1.5.2 点到直线的距离-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

1.5.2 点到直线的距离 新课导入 立定跳远是指不带助跑的原地跳远，是在两腿蹬伸、上体伸展、两臂用力摆动情况下,使身体腾起并获得远度的跳跃项目，是《国家体育锻炼标准》项目之一.立定跳远测量的是什么距离？ 学习目标 1.掌握点到直线的距离公式，会用公式解决有关问题. 2.掌握两平行线之间的距离公式，并会求两平行线之间的距离. 新知学习 探究 一 点到直线的距离 思考1．什么是点到直线的距离？ 提示 点到直线的距离是该点与直线上任一点的距离的最小值，也就是过该点向直线所引的垂线段的长度. 思考2．向量是解决空间距离问题的有力工具，如图所示，怎样用向量方法求点到直线的最短距离呢？ 提示 从直线 上任取一点，可以看作 在直线 的垂线上的投影向量，求出 的模即可. ［知识梳理］ 点到直线的距离为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 ［例1］ （1） 点到直线的距离为（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 （2） （多选）已知点，到直线的距离相等，则斜率的值可以是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 【答案】（1） D （2） AC 【解析】 （1） 点 到直线 的距离. （2） 方法一:直线 转化为一般式方程，由点,到直线的距离相等，可得，解得 或. 方法二：直线 过定点，线段 的斜率为，当直线 与直线 平行时，点,到直线 的距离相等，此时； 当直线 经过 的中点 时，点,到直线 的距离相等，此时. 综上，或. 点到直线的距离的求解方法 （1）求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可. （2）若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程（组）即可. ［跟踪训练1］． （1） 已知直线，，，则，的交点到的距离为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 1 （2） 已知点到直线的距离为，则_ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 1 【解析】 （1） 选.联立 解得 即，所以点 到 的距离. （2） 由点到直线的距离公式得，所以.因为，所以. 二 两平行直线间的距离 思考1．点到直线的距离公式是什么？ 提示 . 思考2．已知两条平行直线，，从上任取两点分别求到的距离，两个距离有什么关系？ 提示 相等. ［知识梳理］ 两条平行直线与之间的距离为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 ［例2］ （对接教材例5） （1） 已知直线与直线，若，求与之间的距离. （2） 求平行于直线，且与它的距离是1的直线方程； 【答案】（1） 【解】由于，所以，所以，故 与直线 平行，所以 与 之间距离. （2） 设所求直线方程为. 由题意知， 解得 或， 所以所求直线方程为 或. 求两平行直线间距离的注意点 （1）求两平行直线间的距离时，一定要先将两平行直线方程化为一般式，同时利用等式性质将，的系数分别化为相同的数. （2）如果两平行直线的方程用斜截式表示为，，那么这两条平行直线间的距离. ［跟踪训练2］． （1） 已知直线,，则,间的距离为（ ） A. B. C. D. （2） 若两条直线与间的距离为，则 A. 3 B. 5 C. 3或 D. 或5 【答案】（1） C （2） C 【解析】 （1） 选．将直线 方程化为，易知， 由平行直线的距离公式得. （2） 选.根据平行直线间的距离公式，可得，所以 或. 三 由距离求最值 ［例3］ 两条互相平行的直线分别过点和，并且各自绕着，旋转，如果两条平行直线间的距离为.求： （1） 的取值范围； （2） 当取最大值时，两条直线的方程. 【答案】 （1） 【解】如图，显然有. 而. 故 的取值范围为. （2） 由图可知，当 取最大值时，两直线与直线 垂直. 而,所以所求直线的斜率为， 故所求的直线方程分别为 和, 即 和. 求最值问题 （1）利用对称转化为两点之间的距离问题. （2）利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离问题. （3）利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题，通过配方求最值. ［跟踪训练3］． （1） 已知直线过定点，点在直线上，则的最小值是（ ） A. 5 B. C. D. （2） 已知两条平行直线和之间的距离小于1，则的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 选.由 得，所以直线 过定点，依题意可知 的最小值就是点 到直线 的距离，由点到直线的距离公式可得. （2） 因为直线 和 平行，所以.又因为两条平行直线间的距离小于1，即，解得，故 的取值范围为. 课堂巩固 自测 1．已知，两点到直线的距离相等，则（ ） A. 4 B. 6 C. 2 D. 4或6 【答案】D 【解析】选.由于点 与点 到直线 的距离相等，则，解得 或.故选. 2．（多选）下列直线与直线平行，且与它的距离为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】选.设所求直线的方程为，由题意可得，解得 或，故所求直线的方程为 或. 3．若直线与直线间的距离为，则. 【答案】14 【解析】直线 变形为，因为，所以直线 与直线 间的距离为，解得 或.因为，所以. 4．已知直线，. （1） 当时，求两直线之间的距离； （2） 写出原点到直线的距离，并求出该距离的最大值. 【答案】（1） 解：当 时，，，所以两直线之间的距离为. （2） 原点到直线 的距离为，当 时，. 1.已学习：（1）点到直线的距离公式. （2）两条平行直线间的距离公式. 2.须贯通：（1）距离公式的应用. （2）利用“坐标法”解决平面几何问题. 3.应注意：要结合图形求解距离问题，防止漏解和增解. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知点到直线的距离为1，则（ ） A. 0或2 B. 1或2 C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】选.因为点 到直线 的距离为1，所以，解得 或. 2．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】选.由题意可得，所以. 直线 可以化为， 由两条平行直线间的距离公式可得. 3．已知，分别为两平行直线和上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由题意可知 的最小值为这两条平行直线间的距离，为. 4．在梯形中，，且和所在直线的方程分别是与，则梯形的面积为（ ） A. B. C. D. 45 【答案】B 【解析】选.由，知，所以梯形 的高即为直线 和 间的距离，所以梯形 的面积为. 5．[（2025·汕头期中）]点到直线为任意实数的距离的最大值是（ ） A. 5 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】选.将直线方程 变形为，由此可得直线 恒过点，不妨设为，所以点 到直线 的距离最大为，此时直线 垂直于. 又，所以点 到直线 的距离的最大值为. 6．[（2025·唐山期末）]（多选）已知直线，互相平行，且,之间的距离为，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】AC 【解析】选.由题意得，解得.故 的方程为，又，则，解得 或，故. 7．若直线与直线平行，则这两平行线间的距离为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意，直线 与直线 平行， 所以，解得， 所以两平行线，之间的距离. 8．若倾斜角为 的直线被直线与所截得的线段为，则的长为_ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意，可得直线 与直线，垂直，则由两平行直线间的距离公式， 得. 9．到直线的距离等于的一条直线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】或 【解析】由题意得所求直线与已知直线平行， 设所求直线方程为， 则， 解得 或， 故所求直线方程为 或. 10．（13分）已知两直线和的交点为． （1） 求过点且与直线平行的直线方程；（5分） （2） 直线过点，且直线与点,距离相等，求直线的方程．（8分） 【答案】 （1） 解：由 得 所以交点． 设所求直线为， 点 坐标代入方程，化简得， 所以所求直线的方程为. （2） 方法一:当直线 斜率不存在时，方程为， 此时点,到直线 的距离分别为1,2，不相等，舍去， 故直线 的斜率存在，设所求直线 的方程为，即， 所以， 解得 或， 所以所求直线 的方程为 或. 方法二：①当直线 时，， 直线 的方程为，即； ,,故线段 的中点， 当直线 过线段 的中点 时，， 故直线 的方程为， 即, 所以所求直线 方程为 或. B 能力提升 11．[（2025·周口期中）]已知直线与平行，且，之间的距离与点到的距离均为1，则在轴上的截距为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】选.因为直线 与 平行，设直线 的方程为，因为,之间的距离与点 到 的距离均为1，则 解得 所以直线 的方程为，即，故直线 在 轴上的截距为0. 12．已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选.因为, 所以该式子表示点 到点，与到点 的距离之和， 又因为， 所以上述式子表示直线 上的点 到点，与到点 的距离之和， 又点,在直线 异侧，， 所以直线 上的点 到点，与到点 的距离之和的最小值为，即所求最小值为. 13．（13分）已知的顶点在直线上运动，点为，点为. （1） 求直线的方程；（5分） （2） 的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.（8分） 【答案】 （1） 解：由，得， 由点斜式方程，化简得. （2） 的面积为定值. 由于，故， 又点 在直线 上运动， 故点 到直线 的距离为定值， 即为两条平行直线的距离 ， 因为， 所以. 14．（15分）已知直线与. （1） 若,两点分别在直线,上运动，求的中点到原点的最短距离；（7分） （2） 若直线过点，且被直线,截得的线段长为，求直线的方程.（8分） 【答案】 （1） 解：设与直线,平行且到,距离相等的直线上的点为， 则， 所以， 即， 所以 的中点 到原点的最短距离即为原点到直线 的距离， 所以所求最短距离为. （2） 因为 与 之间的距离， 所以直线 与直线,垂直，即直线 的斜率为，又直线 过点， 所以直线 的方程为，即. C 素养拓展 15．（多选）若直线被两条平行直线与所截得的线段长为，则直线的倾斜角可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】选.设直线 与两条平行直线所成的锐角或直角为 ， 两条平行直线 与 的距离为. 因为直线 被两条平行直线 与 所截得的线段长为，所以，所以 . 因为直线 的斜率为，倾斜角为 ，所以由图可知直线 的倾斜角可以是 或 . 学科网（北京）股份有限公司 $