小时. 第1讲　描述运动的基本概念 方法技巧　解决这类“运动物体与圆形区域相交时长”的问题(如台风侵袭轮船、雷达监测范围等), 可遵循以下步骤: (1)建立平面直角坐标系:选择合适的参考点作为坐标原点,明确各物体的初始坐标,将实际运动转化为 坐标的变化. (2)分析t小时后各物体的坐标:根据物体的运动速度、方向,将位移分解为在x轴和y轴上的位移,推导得 出t小时后各物体的坐标. ①若运动方向有角度(如东南方向、北偏东等),则需用三角函数将位移分解为在x轴和y轴上的位移; ②若沿坐标轴方向运动(如正东、正南),则直接用“速度×时间”得到坐标变化. (3)根据几何关系列距离不等式:本题的约束条件是“物体到圆心的距离≤圆的半径”,因此需用两点 间的距离公式,列出“物体到圆心的距离≤圆的半径”的不等式. (4)解不等式求时间范围:解不等式,求出t的范围,区间的长度即为“相交时长”(如台风侵袭时长、监测 时长等). 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 2.1　圆的方程 第1课时　圆的标准方程 第1讲　描述运动的基本概念 题组　圆的标准方程的求解及应用 1.[2026江苏南通海安实验中学学情检测]若圆x2+(y-1)2=1上总存在两个点到点(a,2)的距离为2,则实数a 的取值范围是 (　　　) A.(-2 ,2 )　　　    B.(-2 ,0)∪(0,2 ) C.(-1,1)　　　     D.(-1,0)∪(0,1)     B     解析　易知圆x2+(y-1)2=1的圆心为(0,1),半径为1, 点(0,1)与点(a,2)之间的距离为 = , 要想圆x2+(y-1)2=1上总存在两个点到点(a,2)的距离为2,则1< <3,解得a∈(-2 ,0)∪(0,2 ). 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏宿迁沭阳南湖高级中学调研]在平面直角坐标系xOy中,圆C经过点M(-1,3),N(2,6),且与x轴相 切,则圆心C的横坐标是 (　　　) A.-10　　　     B.2或-10 C.-2或10　　　    D.-2     B     解析　设圆心为C(a,b),因为圆C与x轴相切,所以r=|b|, 所以圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=b2. 因为该圆经过点M(-1,3),N(2,6), 所以  化简得  两式相减得b=5-a. 将b=5-a代入①式,得a2+8a-20=0,解得a=-10或a=2. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江苏南京金陵中学月考]在圆的方程的探究中,有四位同学分别给出了一个结论,甲:该圆的半径 为 ,乙:该圆经过点(7,0),丙:该圆的圆心为(2,1),丁:该圆经过点(3,3),如果只有一位同学的结论是错误 的,那么这位同学是 (　　　) A.甲　　　    B.乙　　　    C.丙　　　    D.丁     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设A(3,3),B(2,1),C(7,0), 假设甲的结论错误,则此圆的圆心为B(2,1),且过点A(3,3),C(7,0),此时BA= = ,BC= = ≠ BA,故假设错误,所以甲的结论正确; 假设乙的结论错误,则此圆的圆心为B(2,1),半径为 ,所以该圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5,把点(3,3)代入, 等式成立,故该圆经过点A(3,3),故假设正确,所以乙的结论错误; 假设丙的结论错误,则此圆的半径为 ,且经过点C(7,0),A(3,3),则AC= =5>2 ,故假设错误,所以 丙的结论正确;假设丁的结论错误,则该圆的圆心为B(2,1),半径为 ,且经过点C(7,0),则BC= >2 , 故假设错误,所以丁的结论正确. 综上所述,结论错误的是乙同学. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2026浙江湖州安吉高级中学月考]数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观,它蕴 藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中,揭示了规律性,是一种科学的真实美. 在平面直角坐标系中,曲线C:x2+y2=2|x|+2|y|(x,y∈R,x,y不同时为0)就是一条优美的曲线,对于此曲线,下 列说法正确的有 (　　　　) A.曲线C有4条对称轴 B.曲线C围成的图形的周长是4 π C.曲线C上任意两点间的距离不超过5 D.若T(a,b)是曲线C上任意一点,则|4a+3b-18|的最小值是11-5      ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　曲线C:x2+y2=2|x|+2|y|, 当x≥0,y≥0,且x,y不同时为0时,曲线C的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=2, 当x≤0,y≥0,且x,y不同时为0时,曲线C的方程可化为(x+1)2+(y-1)2=2, 当x≥0,y≤0,且x,y不同时为0时,曲线C的方程可化为(x-1)2+(y+1)2=2, 当x≤0,y≤0,且x,y不同时为0时,曲线C的方程可化为(x+1)2+(y+1)2=2, 所以曲线C如图所示.   对于A,由图可知曲线C有4条对称轴,故A正确; 第1讲　描述运动的基本概念 对于B,由图可知曲线C由4个半径为 的半圆弧构成,其周长为2×2π× =4 π,故B正确; 对于C,易知曲线C上任意两点间的距离最大为4 >5,故C错误; 对于D,|4a+3b-18|表示T(a,b)到直线4x+3y-18=0的距离的5倍,故要想求|4a+3b-18|的最小值,先求点T到直 线4x+3y-18=0的距离的最小值, 通过观察图形可知,当点T在曲线(x-1)2+(y-1)2=2(x≥0,y≥0,且x,y不同时为0)上时,点T到直线4x+3y-18=0 的距离最小, 因为(1,1)到直线4x+3y-18=0的距离为 = ,所以曲线C上一点到直线4x+3y-18=0的距离最小为  - ,故|4a+3b-18|的最小值为11-5 ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江苏常州西夏墅高级中学调研]已知圆C经过点O(0,0),B(1,1),且圆C恒被直线mx-y-m=0(m∈R)平 分,则圆C的标准方程为___________________.     (x-1)2+y2=1     解析    mx-y-m=0可写成m(x-1)-y=0,则直线mx-y-m=0过定点(1,0), 因为圆C恒被直线mx-y-m=0(m∈R)平分, 所以直线mx-y-m=0恒过圆C的圆心, 所以圆C的圆心为(1,0), 又因为圆C经过点O(0,0),B(1,1), 所以圆C的半径为1, 则圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江苏扬州第一中学调研]古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名,著有《圆 锥曲线论》(八卷),他发现:平面内有两个定点M,N及动点P,若 =λ(λ>0且λ≠1),则点P的轨迹是圆,后 来人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆.已知P为圆A:(x-1)2+y2=4上一动点,Q为圆B:(x-3)2+ (y-4)2=1上一动点,点C(-3,0),则PC+PQ+PB的最小值为_________.     9     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意,得圆心A(1,0),AP=2, 圆心B(3,4),BQ=1, 设坐标原点为O,则AO=1,又C(-3,0),所以AC=4. 因为 = = ,∠PAC=∠OAP,所以△ACP∽△APO,所以PC=2OP. 当P,Q,B三点共线且PQ<PB时,PQ+PB取得最小值,即PQ+PB≥2PB-1, 所以PC+PQ+PB≥2PO+2PB-1≥2OB-1=2 -1=9, 当O,P,B三点共线时等号成立, 所以PC+PQ+PB的最小值为9. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏镇江重点高中调研]已知圆C过A(4,1),B(0,1),M(2,3)三点,直线l:y=x+2. (1)求圆C的方程; (2)求圆C关于直线l对称的圆C'的方程; (3)若P为直线l上的动点,Q为圆C上的动点,O为坐标原点,求OP+PQ的最小值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 因为圆C过A(4,1),B(0,1),M(2,3), 所以 解得  所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=4. (2)由(1)知圆C的圆心为C(2,1),半径为2,设C'(m,n), 由对称关系可知 解得 所以C'(-1,4), 由对称可知圆的半径不变,所以C'的方程为(x+1)2+(y-4)2=4. (3)易知OP+PQ≥OP+PC-2, 第1讲　描述运动的基本概念 由(2)可知C关于直线l的对称点为C'(-1,4), 所以OP+PC=OP+PC'≥OC'= = , 当且仅当O,P,C'共线时取等号, 所以OP+PQ≥ -2,即OP+PQ的最小值为 -2.   第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　结合趣味小故事考查点与圆的位置关系 8.[2025江苏淮安金湖中学阶段检测]已知树林的边界是直线l(如图CD所在的直线),一只兔子在河边喝 水时发现了一只狼,兔子和狼分别位于l的垂线AC上的A点和B点处,AB=BC=a(a为正常数),若兔子沿AD 以速度2μ(μ为正常数)向树林逃跑,同时狼沿线段BM(M∈AD)以速度μ进行追击,若狼到达M处的时间不 多于兔子到达M处的时间,狼就会吃掉兔子,则兔子的所有不幸点(即可能被狼吃掉的点)的区域面积S= _________.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　建立如图所示的平面直角坐标系,   则A(0,2a),B(0,a),设M(x,y), 由 ≤ , 得2 ≤ , 整理得x2+ ≤ , 所以点M在以 为圆心, 为半径的圆及其内部时,狼会吃掉兔子, 所以S=π× = . 第1讲　描述运动的基本概念 $