第1章 07-1.5.1 平面上两点间的距离（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（苏教版）

该高中数学课件聚焦“平面上的距离”核心内容，涵盖两点间距离公式、中点坐标公式及应用，通过三角形中线计算、光线反射路程等实例导入，衔接直线方程知识，搭建从基础公式到综合应用的学习支架。 其亮点是以数形结合为核心，引用华罗庚名言引导代数式与距离转化，结合欧拉线、对称点计算等实例，培养数学眼光（抽象能力）和数学思维（推理能力）。分层练习与方法技巧总结助力学生系统掌握，教师可借此提升教学效率。

第1章 直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 1.5　平面上的距离 1.5.1　平面上两点间的距离 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　两点间的距离及中点坐标公式 1.[2026江苏连云港赣榆高级中学质检]已知三角形的三个顶点A(2,4),B(3,-6),C(5,2),则BC边上中线的长 为 (　　　) A.2 　　　    B. 　　　    C.11 　　　    D.3      A     解析　设BC的中点为D(x,y),由中点坐标公式得 则D(4,-2), 所以AD= = =2 . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026广东部分学校联考]在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,2),B(3,1),C(1,4),则cos∠ABC= (　　　) A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      D 解析　由题得A,B,C三点不共线, AB= =1, AC= =2 , BC= = , 由余弦定理,可得cos∠ABC= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026河北唐山第二中学月考]已知点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点M的坐标是(3,4),则AB=  (　　　) A.10　　　    B.5　　　    C.8　　　    D.6     A     解析　设A(a,0),B(0,b),则a=6,b=8, 即A(6,0),B(0,8), 所以AB= =10. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　两点间的距离及中点坐标公式的应用 4.[教材深研拓展]著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,隔离分家万事休.”事实上,有很多代数 问题可以转化为几何问题加以解决,如: 可以转化为平面上点M(x,y)到点N(a,b)的距离. 结合上述观点,可得 - 的最大值为(　　　) A.1　　　B. 　　　C. 　　　D.      D     解析     - =  - , 可转化成x轴上一点P(x,0)到点A(1,3)的距离与到点B(0,1)的距离之差(关键点), 则PA-PB≤AB= = ,当且仅当A,B,P三点共线时取等号, 所以 - 的最大值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 方法技巧　代数式 可以看作点(x,y)到定点(a,b)的距离;代数式 可以看作x 轴上的点(x,0)到定点(a,b)的距离;代数式 可以看作y轴上的点(0,y)到定点(a,b)的距离. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026广东湛江第四中学月考]如图,一束光线从A(1,0)出发,经直线x+y+1=0反射后又经过点B(6,-5),则 光线从A到B走过的路程为(　　　)   A. 　　　    B.2 　　　    C. 　　　    D.2      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意可得,点A(1,0)关于直线x+y+1=0的对称点C在反射光线所在直线上,   设C(x0,y0), 则 ∴  ∴C(-1,-2). 设反射点为P,故光线从A到B走过的路程为AP+PB=CP+PB=BC= = . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025江苏泰州兴化调研]数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三 角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直 线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知△ABC的顶点为A(0,0),B(5,0),C(2,4),则该三角形的欧拉线方程 为________________.     x+2y-5=0     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设重心为G,易得重心的坐标为 ,即G .设外心M ,因为MA=MC, 所以  = , 解得a= ,即M . 所以kGM= =- ,故欧拉线方程为y- =-  ,即x+2y-5=0. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏南通大学附属中学月考]已知△ABC的三个顶点是A(4,0),B(2,4),C(0,3). (1)求边AB上的中线所在直线的一般式方程及中线长度; (2)过点B作直线AC的垂线BD,求垂足D的坐标. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)已知A(4,0),B(2,4),则AB的中点坐标为(3,2),设M(3,2), 由直线的两点式方程得 = ,即x+3y-9=0, 故边AB上的中线所在直线的一般式方程为x+3y-9=0. 中线长CM= = . (2)由已知得kAC= =- ,则垂线BD的斜率kBD=- = , 故直线AC的方程为y=- (x-4),即3x+4y-12=0, 直线BD的方程为y-4= (x-2),即4x-3y+4=0. 由 解得 故垂足D的坐标为 . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026浙江精诚联盟月考]已知直线l的方程为(m+1)x+(2m-1)y+4=0. (1)求出直线l所过的定点M,并求出M到原点O的距离; (2)过点M的直线l1分别交x轴非正半轴、y轴正半轴于A,B两点,当△AOB面积最小时,求△AOB的周长. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)直线l的方程可化为(x+2y)m+x-y+4=0, 由 解得 所以直线l过定点M , OM= = . (2)设l1:y- =k (k>0),令x=0,得y= k+ ,令y=0,得x=- - , 所以S△AOB=  · = + k+ ≥2 + = , 当且仅当 = k,即k= 时取等号, 则当x=0时,y= × + = ,当y=0时,x=- - =- , 第1讲　描述运动的基本概念 即A ,B , 则OA+OB+AB= + + = , 即当△AOB的面积最小时,△AOB的周长为 . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 1.5　平面上的距离 1.5.1　平面上两点间的距离 第1讲　描述运动的基本概念 题组　两点间的距离及中点坐标公式的应用 1.[2026江苏徐州邳州明德实验学校学情调研]已知P,Q是直线l:x-y+1=0上两动点,且PQ= ,点A(-4,6), B(0,6),则AP+PQ+QB的最小值为(　　　) A.10+ 　　　    B.10- 　　　    C.10 　　　    D.12     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　不妨设点P(x,x+1),且在点Q的左边,因为直线l:x-y+1=0的倾斜角为45°,且PQ= , 所以点Q的坐标为(x+1,x+2), 则AP+PQ+QB= + + , 记d= + ,M(x,x),D(-4,5),C(-1,4), 则d表示直线y=x上一点M(x,x)到点D(-4,5),C(-1,4)的距离之和, 如图,作出点C(-1,4)关于直线y=x的对称点C',则C'(4,-1), 连接DC',C'M,则d=CM+DM=C'M+DM≥DC'= =10,当且仅当D,M,C'三点共线时等号成 立, 故AP+PQ+QB的最小值为10+ . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026重庆黔江期中]已知x,y∈R,则 + + 的最小值是 (　　　) A.3　　　    B.3 　　　    C. 　　　    D.5      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析     = 可以表示成点(x,0)到点(-4,-2)的距离,  可以表示成点(x,0)到点(0,y)的距离, = 可以表示成点(0,y)到点(1,3)的距 离, 设A(-4,-2),B(x,0),C(0,y),D(1,3),则 + + 表示AB+BC+CD, 当A,B,C,D四点共线时,(AB+BC+CD)min=AD= =5 , 故 + + 的最小值是5 .   第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2026江苏扬州大学附属中学月考]已知点M(-1,1),N(2,1),且点P在直线l:x+y+2=0上,则  (　　　　) A.存在点P,使得PM=PN B.存在点P,使得PM⊥PN C.存在点P,使得2PM=PN D.存在点P,使得PM+PN=6 ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,由点M(-1,1),N(2,1),得直线MN的方程为y=1, 则线段MN的垂直平分线方程为x= , 联立 解得  所以当P 时,PM=PN,故A正确; 设P(a,-a-2), 对于B, =(-1-a,3+a), =(2-a,3+a), 要使PM⊥PN, 则 · =(-1-a,3+a)·(2-a,3+a)=-(1+a)(2-a)+(3+a)2=2a2+5a+7=0, 而Δ=52-4×2×7<0,方程无解,故PM与PN不垂直,故B错误; 第1讲　描述运动的基本概念 对于C,若2PM=PN, 则2  = ,即2a2+10a+9=0, 由Δ=102-4×2×9=28>0,知方程有解,则存在点P,使得2PM=PN,故C正确; 对于D,设M(-1,1)关于直线l的对称点为M'(m,n), 则 解得  即M'(-3,-1), 所以PM+PN=PM'+PN≥M'N= = ,当且仅当P,M',N三点共线时等号成立, 因为 <6,所以存在点P,使得PM+PN=6,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026江苏南通海安实验中学学情检测]已知直线l经过点C(4,2),且与x轴、y轴分别交于点A,B,当AC· BC取最小值时,直线l的方程为____________________.     y=x-2或y=-x+6     解析　因为直线l与x轴、y轴分别交于点A,B, 所以直线l的斜率存在且不为0,可设直线l的方程为y-2=k(x-4)(k≠0), 令y=0,得x=4- ;令x=0,得y=2-4k, 所以A ,B(0,2-4k),所以AC= =2 ,BC= =4 , 所以AC·BC=8 =8 ≥16, 当且仅当k2= ,即k=±1时取等号, 此时直线l的方程为y=x-2或y=-x+6. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026河南TOP二十名校调研]已知A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l:12x-5y+b=0(b∈R)上的两点,若|x1-x2|=5,则AB =__________.     13     解析　因为A(x1,y1),B(x2,y2)在直线l上,所以y1= x1+ ,y2= x2+ . 又因为|x1-x2|=5,所以|y1-y2|= =12, 所以AB= = =13. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江苏扬州广陵红桥高级中学月考]设m∈R,若过定点A的动直线x+my-m=0和过定点B的动直线mx -y-m+3=0交于点P(x,y),AB的中点为Q,则PQ的长为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    x+my-m=0可整理为x+m(y-1)=0,则A(0,1), mx-y-m+3=0可整理为y=m(x-1)+3,则B(1,3). 因为1·m+m·(-1)=0,所以两直线垂直,如图,   因此△ABP为直角三角形, 又Q为AB的中点,所以PQ= AB= × = . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[教材深研拓展]过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段的中点恰好为P, 则直线l的方程为________________,此时被截得的线段长为__________.     2          x+4y-4=0     解析　设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知点A关于点P的对称点(-a,2a-6)在l2上,设B(-a,2a-6), 把点B的坐标代入l2的方程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,所以A(4,0),B(-4,2), 故l的方程为 = ,即x+4y-4=0. 此时被截得的线段长为AB= =2 . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025江苏启东中学阶段检测]如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的长AB=2,宽AD=1,边AB,AD 分别在x轴、y轴的非负半轴上,点A与坐标原点O重合,将矩形折叠,使点A落在线段DC上(含端点)一点G 处,设折痕所在直线的斜率为k,若- ≤k≤0,则折痕EF的取值范围为_________.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　当k=0时,点A和点D重合,折痕EF所在直线的方程为y= ,折痕EF的长为2. 当k≠0时,设G(a,1)(0<a≤2), 因为A与G关于直线EF对称,所以kAG·k=-1,即 ·k=-1,解得a=-k, 故G(-k,1)(-2≤k<0),则直线EF与AG的交点为 , 故直线EF的方程为y- =k ,即y=kx+ + (-2≤k<0), 因为直线BD的斜率为- ,所以当- ≤k<0时,折痕端点E在线段OD上,F在线段BC上,如图. 第1讲　描述运动的基本概念   易知F ,E , 所以EF2=(0-2)2+  -  2=4+4k2, 因为- ≤k<0,所以4+4k2∈ ,所以EF∈ . 综上,EF的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026湖北云学联盟月考]在△ABC中,BC边上的高AH所在直线的方程为y= x+1,∠BAC的平分线AM 所在直线的方程为y=x,点B的坐标为(-2,1). (1)求点A和点C的坐标; (2)求△ABM的面积与△ACM的面积的比值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得,直线y= x+1和直线y=x的交点为A. 联立 解得x=y=2,即A(2,2), 因为点B(-2,1)关于直线y=x的对称点为(1,-2)(记为N),且点N在AC上, 所以kAC= =4, 所以边AC所在直线的方程为y-2=4(x-2),即y=4x-6①, 又BC边上的高所在直线的方程为y= x+1,故kBC=-2, 所以直线BC的方程为y-1=-2(x+2),即y=-2x-3②, 联立方程①②,得点C的坐标为 . 第1讲　描述运动的基本概念 (2)由(1)得A(2,2),C ,B(-2,1), 所以AB= = , AC= = , 又因为∠BAC的平分线为AM,所以∠BAM=∠CAM, 所以 = = = = . 第1讲　描述运动的基本概念 $