第1章 05-1.3 两条直线的平行与垂直（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（苏教版）

该高中数学课件聚焦“两条直线的平行与垂直”核心知识点，通过教材改编题和基础题组导入，衔接直线方程知识，以斜率计算、平行垂直条件判断为学习支架，构建从基础到综合应用的知识脉络。 其亮点在于结合各地调研题与综合案例，通过详细解析培养学生推理能力和模型观念，如用正弦定理证垂直、折叠问题中的对称思想。学生能提升数学思维，教师可获得丰富教学资源，助力高效教学。

第1章 直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 1.3　两条直线的平行与垂直 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　两条直线平行 1.[教材习题改编][多选题]下列直线l1与直线l2平行的有 (　　　　) A.直线l1经过点A(2,1),B(-3,5),直线l2经过点C(3,-3),D(8,-7) B.直线l1经过点A(0,1),B(-2,-1),直线l2经过点C(3,4),D(5,2) C.直线l1经过点A(0, ),B(1,2 ),直线l2的倾斜角为60°且过原点 D.直线l1经过点A(0,2),B(0,1),直线l2的斜率为0     AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,kAB= =- ,kCD= =- ,所以kAB=kCD, 故直线l1的方程为y-1=- (x-2),即y=- x+ , 直线l2的方程为y+3=- (x-3),即y=- x- , 所以直线l1与直线l2平行,故A正确; 对于B,kAB= =1,kCD= =-1,所以kAB≠kCD,所以直线l1与直线l2不平行,故B错误; 对于C,kAB= = ,直线l2的斜率为tan 60°= ,所以kAB= , 又直线l1的方程为y- = x,即y= x+ ,直线l2的方程为y= x,所以两直线平行,故C正确; 对于D,直线l1的方程为x=0,直线l2与x轴平行或重合,所以两直线不平行,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏常州调研]与直线2x-y-3=0相交的直线方程是(　　　) A.4x-2y-6=0　　　     B.y=2x C.y-1=2(x+2)　　　    D. + =1     D     解析　直线2x-y-3=0的斜率为2.(点拨:相交即不平行,找斜率不相等) 对于A,4x-2y-6=0可化为2x-y-3=0,故两直线重合,不符合题意; 对于B,直线y=2x的斜率为2,故两直线平行,不符合题意; 对于C,直线y-1=2(x+2)的斜率为2,故两直线平行,不符合题意; 对于D,直线 + =1的方程可化为x+2y-6=0,其斜率为- ,故两直线相交,符合题意. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025江苏宿迁沭阳期中]设m为实数,若矩形ABCD的边AB,CD所在直线的方程分别为x+2my-1=0,(3m- 2)x-my-1=0,则m的值为(　　　) A. 　　　    B.0　　　    C.0或 　　　    D.-2     C     解析　由题意可知,直线x+2my-1=0与直线(3m-2)x-my-1=0平行, 则1×(-m)=2m(3m-2),解得m=0或m= , 当m=0时,两直线方程分别为x=1,x=- ,两直线平行,符合题意; 当m= 时,两直线方程分别为x+y-1=0,x+y+2=0,两直线平行,符合题意. 综上所述,m的值为0或 . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025江苏连云港灌云第一中学期中]已知直线l过点(-1,1)且与直线x+2y=0平行,则直线l与x轴、y轴围 成的三角形的面积为_________. 解析　由题意可设l的方程为x+2y+c=0(c≠0), 因为直线l过点(-1,1),所以-1+2+c=0,解得c=-1,所以l的方程为x+2y-1=0, 令x=0,得y= ,令y=0,得x=1, 所以l与x轴、y轴围成的三角形的面积为 ×1× = . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　两条直线垂直 5.[2026江苏连云港新海高级中学质量检测]已知直线l1:mx-y-3=0,l2:(m-2)x-y+1=0,则“m=1”是“l1⊥l2” 的 (　　　) A.充分不必要条件　　　    B.必要不充分条件 C.充要条件　　　    　　　D.既不充分又不必要条件     C     解析　当m=1时,l1:x-y-3=0,l2:-x-y+1=0,即l1:y=x-3,l2:y=-x+1, 则  =-1,即l1⊥l2; 当l1⊥l2时,m(m-2)+(-1)×(-1)=0,所以m=1. 所以“m=1”是“l1⊥l2”的充要条件. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026河北邯郸武安第一中学月考]设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,则直线sin A·x+ay+c=0与 bx-sin B·y+sin C=0的位置关系是　     (　　　) A.平行　　　    B.重合　　　    C.垂直　　　    D.无法确定     C     解析　因为两直线的系数满足bsin A+a(-sin B)=bsin A-asin B=0(点拨:由正弦定理得bsin A=asin B),所以 两直线垂直. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江西宜春段考]设m∈R,过定点A的动直线x-2my=0和过定点B的动直线2mx+y-6m-4=0交于点P,点 P不与A,B重合,则 + 的最小值是 (　　　) A.9　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      C     解析　易知直线x-2my=0过定点A(0,0),直线2mx+y-6m-4=0即(2x-6)m+y-4=0,过定点B(3,4), 因为1×2m+(-2m)×1=0,所以两条直线垂直, 则AB2=PA2+PB2=32+42=25, 则 + =  ·(PA2+PB2)=  5+ +  ≥  5+2  = ×(5+4)= , 当且仅当PB2=2PA2= 时等号成立,故 + 的最小值是 . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江苏无锡江阴第二中学月考]已知a>0,b>0,直线l1:(a-1)x+y-1=0,l2:x+2by+1=0,且l1⊥l2,则 + 的最 小值为_________.     8     解析　因为l1⊥l2,所以(a-1)×1+1×2b=0,即a+2b=1, 又a>0,b>0,所以 + = (a+2b)=2+2+ + ≥4+2 =8, 当且仅当 = ,a+2b=1,即a= ,b= 时等号成立, 所以 + 的最小值为8. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　直线平行与垂直的综合应用 9.[2026四川眉山仁寿华兴中学月考]顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)所构成的图形是(　　　) A.平行四边形　　　    B.直角梯形 C.等腰梯形　　　     D.以上都不对     B     解析　由已知得,kAB= = ,kCD= = ,kAD= =-3,kBC= =- ,则kAB=kCD,kAD≠kBC, 所以AB∥CD,AD与BC不平行, 又kAD·kAB=-1,所以AD⊥AB 故构成的图形为直角梯形. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[多选题][2026江苏南通大学附属中学月考]已知直线l1:2x+y+2=0,直线l2:(k+1)x+ky+k2+1=0(k∈R),则  (　　　　) A.直线l2可以与x轴平行 B.直线l2可以与y轴平行 C.当l1∥l2时,k=1 D.当l1⊥l2时,k=-      ABD     解析　当k=-1时,直线l2:y-2=0,此时直线l2与x轴平行,故A正确; 当k=0时,直线l2:x+1=0,此时直线l2与y轴平行,故B正确; 若l1∥l2,则2k-(k+1)=0,解得k=1,此时直线l2:2x+y+2=0,与l1重合,故C错误; 若l1⊥l2,则2(k+1)+k×1=0,解得k=- ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026河南省实验中学月考]菱形ABCD的顶点A,C的坐标分别为(-4,7),(6,-5),BC边所在直线过点 P(4,-1). (1)分别求BC边,AD边所在直线的一般式方程; (2)求对角线BD所在直线的一般式方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由菱形的性质可知BC∥AD,则kAD=kBC=kCP= =-2, 所以BC边所在直线的方程为y+5=-2(x-6),即2x+y-7=0; AD边所在直线的方程为y-7=-2(x+4),即2x+y+1=0. (2)线段AC的中点为(1,1),记为点E,kAC= =- , 由菱形的几何性质可知,BD⊥AC且E为BD的中点,则kBD=- = , 所以对角线BD所在直线的方程为y-1= (x-1),即5x-6y+1=0. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 1.3　两条直线的平行与垂直 第1讲　描述运动的基本概念 题组　两条直线平行与垂直的应用 1.[2026广东深圳高级中学高中园月考]下列说法正确的是(　　　) A.若直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直,则a=-1 B.经过点(2,1)且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为x+y-3=0 C.若动直线l过点A(3,4),当点B(-3,2)到l的距离最远时,直线l的方程是3x-y-5=0 D.若直线ax+2y+6=0与直线x+(a-1)y+a2-1=0互相平行,则a=-1     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,若两直线垂直,则a2+a=0,解得a=0或a=-1,A错误; 对于B,当直线过原点和点(2,1)时,直线在x轴和y轴上的截距相等,此时直线方程为y= x,B错误; 对于C,当动直线l与直线AB垂直时,点B(-3,2)到l的距离最远, 易得kAB= = ,所以直线l的斜率为-3, 则直线l的方程为y-4=-3(x-3),即3x+y-13=0,C错误; 对于D,若两直线平行,则  解得a=-1,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,若两直线垂直,则a2+a=0,解得a=0或a=-1,A错误; 对于B,当直线过原点和点(2,1)时,直线在x轴和y轴上的截距相等,此时直线方程为y= x,B错误; 对于C,当动直线l与直线AB垂直时,点B(-3,2)到l的距离最远, 易得kAB= = ,所以直线l的斜率为-3, 则直线l的方程为y-4=-3(x-3),即3x+y-13=0,C错误; 对于D,若两直线平行,则  解得a=-1,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026江苏扬州大学附属中学月考]已知直线l1:x-y-1=0,动直线l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R),则下列 结论正确的是 (　　　　) A.对任意k,l2总过一定点 B.存在k,使得l2的倾斜角为90° C.存在k,使得l1与l2平行 D.存在k,使得l1与l2垂直     AB     解析　对于A,直线l2:(k+1)x+ky+k=0即(k+1)x=k(-y-1),即直线l2经过定点(0,-1),故A正确; 对于B,若k=0,则l2:x=0,其倾斜角为90°,故B正确; 对于C,易知直线l1与l2均过点(0,-1),所以不存在k,使得l1与l2平行,故C不正确; 对于D,若两直线垂直,则1×(k+1)+(-1)×k=0,此方程无解,故不存在k,使得l1与l2垂直,故D不正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江苏淮安淮阴中学阶段考试]将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,0)和点 重合,点(7,3)和点 (m,n)重合,则m+n=(　　　) A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      A     思路分析 (0,0),  折痕所在直线的方程 求出m,n. 第1讲　描述运动的基本概念 解析     设点O(0,0),P ,线段OP的中点为M, 则M ,即M , 折痕所在直线(记为l)即为线段OP的垂直平分线(关键点), 因为直线OP的斜率为 =- ,所以l的斜率为2, 第1讲　描述运动的基本概念 所以l的方程为y- =2 ,即y=2x-3, 设G(7,3),N(m,n), 由题知G(7,3)与N(m,n)关于直线l对称, 则线段GN的中点在直线l上且直线GN与l互相垂直, 所以  化简得  解得 所以m+n= . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026江苏南通海安实验中学学情检测]已知关于x,y的方程组 无解,则实数m的值为 _______. 　-2     解析　方程组 无解等价于直线mx-2y+1=0与直线x-(m+1)y+1=0平行, 则-m(m+1)=-2,解得m=-2或m=1, 当m=1时,两条直线的方程分别为x-2y+1=0,x-2y+1=0,两直线重合,不符合题意;当m=-2时,两条直线的方 程分别为-2x-2y+1=0,x+y+1=0,两直线平行,符合题意. 故m=-2. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026安徽亳州蒙城实验永兴中学月考]已知A(1,2),B(5,0),C(3,4). (1)若A,B,C,D可以构成平行四边形,求点D的坐标; (2)在(1)的条件下,判断A,B,C,D构成的平行四边形是不是菱形. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得,kAB= =- ,kAC= =1,kBC= =-2. 设D(a,b), 若四边形ABCD是平行四边形,则kCD=kAB,kAD=kBC, 即 解得 即D(-1,6). 若四边形ABDC是平行四边形,则kCD=kAB,kBD=kAC, 即 解得 即D(7,2). 若四边形ACBD是平行四边形,则kBD=kAC,kAD=kBC, 第1讲　描述运动的基本概念 即 解得 即D(3,-2). 综上,点D的坐标为(-1,6)或(7,2)或(3,-2). (2)若点D的坐标为(-1,6), 因为kAC=1,kBD= =-1,所以kAC·kBD=-1,所以AC⊥BD, 所以平行四边形ABCD为菱形. 若点D的坐标为(7,2),因为kBC=-2,kAD= =0,所以kBC·kAD=0≠-1, 所以平行四边形ABDC不是菱形.若点D的坐标为(3,-2), 因为kAB=- ,直线CD的斜率不存在,所以平行四边形ACBD不是菱形. 综上,平行四边形ABCD为菱形,平行四边形ABDC,ACBD不是菱形. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026陕西西安东城第一中学月考]已知直线l经过点P(2,-1),且其一个方向向量为(1,1). (1)若直线l1的倾斜角为 ,l1在x轴上的截距为3,求l1的斜截式方程,并判断l1与l是否平行; (2)若直线l2的一般式方程为x+y+2=0,求l2在y轴上的截距,并判断l与l2是否垂直; (3)若直线l3与l平行,且与两坐标轴围成的三角形的面积为8,求l3的一般式方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为l的一个方向向量为(1,1),所以l的斜率k=1, 又l经过点P(2,-1),所以l的方程为y-(-1)=x-2,即y=x-3. (1)因为l1的倾斜角为 ,所以l1的斜率k1=tan =1, 又l1在x轴上的截距为3,所以l1的方程为y=1×(x-3),化为斜截式方程为y=x-3. 所以l1与l重合,不平行. (2)l2的一般式方程为x+y+2=0,化为斜截式方程为y=-x-2,故l2的斜率k2=-1,在y轴上的截距为-2. 因为k·k2=1×(-1)=-1, 所以l与l2互相垂直. (3)由l3与l平行,得l3的斜率k3=k=1,故可设l3的方程为y=x+b, 令x=0,得y=b;令y=0,得x=-b. 第1讲　描述运动的基本概念 因为l3与两坐标轴围成的三角形的面积为8,所以 |b|·|-b|= b2=8, 所以b2=16,解得b=±4, 所以l3的方程为y=x±4,即l3的一般式方程为x-y±4=0. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025江苏苏州期中]已知△ABC的三个顶点分别为A(1,5),B(-5,-7),C(3,-3),求: (1)BC边上的中线所在直线的方程; (2)BC边上的高所在直线的方程; (3)∠ABC的平分线所在直线的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由中点坐标公式得BC的中点为(-1,-5), 又A(1,5),所以BC边上的中线所在直线的方程为 = ,即5x-y=0. (2)易得kBC= = ,则BC边上的高所在直线的斜率为 =-2, 又BC边上的高所在直线过点A(1,5),所以直线方程为y-5=-2(x-1),整理得2x+y-7=0. (3)易得kAB= =2,kBC= ,∠ABC的平分线所在直线的斜率存在,设为k,因为角平分线所在直线与直线 AB,BC所成的角相等, 所以根据夹角公式得 = ,整理得|k2-4|=|4k2-1|,即k2-4=4k2-1或k2-4=1-4k2, 所以k2=1,解得k=±1, 第1讲　描述运动的基本概念 因为角平分线所在直线的斜率应该在kAB和kBC之间,所以k=1, 又角平分线所在直线过点B(-5,-7), 所以所求直线方程为y+7=1×(x+5),即x-y-2=0. 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展    到角公式与夹角公式 若直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则 (1)直线l1到l2的角θ满足tan θ= ,θ∈[0,π),若tan θ不存在,则θ= ; (2)直线l1与l2的夹角α满足tan α= ,α∈ ,若tan α不存在,则α= . 第1讲　描述运动的基本概念 $