第1章 1.4 两条直线的交点（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦两条直线的交点，核心内容包括用方程组求交点坐标及根据解的个数判定位置关系。导语从平面几何定性研究过渡到坐标系下用二元一次方程定量研究，通过问题导入建立方程组解与直线交点的联系，搭建知识支架。 其亮点在于以问题驱动和表格对比培养数学眼光，通过消元法、参数讨论发展数学思维，直线系方程应用强化数学语言。例題涵盖基础计算与参数探究，一题多解提升能力，帮助学生构建知识体系，也为教师提供丰富教学资源。

§1.4 两条直线的交点 第1章　直线与方程 <<< 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系. 学习目标 在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点、直线相关的距离问题等. 导 语 一、判断直线的交点及由交点求参数 二、过两直线交点的直线系方程 课时对点练 随堂演练 内容索引 判断直线的交点及由交点求参数 一 　提示　在，点A是直线l1与l2的交点. 点A(－2，2)是否在直线l1：3x＋4y－2＝0和直线l2：2x＋y＋2＝0上，点A和直线l1，l2有什么关系？ 问题 设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 方程组的解 一组 无数组 _____ 直线l1，l2的公共点 一个 无数个 零个 直线l1，l2的位置关系 相交 重合 平行 无解 知识梳理 (1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交.当方程组只有一解时，两直线相交. (2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1与l2相交的充要条件是A1B2－A2B1≠0. (3)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2. 注 意 点 <<< 8 (课本例1)分别判断下列直线l1与l2是否相交.若相交，求出它们交点的坐标： (1)l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0； 例 1 因为方程组 所以直线l1和l2相交，且交点坐标为(3，－1). 解 9 (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0； 因为方程组有无数组解，所以直线l1和l2重合. 解 (3)l1：4x＋2y＋4＝0， l2：y＝－2x＋3. 因为方程组无解，所以l1∥l2. 解 10 (1)(多选)下列选项中，正确的有 A.直线l1：x－y＋2＝0和l2：2x＋y－5＝0的交点坐标为(1，3) B.直线l1：x－2y＋4＝0和l2：2x－4y＋8＝0的交点坐标为(2，1) C.直线l1：2x＋y＋2＝0和l2：y＝－2x＋3的交点坐标为(－2，2) D.直线l1：x－2y＋1＝0，l2：y＝x，l3：2x＋y－3＝0两两相交 例 1 √ √ 11 方程组因此直线l1和l2相交，交点坐标为(1，3)， A正确； 方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合，B错误； 方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2，C错误； 方程组所以三条直线两两相交 且交于同一点(1，1)，D正确. 解析 12 (2)直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为 A.－24 B.24 C.6 D.±6 √ 联立因为直线2x＋3y－k＝0和直线x －ky＋12＝0的交点在x轴上，所以y＝＝0，解得k＝－24. 解析 13 若将本例(1)中选项D改为“三条直线mx＋2y＋7＝0，y＝14－4x和2x－3y＝14相交于一点”，求m的值. 延伸探究 1 解方程组 (4，−2). 由题意知点(4，−2)在直线mx＋2y＋7＝0上， 将(4，−2)代入，得4m＋2×＋7＝0， 解得m＝－. 解 14 判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况. (1)解方程组的重要思想就是消元，操作方法有加减消元和代入消元两种. (2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论. (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系. 反 思 感 悟 15 (1)直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点为 A. (4，3) B. (−4，3) C. (−4，−3) D. (4，−3) 跟踪训练 1 由 所以交点为(−4，3). 解析 √ 16 (2)若直线l1：y＝kx＋k＋2与直线l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是 A.k>－ B.k<2 C.－<k<2 D.k<－或k>2 √ 17 方法一　由题意知，直线l1过定点P(－1，2)，斜率为k，直线l2与x轴、y轴分别交于点A(2，0)，B(0，4)，若直线l1与l2的交点在第一象限内，则l1必过线 段AB上的点(不包括A，B)，因为kPA＝－，kPB＝2，所以－<k<2. 方法二　由直线l1，l2有交点，得k≠－2. 由 又交点在第一象限内，所以 解得－<k<2. 解析 18 二 过两直线交点的直线系方程 1.平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C). 2.垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. 3.过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 20 (课本例3)已知直线l经过原点，且经过如下两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，求直线l的方程. 例 2 因为方程组 所以两条直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2)，从而由题意知直线l经过点(－1，－2). 又直线l经过原点，所以直线l的方程为 ，即2x－y＝0. 解 21 求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程. 例 2 22 方法一　解方程组 得. 又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行， 所以所求直线的斜率为－3. 故所求直线方程为y＋＝－3， 即15x＋5y＋16＝0. 解 23 方法二　设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0. (*) 由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行， 所以有得λ＝. 代入(*)式，得x＋y＋＝0， 即15x＋5y＋16＝0. 解 24 本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？ 延伸探究 2 设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0， 由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直， 则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－， 所以所求直线方程为5x－15y－18＝0. 解 25 解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解. (2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组 解得.若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式， 则表示的所有直线必过定点(x0，y0). 反 思 感 悟 26 求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程. 跟踪训练 2 由方程组 即l1与l2的交点坐标为(－2，2). ∵直线过坐标原点，∴其斜率k＝＝－1. 故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0. 解 27 1.知识清单： (1)方程组的解与直线交点个数的关系. (2)直线系过定点问题. 2.方法归纳：消元法、直线系法. 3.常见误区：对两直线相交条件认识模糊. 课堂小结 随堂演练 三 1 2 3 4 1.直线2x＋y＋8＝0和直线x＋y－1＝0的交点坐标是 A.(－9，－10) B.(－9，10) C.(9，10) D.(9，－10) √ 解方程组 故两条直线的交点坐标为(－9，10). 解析 1 2 3 4 2.已知直线l经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0，则直线l的方程是 A.5x＋3y－1＝0 B.5x－3y－1＝0 C.3x＋5y－1＝0 D.3x－5y－1＝0 √ 解方程组∴l1与l2的交点坐标为(－1，2). 由l3的斜率为，得l的斜率为－， ∴所求直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0. 解析 1 2 3 4 3.若关于x的二元一次方程组有无穷多组解，则m＝　　 .  二元一次方程组有无穷多组解，即两个方程对应 的直线重合，由4×1＝m·m，解得m＝2或m＝－2.经检验，m的值为－2. 解析 －2 1 2 3 4 4.若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k ＝　　　　.  解方程组 又该点(－1，－2)也在直线x＋ky＝0上， ∴－1－2k＝0，∴k＝－. 解析 － 课时对点练 四 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B C A A BCD 题号 7 8 11 12 13 答案 9 －2 D A x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0 题号 14 15 答案 C 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由方程组 所以直线l1和l2的交点坐标为. 又因为所求直线斜率为k＝－， 所以所求直线方程为y＋×， 即27x＋54y＋37＝0. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 联立两直线的方程解得 ∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限， ∴ 即－<k<－. 则k的取值范围为. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设B(x0，y0)，则AB的中点E的坐标为， 由条件可得 得即B(6，4). 同理可求得C点的坐标为(5，0). 故所求直线BC的方程为， 即4x－y－20＝0. 基础巩固 1.两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为 A.(3，2) B.(2，3) C.(－2，－3) D.(－3，－2) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解方程组 解析 2.直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为 A.12 B.10 C.－8 D.－6 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1). ∴将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0，得3×2＋m×(－1)－1＝0， 即m＝5， 将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0，得4×2＋3×(－1)－n＝0，即n＝5， ∴m＋n＝10. 解析 3.两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是 A.－24 B.6 C.±6 D.24 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，所以设交点为(0，b)， 所以消去b，可得k＝±6. 解析 4.△ABC的三个顶点分别为A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，如果直线x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，那么实数a的值等于 A. B.1＋ C.1＋ D.2－ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 lAC：＝1，即3x＋2y－6＝0.由 因为S△ABC＝×a×，得a＝或a＝－(舍去). 解析 5.过直线3x－2y＋3＝0与x＋y－4＝0的交点，与直线2x＋y－1＝0平行的直线方程为 A.2x＋y－5＝0 B.2x－y＋1＝0 C.x＋2y－7＝0 D.x－2y＋5＝0 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知，可设所求直线的方程为(3x－2y＋3)＋λ(x＋y－4)＝0， 即(λ＋3)x＋(λ－2)y＋3－4λ＝0， 又因为此直线与直线2x＋y－1＝0平行， 所以≠， 解得λ＝7， 所以所求直线的方程为10x＋5y－25＝0，即2x＋y－5＝0. 解析 6.(多选)已知直线l1：3x－y－1＝0，l2：x＋2y－5＝0，l3：x－ay－3＝0不能围成三角形，则实数a的取值可能为 A.1 B. C.－2 D.－1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由直线l1：3x－y－1＝0，l2：x＋2y－5＝0，l3：x－ay－3＝0不能围成三角形，可得 ①若l1∥l3，则＝3，即a＝； ②若l2∥l3，则＝－，即a＝－2； ③若三直线经过同一个点，则直线l1：3x－y－1＝0与直线l2：x＋2y－5＝0的交点(1，2)在l3：x－ay－3＝0上， 即1－2a－3＝0，解得a＝－1. 综上，a的值可能为，－2，－1. 解析 7.直线l1：3x－y＋12＝0和l2：3x＋2y－6＝0及y轴所围成的三角形的面积为　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 联立 所以直线l1与直线l2的交点坐标为(－2，6). 令x＝0，则直线l1与y轴的交点坐标为(0，12)， 直线l2与y轴的交点坐标为(0，3). 则三角形的三个顶点坐标分别为(－2，6)，(0，12)，(0，3)， 故所求三角形的面积为×9×2＝9. 解析 9 8.已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则m＝　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由两直线垂直得2a－10＝0，解得a＝5. 又点(1，m)在直线ax＋2y－1＝0上， 所以a＋2m－1＝0，所以m＝－2. 解析 －2 9.求经过直线l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交点，且垂直于直线2x－y＋7＝0的直线方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由方程组 所以直线l1和l2的交点坐标为. 又因为所求直线斜率为k＝－， 所以所求直线方程为y＋×， 即27x＋54y＋37＝0. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.若两条直线l1：y＝kx＋2k＋1和l2：x＋2y－4＝0的交点在第四象限，求k的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 联立两直线的方程解得 ∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限， ∴ 即－<k<－. 则k的取值范围为. 解 11.已知a，b满足2a＋b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点 A. B. C. D. √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由2a＋b＝1，得b＝1－2a，代入直线方程ax＋3y＋b＝0中，得ax＋3y＋ 1－2a＝0，即a(x－2)＋3y＋1＝0，令 . 解析 12.若直线l与直线x＝3交于点P，与直线x－y＋5＝0交于点Q，且线段PQ的中点是(1，－1)，则直线l的斜率为 A.－ B.－ C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意得x1＝3， 又线段PQ的中点是(1，－1)，则＝1， 故x2＝－1， 又Q在直线x－y＋5＝0上，则x2－y2＋5＝0， 故y2＝4， 又＝－1，故y1＝－6， 于是P(3，－6)，Q(－1，4)， 根据斜率公式，kl＝kPQ＝＝－. 解析 13.经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为　　　　 　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0， 即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0. 令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝. 由，得λ＝或λ＝. 所以直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0. 解析 x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0 14.若三条直线x－y＋1＝0，x＝1，x＋ky＝0将平面划分成6个部分，则实 数k的取值集合为　　　 　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 直线x－y＋1＝0，x＝1的交点为(1，2)，若3条直线将平面划分成6个部分，分2种情况讨论：①直线x＋ky＝0过交点(1，2)，则k＝－；②直线x＋ky＝0与另外两直线中的一条平行，此时k＝0或k＝－1，所以实数k 的取值集合为. 解析 15.若点P(3，1)既是A(a1，b1)，B(a2，b2)的中点，又是直线l1：a1x＋b1y－10＝0与l2：a2x＋b2y－10＝0的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是 A.3x＋y－10＝0 B.x＋3y－6＝0 C.x－3y＝0 D.3x－y－8＝0 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 直线l1：a1x＋b1y－10＝0与直线l2：a2x＋b2y－10＝0的方程相减可得，(a1－a2)x＋(b1－b2)y＝0， 把点P(3，1)代入可得3(a1－a2)＋(b1－b2)＝0，所以kAB＝＝－3， 所以线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝(x－3)，即x－3y＝0. 解析 16.如图，已知在△ABC中，A(－8，2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设B(x0，y0)，则AB的中点E的坐标为， 由条件可得 得即B(6，4). 同理可求得C点的坐标为(5，0). 故所求直线BC的方程为， 即4x－y－20＝0. 解 第1章　直线与方程 <<< $