3.1.1 椭圆的标准方程 课件-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的标准方程，涵盖定义、焦点焦距概念、方程推导、求方程方法及直线与椭圆位置关系。新课导入从生活椭圆形象切入，类比圆的定义，通过细绳固定两点画椭圆的实验操作，引导学生从具体现象抽象出椭圆定义，搭建从圆到椭圆的认知支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实，从生活实例抽象椭圆定义，用数学思维推理，通过问题链辨析绳长与焦距关系，逻辑推导方程并对比焦点位置差异，用数学语言归纳表格呈现核心内容。结合实验探究、例题示范（定义法与待定系数法）及类比迁移（直线与椭圆位置关系类比直线与圆），助力学生理解本质，提升推理运算能力，教师使用时结构清晰，可操作性强，高效落实教学目标。

3.1.1 椭圆的标准方程 作者编号：32200 1.掌握椭圆的定义及焦点，焦距的概念，能正确推导椭圆的标准方程. 2.会求简单的椭圆的标准方程. 3.会判断直线与椭圆的位置关系. 学习目标 作者编号：32200 在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的形象，如图， 圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征是任意一点到圆心的距离都等于半径，那么你能说说到底什么是椭圆吗？椭圆上任意一点的特征是什么？ 新课导入 作者编号：32200 取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 其轨迹就是一个椭圆. 新知学习 作者编号：32200 如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖一周. 问题1：在画图过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 问题2：类比圆的定义，你能否给椭圆下个定义呢？ 笔尖到两个定点的距离的和等于常数. 新知学习 作者编号：32200 定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆. 这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距. F1 F2 焦距 焦点 P 概念讲解 新知学习 作者编号：32200 问题3：当绳长和F1、 F2之间的距离相等时，点P的轨迹是什么图形？ 问题4：当绳长小于F1、 F2之间的距离时，点P的轨迹是什么图形？ 线段F1F2 无轨迹图形 F1 F2 P P F1 F2 新知学习 作者编号：32200 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使所得的椭圆方程形式简单？请建系并求椭圆方程. 以F1，F2所在的直线为x轴、线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图，则F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0). 设P(x，y)为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义知PF1＋PF2＝2a， 将这个方程移项后两边平方，得 新知学习 作者编号：32200 两边再平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2， 整理得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2). 因为a2－c2>0，所以可设a2－c2＝b2(b>0)， 由上述过程可知，椭圆上的点的坐标(x，y)都满足上面这个方程，可以证明以上面这个方程的解为坐标的点(x，y)都在已知的椭圆上. 新知学习 作者编号：32200 讨论： 如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分別为(0，-c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ F1 F2 P x O y 其中b2=a2-c2. 新知学习 作者编号：32200 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程   _________________   __________________ 图形 焦距 |F1F2|＝______ 焦点坐标 _________________ _________________ a，b，c的关系 _______________ 归纳总结 2c (±c，0) (0，±c) 作者编号：32200 例1 根据下列条件，求椭圆的标准方程. (1)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26； (2)经过点P(1，)，两焦点间的距离为2，焦点在x轴上. 解：(1)∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为(a＞b＞0)， ∵2a＝26，2c＝10，∴a＝13，c＝5. ∴b2＝a2－c2＝144， 因此所求椭圆的标准方程为. 新知学习 作者编号：32200 (2)经过点P(1，)，两焦点间的距离为2，焦点在x轴上. (2)方法一 ∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为(a＞b＞0)， ∵2c＝2，∴a2＝b2＋1， 又椭圆经过点(1，)，∴，解得b2＝3， ∴a2＝4， 因此所求椭圆的标准方程为. 新知学习 作者编号：32200 (2)经过点P(1，)，两焦点间的距离为2，焦点在x轴上. 方法二 ∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为(a＞b＞0)， ∵两焦点间的距离为2，∴c＝1，焦点的坐标分别为(－1，0)和(1，0)， 又点P在椭圆上， 则由椭圆的定义知， ∴a＝2，b2＝a2－c2＝3， 因此所求椭圆的标准方程为. 新知学习 作者编号：32200 求椭圆标准方程的方法： 归纳总结 (1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程. (2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可. 新知学习 作者编号：32200 探究直线与椭圆的位置关系时，可否像讨论直线与圆的位置关系那样，将直线与椭圆的方程联立组成方程组，通过方程组的解的个数来讨论？ 直线与椭圆位置关系： 设直线与椭圆方程分别为：y＝kx＋m与＝1联立方程组， 消去y得：(b2＋a2k2)x2＋2kma2x＋a2(m2－b2)＝0. (1)Δ>0⇔方程组有两解⇔________⇔________； (2)Δ＝0⇔方程组有一解⇔________⇔________； (3)Δ<0⇔方程组无解⇔________⇔________． 两个交点 相交 一个交点 相切 无交点 相离 归纳总结 作者编号：32200 例2 已知直线l:y=2x+m，椭圆C:＋＝1 .试问当m取何值时，直线l与椭圆C有两个不同的公共点. 解：联立方程组， 将①代入②，整理得9x2+8mx+2m2-4=0， ③ 这个关于x的一元二次方程的判别式Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144. 由Δ＞0得， 于是当时，方程③有两个不同的实数根， 即直线l与椭圆C有两个不同的公共点. 新知学习 作者编号：32200 1.椭圆＝1的焦距为(　　) A.4　　　　　B.5 C.6　　　　　D.9 2.已知椭圆＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，点(0，－3)在椭圆上，则 椭圆的方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 C D 当堂检测 作者编号：32200 3.已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是(　　) D 4.直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的公共点的坐标为 . (-1，0)和(，) 当堂检测 作者编号：32200 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程   _________________   __________________ 图形 焦距 |F1F2|＝______ 焦点坐标 _________________ _________________ a，b，c的关系 _______________ 2c (±c，0) (0，±c) 椭圆的标准方程 课堂小结 作者编号：32200 (x＋c)2＋y2＝4a2－4a＋(x－c)2＋y2， 即＋＝2a. 这样，焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)的椭圆的方程为＋＝1(a>b>0). 整理得a2－cx＝a. 于是得b2x2＋a2y2＝a2b2，两边同除以a2b2，得＋＝1. a2＝b2＋c2 A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1 a2＝b2＋c2 $