第1章 01-1.1 直线的斜率与倾斜角（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（苏教版）

该高中数学课件聚焦“直线的斜率与倾斜角”核心内容，从基础的斜率公式、倾斜角定义入手，通过题组训练衔接斜率与倾斜角的关系，构建从具体计算到概念理解的学习支架，帮助学生逐步掌握两者的转化及应用。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过多样题型（如三点共线判断、斜率范围求解）培养抽象能力，结合正切函数性质推理倾斜角范围发展逻辑思维，创新题型（工人种植果树效率）以数学语言表达现实问题。学生能深化概念理解与应用，教师可借助详细解析提升教学效率。

第1章 直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 1.1　直线的斜率与倾斜角 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　直线的斜率及其应用 1.[2026江苏南通期中]已知经过A(-3,2),B(2,m)两点的直线的斜率为- ,则实数m的值为(　　　) A.- 　　　    B.- 　　　    C. 　　　    D.      B     解析　依题意,得 = =- ,解得m=- . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026广西钦州四中开学考试]下列三点在同一直线上的是 (　　　　) A.(2,4),(3,6),(4,5)　　　     B.(1,3),(3,1),(4,0) C.(2,3),(2,5),(2,-1)　　　     D.(a+1,4),(a-1,4),(a,4)     BCD     解析　对于A, ≠ ,故三点不共线,A错误; 对于B, = ,故三点共线,B正确; 对于C,三点的横坐标都相等,故三点共线(三点所在直线的斜率不存在),C正确; 对于D,三点的纵坐标都相等,故三点共线(三点所在直线的斜率为0),D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026广西玉林五校联考]直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0, )为端点的线段有公共点,则直线l的斜 率的取值范围是 (　　　) A.[- ,1]　　　     B.(-∞,- ]∪[1,+∞) C. 　　　    D. ∪[1,+∞)     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图所示,   当直线l过点A时,设直线l的斜率为k1,则k1= =1; 当直线l过点B时,设直线l的斜率为k2,则k2= =- . 故要使直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0, )为端点的线段有公共点, 则直线l的斜率的取值范围为(-∞,- ]∪[1,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　直线的斜率与倾斜角 4.[2026湖北武汉第六中学月考]下列叙述正确的是 (　　　) A.若一条直线的斜率k=tan α,则此直线的倾斜角为α B.与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90° C.平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 D.若直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为α     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,当α=240°时,直线的斜率k=tan 240°= ,但直线的倾斜角为60°,故A错误. 对于B,与x轴垂直的直线的倾斜角为90°,与y轴垂直的直线的倾斜角为0°,故B正确. 对于C,平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角,而倾斜角为90°的直线的斜率不存在,故C错 误. 对于D,如图①,l的倾斜角为90°+α;如图②,l的倾斜角为90°-α,故D错误.     第1讲　描述运动的基本概念 5.[教材习题改编][2026江苏镇江丹阳质量检测]过点A(m2+2m,2),B(0,2m2+3m)的直线l的倾斜角为135°, 则实数m的值为 (　　　) A.-2或1　     B.1　     C.-2　     D.-3     B     解析　设直线l的斜率为k, 则k= =tan 135°=-1, 即m2+m-2=0,解得m=-2或m=1, 当m=-2时,m2+2m=0,不符合题意,舍去,故m=1. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江苏连云港灌南高级中学检测]如图所示,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则 (　　　)   A.k1<k2<k3　　　    B.k3<k1<k2 C.k3<k2<k1　　　    D.k1<k3<k2     D     解析　设直线l1,l2,l3的倾斜角分别为α1,α2,α3,由题图可知0°<α3<α2<90°<α1<180°,所以tan α1<0,tan α2> tan α3>0,即k1<0,k2>k3>0,所以k1<k3<k2. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026陕西西安东城第一中学月考]已知直线l的倾斜角α∈ ,则直线l的斜率k的取值范围是  (　　　) A. 　　　     B.(-1, ) C.(-∞,-1)∪( ,+∞)　　　     D.(-∞,-1)∪      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　当α= 时,直线l的斜率不存在; 当α≠ 时,直线l的斜率k=tan α,α∈ ∪ , 则当α∈ 时,tan α> ,即k> ;当α∈ 时,tan α<-1,即k<-1. 综上所述,直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1)∪ . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026安徽阜阳太和中学月考]若直线l的斜率k∈(-1, ),则直线l的倾斜角的取值范围是 ________________________.      ∪ 解析　由题意,得直线l的斜率存在. 设直线l的倾斜角为α,α∈ ∪ ,则k=tan α, 因为k∈(-1, ),所以-1<tan α< ,如图所示, 由图可知,直线l的倾斜角α∈ ∪ . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026江苏盐城五校联盟联考]已知平面直角坐标系内两点M(2m+3,3m+4),N(3m-1,m-1). (1)当直线MN的斜率不存在时,求m的值; (2)当直线MN的倾斜角为锐角或钝角时,分别求出m的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当直线MN的斜率不存在时,点M(2m+3,3m+4),N(3m-1,m-1)的横坐标相等,即2m+3=3m-1,解得m =4. (2)当直线MN的倾斜角为锐角时,其斜率k= = >0, 即(2m+5)(m-4)<0,解得- <m<4; 当直线MN的倾斜角为钝角时,其斜率k= = <0, 即(2m+5)(m-4)>0,解得m<- 或m>4. 综上可得,当直线MN的倾斜角为锐角时,m的取值范围为 ; 当直线MN的倾斜角为钝角时,m的取值范围为 ∪(4,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 1.1　直线的斜率与倾斜角 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　直线的斜率及其应用 1.[2026河北邢台卓越联盟月考]已知三点A(m+2,m),B(1,2),C(m2,32),则“A,B,C三点共线”是“m=-4或m =7”的 (　　　) A.充要条件　　　     B.充分不必要条件 C.必要不充分条件　　　    D.既不充分也不必要条件     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　当m=-1时,A,B,C三点均在直线x=1上; 当m=1时,kAB=- ,而直线BC的斜率不存在,显然三点不在一条直线上; 当m≠±1时,若A,B,C三点共线,则kAB=kBC,即 = ,解得m=-4或m=7. 综上,若A,B,C三点共线,则m=-1或m=-4或m=7, 故“A,B,C三点共线”是“m=-4或m=7”的必要不充分条件. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏连云港东海期中]若直线l与直线x=3交于点P,与直线x-y+5=0交于点Q,且线段PQ的中点是 (1,-1),则l的斜率为 (　　　) A.- 　　　    B.- 　　　    C. 　　　    D.      A     解析　设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1=3, 因为线段PQ的中点是(1,-1),所以 =1,故x2=-1. 又点Q在直线x-y+5=0上,所以x2-y2+5=0,故y2=4, 又 =-1,所以y1=-6,所以P(3,-6),Q(-1,4), 根据斜率公式,得kl=kPQ= =- . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江苏南京文枢高级中学质检]已知实数x,y满足x-3y+5=0(1≤x≤4),则 的取值范围为 ______________________.     (-∞,-3]∪[2,+∞)     解析     可以看成过线段x-3y+5=0(1≤x≤4)上的点和点(2,-1)(记为C)的直线的斜率(关键点), 当x=2时,此直线斜率不存在, 在x-3y+5=0(1≤x≤4且x≠2)中,令x=1,得y=2,令x=4,得y=3, 设A(1,2),B(4,3),则kAC= =-3,kBC= =2, 所以 的取值范围为(-∞,-3]∪[2,+∞).   第1讲　描述运动的基本概念 题组二　直线的斜率与倾斜角 4.[多选题][2026广东湛江第二中学月考]若两直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2,斜率分别是k1,k2,则下列命题 正确的是 (　　　　) A.若k1=k2,则α1=α2 B.若k1<k2,则α1<α2 C.若α1<α2,则k1<k2 D.若k2<0<k1,则α1<90°<α2     AD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,由k1=k2表明斜率存在,则tan α1=tan α2, 由正切函数在 ∪ 上,倾斜角和斜率一一对应,可得α1=α2,A正确. 对于B,若k1=-1,k2=1,则α1=135°,α2=45°,不满足α1<α2,B错误. 对于C,由正切函数的图象知,当0°≤α1<α2<90°和90°<α1<α2<180°时,k1<k2; 当0°≤α1<90°,90°<α2<180°时,k1>k2,C错误. 对于D,k2<0<k1,结合正切函数的图象知0°<α1<90°,90°<α2<180°, 所以α1<90°<α2,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026上海向明中学期末]已知θ为直线l的倾斜角,若直线l的法向量为n=(a2+1,-2a),a∈R,那么当实数a 变化时,θ的取值范围是 (　　　) A. ∪ 　　　   　B.  C. ∪ 　　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为直线l的法向量为n=(a2+1,-2a),所以直线l的方向向量可取为m=(2a,a2+1). 当a=0时,m=(0,1),此时直线l垂直于x轴,则θ= . 当a≠0时,直线l的斜率k=tan θ= =  . 当a>0时,k=  ≥ ×2 =1,当且仅当a=1时等号成立,此时θ∈ ; 当a<0时,k=  =-  -a+  ≤-1,当且仅当a=-1时等号成立,此时θ∈ . 综上可得,θ的取值范围是 . 知识拓展　直线的法向量与直线的方向向量垂直. 直线的斜率与方向向量的关系:若k是直线l的斜率,则v=(1,k)是它的一个方向向量;若直线l的一个方向向 量的坐标为(x,y),其中x≠0,则它的斜率k= . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026河南南阳第一中学月考]若点A(-2,1),点B为曲线C:|x|+|y|=1上一点,则直线AB的倾斜角的取值范 围是 (　　　) A. 　　　    B.  C. 　　　     D.以上三项都不对     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于曲线C:|x|+|y|=1, 当x>0,y>0时,曲线C:x+y-1=0; 当x<0,y>0时,曲线C:-x+y-1=0; 当x<0,y<0时,曲线C:x+y+1=0; 当x>0,y<0时,曲线C:x-y-1=0. 曲线C如图所示,令M(-1,0),D(0,-1),E(1,0),F(0,1),已知A(-2,1),   设直线AB的倾斜角为α, 第1讲　描述运动的基本概念 当点B位于点F处时,连接AF,则kAF= =0,则α=0; 连接AM,因为kAM= =-1,kMD= =-1,所以A,M,D三点共线, 所以当点B在正方形MDEF(不包含点F)上运动时,0>kAB≥kAM=-1, 则 ≤α<π. 综上所述,直线AB的倾斜角的取值范围为 ∪{0},故A,B,C错误,D正确. 方法技巧　处理直线与线段相交问题时,一是要注意旋转方向为逆时针方向;二是要结合斜率与倾斜角 的关系确定范围. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏宿迁马陵中学调研]经过点P(0,-1)作直线l,若直线l与以点A(1,-2),B(2,1)为端点的线段没有 公共点,则直线l的倾斜角α的取值范围是_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图所示,   若直线l与线段AB没有公共点,则直线l可由直线PB绕点P逆时针旋转到直线PA的位置(不包含直线PB与 直线PA),注意包含直线l的倾斜角为 的情况, 易得kPA= =-1,kPB= =1, 设直线l的斜率为k, 由图可知,k<kPA=-1或k>kPB=1,从而tan α<-1或tan α>1,结合正切函数的图象可得α∈ . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025安徽蚌埠五河第一中学检测]一质点在矩形ABCD内运动,从线段AB的中点O沿一确定方向发射 该质点,依次由线段BC,CD,DA反射,反射点分别为P1,P2,P3(入射角等于反射角),最后落在线段OA上(不 包括端点)的P4处.若A(-1,0),B(1,0),C(1,1)和D(-1,1),求直线OP1的斜率的取值范围.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意可设P1(1,b),易知直线OP1的斜率为 =b, 若P4点落在线段OA上,则当P4落在点O,点A时为相应的两种临界位置. 当P4落到点O时,因为O为线段AB的中点,且质点从O出发又回到O,所以P1位于线段BC的中点, 此时b= ,所以直线OP1的斜率为 ; 当P4落到点A时,P4点与P3点重合,如图所示,   第1讲　描述运动的基本概念 设∠P1OB=θ,则∠P1P2C=∠DP2P3=θ(点拨:入射角等于反射角),且tan θ=b,易得CP1=1-b,则CP2= =  = -1,DP2=2-CP2=3- , 所以tan θ= = =b,所以b= ,所以直线OP1的斜率为 . 综上所述,直线OP1的斜率的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　在新情境下考查直线的斜率及其应用 9.[2026四川达州模拟考试]三名工人种植同一种果树,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点Ai的 横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和种植的果树数,点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午 的工作时间和种植的果树数,i=1,2,3.记pi为第i名工人在这一天中平均每小时种植的果树数,则(　　　) A.p1,p2,p3中最大的是p1 B.p1,p2,p3中最大的是p2 C.p1,p2,p3中最大的是p3     B     D.p1,p2,p3中最小的是p2 第1讲　描述运动的基本概念 第1讲　描述运动的基本概念 解析　设Ai( , ),Bi( , ),i=1,2,3,根据题意可知 表示第i名工人上午的工作时间, 表示第i名工人 上午种植的果树数, 表示第i名工人下午的工作时间, 表示第i名工人下午种植的果树数,所以pi=  = ,则pi为线段AiBi的中点与原点O所在直线的斜率(关键点),连接A1B1,A2B2,A3B3,设A1B1,A2 B2,A3B3的中点分别为M1,M2,M3,连接OM1,OM2,OM3,如图所示,   通过观察图形,得直线OM2的斜率最大, 故p1,p2,p3中最大的是p2. 第1讲　描述运动的基本概念 $