第1章 09-1.5.2 点到直线的距离（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（苏教版）

该高中数学课件聚焦“平面上的距离”，核心内容为点到直线的距离公式及两条平行线间的距离计算。通过复习直线方程基础，衔接距离公式推导，搭建从基础概念到综合应用的学习支架，帮助学生逐步掌握距离公式的直接应用与几何意义转化。 其亮点在于精选教材改编题与各地月考真题，以问题情境培养数学眼光，如通过动点距离最小值问题抽象几何模型。采用一题多解发展数学思维，例如两点到直线距离相等问题的分类讨论。规范的解析步骤强化数学语言表达，助力学生提升解题逻辑与应用能力，也为教师提供丰富的分层教学资源。

第1章 直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 1.5　平面上的距离 1.5.2　点到直线的距离 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　点到直线的距离 1.[教材习题改编]已知点A在直线x-y+3=0上,点B(2,1),则AB的最小值为 (　　　) A.1　　　 B.2　　　 C.2 　　　 D.4     C     解析　因为点B(2,1)不在直线x-y+3=0上,所以当BA与直线x-y+3=0垂直时,AB取得最小值, 则(AB)min= =2 . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏靖江斜桥中学月考]已知A(-3,-4),B(6,3)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则a的值为  (　　　) A. 　　　   　　 B.-  C.- 或- 　　　    D. 或-  C     第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:因为A(-3,-4),B(6,3)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等, 所以 = ,即|-3a-3|=|6a+4|,整理得27a2+30a+7=0, 解得a=- 或a=- . 解法二:当AB∥l时,由A(-3,-4),B(6,3),得直线AB的斜率为 = ,而直线l的斜率为-a,所以-a= ,解得a =- ; 当A,B在直线l的两侧时,线段AB的中点 在直线l:ax+y+1=0上,则 - +1=0,解得a=- . 经检验,a=- 和a=- 均符合题意. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江苏镇江重点高中学情调研]若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:5x-12y+2=0与l2:5x-12y+8=0上 移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为 (　　　) A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      A     解析　设AB的中点M的坐标为(x,y),则  又A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:5x-12y+2=0与l2:5x-12y+8=0上, ∴ 两式相加得5(x1+x2)-12(y1+y2)+10=0, ∴10x-24y+10=0,即5x-12y+5=0, 即AB的中点M在直线5x-12y+5=0上移动, ∴M到原点距离的最小值即原点到直线5x-12y+5=0的距离,为 = . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025江苏镇江一中、徐州三中等十三校联盟期中]已知l:3x+4y+6=0,P(m,n)为l上一动点,则(m+1)2+n2 的最小值为     (　　　) A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      C     解析    (m+1)2+n2表示P(m,n)与(-1,0)之间距离的平方, 因为点(-1,0)到直线l的距离为 = ,所以(m+1)2+n2的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江苏徐州三校联考]在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的三个顶点A(m,n),B(4,-1),C(2,1). (1)求BC边所在直线的一般式方程; (2)若△ABC的面积等于2,且点A在直线l:x-y-5=0上,求点A的坐标. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)已知B(4,-1),C(2,1),则kBC= =-1,则BC边所在直线的方程为y-1=-1×(x-2),即x+y-3=0. (2)由已知得,BC= =2 ,设点A到直线BC的距离为d, 由△ABC的面积等于2,得 ×2 ×d=2,解得d= , 所以  解得 或  所以点A的坐标为(5,0)或(3,-2). 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　两条平行线间的距离 6.[2026江苏徐州睢宁高级中学月考]直线3x+2y-3=0和6x+4y+1=0之间的距离为 (　　　) A.4　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      D     解析　易得两直线平行,方程6x+4y+1=0可以化为3x+2y+ =0(点拨:化为系数对应相等的一般式方程), 因此,两条平行直线之间的距离d= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏南通天星湖中学月考]已知直线x+ay+2a=0与直线2x+(a+3)y+2=0平行,则这两条平行直线间 的距离为 (　　　) A.4　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      B     解析　由题意可得 = ≠ ,则2a=a+3,解得a=3,经检验符合题意, 故可得直线x+3y+6=0与直线2x+6y+2=0,方程2x+6y+2=0可化为x+3y+1=0, 因此,两直线之间的距离d= = . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江苏无锡市北高级中学月考]若直线l被两平行线l1: x-y+1=0与l2: x-y+3=0所截得的线段的长 为 ,则直线l的倾斜角大小为 (　　　) A.15°　　　    B.15°或105° C.60°　　　    D.15°或45°     B     解析　因为直线l1: x-y+1=0与l2: x-y+3=0平行,所以两直线之间的距离d= =1, 设直线l与l1,l2两平行线的夹角为θ,则sin θ= ,即θ=45°,又l1,l2的斜率为 ,所以其倾斜角为60°,所以直线 l的倾斜角为15°或105°. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026山东青岛月考]若两条平行直线l1:x-2y+m=0与l2:2x+ny-6=0之间的距离是2 ,则m=___________.     7或-13     解析　方程x-2y+m=0可化为2x-4y+2m=0. 由l1∥l2,得n=-4, 依题意,得 =2 ,整理得|m+3|=10,解得m=7或m=-13. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025江苏常州田家炳高级中学调研]已知▱ABCD的四条边所在的直线分别是l1:x-4y+5=0,l2:2x+y-8= 0,l3:x-4y+14=0,l4:2x+y+1=0. (1)求▱ABCD对角线交点的坐标; (2)求▱ABCD的面积. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)根据题意,联立l1,l2的方程,得 解得 所以l1与l2的交点为(3,2),记为A, 同理,联立l2,l3的方程可得其交点为(2,4)(记为B),联立l3,l4的方程可得其交点为(-2,3)(记为C),联立l1,l4的方 程可得其交点为(-1,1)(记为D). 对角线交点坐标即为线段AC的中点坐标,即 = , 即▱ABCD对角线交点的坐标为 . (2)易知AD= = , 两平行直线l1,l3之间的距离d= = = , 所以▱ABCD的面积为AD·d= × =9. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 1.5　平面上的距离 1.5.2　点到直线的距离 第1讲　描述运动的基本概念 题组　距离公式的综合应用 1.[2026湖南衡阳第三中学月考]A为直线l1:x+y-1=0上一点,直线l2经过点 且与直线y=x垂直,点B在l2 上移动,则AB的最小值为 (　　　) A. 　　　    B. 　　　    C.1　　　    D.0     A     解析　因为l2经过点 且与直线y=x垂直,所以l2的斜率为-1,所以l2的方程为y+ =-(x-1),即x+y+ =0, 易得l1∥l2, 又A为l1上一点,点B在l2上移动,所以AB的最小值为 = = .(点拨:两条平行直线之间的距离) 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏淮安涟水第一中学月考]顺次连接A(2,-3),B ,C(2,3),D(-4,4)四点所得的四边形的面积 为 (　　　) A.18　　　    B.26　　　    C.35　　　    D.27     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由已知得,kAB= =- ,kCD= =- ,所以AB∥CD, 因为kAD= =- ,kBC= =- ,所以kAD≠kBC, 所以四边形ABCD有且仅有一组对边平行,即四边形ABCD为梯形. 易得直线AB的方程为y+3=- (x-2),即x+6y+16=0,直线CD的方程为y-3=- (x-2),即x+6y-20=0, 则直线AB,CD之间的距离为 = , 又AB= ,CD= , 所以梯形ABCD的面积为 × × =27. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025江苏南通海门中学调研]已知点P(m,1)(m>0),直线y=- x+2与x轴,y轴分别交于点A,B.若以线段 AB为边在第一象限内作等边△ABC,使得△ABP和△ABC的面积相等,则m=(　　　) A.5 　　　    B.3 　　　    C. 　　　    D.2      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图所示,直线y=- x+2与x轴,y轴分别交于点A(2 ,0),B(0,2),易知AB=4,若以线段AB为边在第 一象限内作等边△ABC,则AB边上的高为2 ,若要使得△ABP和△ABC的面积相等,则点P(m,1)(m>0)到 直线AB的距离d=2 ,即 =2 ,解得m=5 (舍负).   第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2026江苏连云港新海高级中学质量监测]已知直线l1:(a+2)x+y+a+1=0与l2:3x+ay-2a=0,则下列 说法正确的是(　　　　) A.直线l1恒过第二象限 B.坐标原点到直线l1的最大距离为  C.若l1⊥l2,则a=  D.若l1∥l2,则l1与l2之间的距离为      ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,将(a+2)x+y+a+1=0变形为a(x+1)+(2x+y+1)=0. 令 解得 即直线l1恒过定点(-1,1),因为该点在第二象限内,所以直线l1恒过第二象限,A 正确. 对于B,因为直线l1恒过定点(-1,1)(记为A),所以坐标原点O(0,0)到直线l1的最大距离就是原点O到定点A 的距离,即OA= = ,B正确. 对于C,若l1⊥l2,则3(a+2)+a=0,解得a=- ,C错误. 对于D,若l1∥l2,则 = ≠ . 由 = ,可得a2+2a-3=0,解得a=1或a=-3. 当a=1时, = =1, =-1,满足 = ≠ . 第1讲　描述运动的基本概念 当a=-3时,两直线重合,舍去. 故直线l1:3x+y+2=0,l2:3x+y-2=0,则直线l1与l2之间的距离d= = = ,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江西上饶玉山第一中学集中训练]已知x,y∈R,则(x-y)2+ 的最小值为 (　　　) A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.2 -      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析    (x-y)2+ 可看成点(x,x+1)到点 的距离的平方, 点(x,x+1)在直线y=x+1上,点 在反比例函数y=- 的图象上,   问题转化为在反比例函数y=- 的图象上找一点,使得它到直线y=x+1的距离的平方最小. 注意到反比例函数y=- 的图象关于直线y=-x对称,直线y=x+1也关于直线y=-x对称, 设P ,x<0,因为-x- ≥2 =2 =2,当且仅当x=-1时取等号,所以x+ +1≤-1,所以P到直 第1讲　描述运动的基本概念 线y=x+1的距离d= ≥ , 所以反比例函数y=- 图象上的点到直线y=x+1的最小距离为 ,所以(x-y)2+ 的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025江苏苏州期中]已知直线l1:2x-y=0与l2:x+y-3=0,过点P(3,2)的直线l被l1,l2截得的线段恰好被点P平 分,则这三条直线l1,l2,l围成的三角形的面积为 (　　　) A. 　　　    B.2 　　　    C.8　　　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设直线l与直线l1,l2的交点分别为A,B,且设A(a,2a), 由题意可知,点A(a,2a)关于点P(3,2)的对称点B(6-a,4-2a)在l2上, 所以6-a+4-2a-3=0,解得a= , 所以A ,B ,所以AB= = . 因为直线l过点P(3,2),A , 所以直线l的斜率k= =-4, 所以直线l的方程为y-2=-4(x-3),即4x+y-14=0, 联立l1,l2的方程,得 解得 所以l1,l2的交点坐标为(1,2), 第1讲　描述运动的基本概念 又点(1,2)到直线l:4x+y-14=0的距离d= = , 所以这三条直线l1,l2,l围成的三角形的面积S= ·AB·d= × × = . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏南京七校联合调研]已知平行四边形ABCD的两条边AB,AD所在直线的方程分别是x+y-1=0, 3x-y+4=0,且它的对角线的交点是M(2,2). (1)求顶点A,C的坐标; (2)求这个平行四边形另外两条边所在直线的方程; (3)求平行四边形ABCD的面积. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)联立  解得 即A , 因为点M(2,2)是AC的中点, 所以C . (2)由kAD=3,且BC∥AD,得直线BC的方程为y=3x-12. 由kAB=-1,且CD∥AB,得直线CD的方程为y=-x+7. 故这个平行四边形另外两条边所在直线的方程是y=3x-12和y=-x+7. 第1讲　描述运动的基本概念 (3)由 得  即D ,所以AD= . 又M到直线AD的距离d= = , 所以▱ABCD的面积S=AD·2d= ×2× =24. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江苏连云港锦屏高级中学月考]已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),l2:4x-2y-1=0,l3:x+y-1=0,且l1与l2间 的距离是 . (1)求a的值; (2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:①点P在第一象限内;②点P到l1的距离是点P到l2的距离 的 ;③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是 ∶ ?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)易得l2:2x-y- =0, ∴l1与l2间的距离d= = = ,即 = , 又∵a>0,∴a=3. (2)假设存在满足题意的点P,设点P(x0,y0), 由条件②知,点P在与l1,l2平行的直线2x-y+c=0 上, 且 = × , ∴c= 或c= , 第1讲　描述运动的基本概念 ∴4x0-2y0+13=0或12x0-6y0+11=0. 由条件③知, = × , ∴|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,即x0-2y0+4=0或3x0+2=0, ∵点P在第一象限内,∴x0>0,∴3x0+2=0与题意不符, ∴ 或  解得 (舍)或  ∴存在点P 同时满足条件①②③. 第1讲　描述运动的基本概念 $