1.1 直线的斜率与倾斜角-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（苏教版）

第1章 直线与方程 1.1 直线的斜率与倾斜角 新课导入 泰山为五岳之首,其十八盘更有名.“拔地五千丈,冲霄十八盘.”泰山之雄伟，尽在十八盘,泰山之壮观,尽在攀登中.十八盘岩层陡立，坡角 ,在不足的距离内升高400米.你能用怎样的数学语言来描述泰山之雄伟呢? 学习目标 1.了解直线的斜率和倾斜角的概念. 2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性. 3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率. 新知学习 探究 一 直线的斜率 思考1．当直线与轴垂直时，斜率公式是否成立？ 提示 当直线与 轴垂直时，斜率公式依然成立，此时. 思考2．在直线上任取两点，，求直线的斜率时是否需要考虑两点的顺序？ 提示 直线 的斜率与，两点的顺序无关. ［知识梳理］ 1.坡度的概念 在实际生活中，楼梯或路面的倾斜程度可以用坡度来刻画，坡度指坡面的铅直高度与水平宽度的比. 2．直线的斜率 对于直线上的任意两点,， （1） 如果,那么由相似三角形的知识可知，是一个①_ _ ，我们将其称为直线的斜率，②_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . （2） 如果,那么直线的斜率③_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） 定值； （2） 不存在 ［例1］ （对接教材例1）分别求经过下列两点的直线的斜率： （1） ，； （2） ，； （3） ，； （4） ，. 【答案】（1） 【解】经过点，的直线的斜率为. （2） 经过点，的直线的斜率为. （3） 经过点，的直线的斜率为. （4） 当 时，直线与 轴垂直，其斜率不存在；当 时，其斜率. 当直线与轴不垂直时，求直线的斜率可用下列公式或，其中. 注意 应用斜率公式计算直线斜率时，两个点的横坐标与纵坐标的前后顺序必须保持一致. ［跟踪训练1］． （1） 过点，的直线的斜率为1，那么的值为（ ） A. 1或4 B. 4 C. 1或3 D. 1 （2） 设点，，，直线的斜率等于直线的斜率的3倍，则实数_ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） 4 【解析】 （1） 选.因为直线过点，，且斜率为1，所以，解得.故选. （2） 依题意知直线 的斜率存在，则.由，得，解得. 二 直线的倾斜角 思考．在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点的直线有什么区别？ 提示 直线的方向不同，相对于 轴的倾斜程度不同. ［知识梳理］ 1．倾斜角的定义：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴绕着交点按①_ _ _ _ _ _ 方向旋转到与直线重合时，所转过的②_ _ _ _ _ _ _ _ 也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个角 称为这条直线的倾斜角. 【答案】逆时针； 最小正角 2．规定：与轴平行或重合的直线的倾斜角为③_ _ . 【答案】0 3．范围：直线的倾斜角 的取值范围是④_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 ｝ 4．直线的倾斜角与斜率的关系 （1） 当直线与轴不垂直时，该直线的斜率与倾斜角 之间的关系为⑤_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . （2） 当直线的斜率为正时，直线的倾斜角为⑥_ _ ；当直线的斜率为负时，直线的倾斜角为⑦_ _ . 【答案】（1） （2） 锐角；钝角 ［例2］ （1） （多选）下列命题中，正确的是（ ） A. 任意一条直线都有唯一的倾斜角 B. 一条直线的倾斜角可以为 C. 倾斜角为 的直线有无数条 D. 若直线的倾斜角为 ,则 （2） 如图所示，直线与轴的夹角为 ，则直线的倾斜角为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） AC （2） 【解析】 （1） 任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为 的直线有无数条，它们都垂直于 轴，故，正确，错误；当 时，；当 时，，故 错误.故选. （2） 根据倾斜角的定义知，直线 的倾斜角为 . 求直线倾斜角的方法及关注点 （1）定义法:根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角. （2）关注点:结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论. ［跟踪训练2］． （1） [（2025·南阳期中）]（多选）已知直线,,的斜率分别是,,，倾斜角分别是 , , ，且 ，则下列关系可能正确的是（ ） A. B. C. D. （2） 已知直线经过点，倾斜角为 ，若将直线绕点逆时针旋转 后，得到直线，则直线的倾斜角为_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） ABD （2） 【解析】 （1） 选.当倾斜角都为小于 的角或都是钝角时，；当倾斜角为两个小于 的角和一个钝角，即 , 为小于 的角， 是钝角时，；当倾斜角为一个小于 的角和两个钝角，即 为小于 的角， , 是钝角时，. （2） 因为直线 的倾斜角为 ，所以绕点 逆时针旋转 后，得到直线 的倾斜角为 . 三 倾斜角与斜率的应用 角度1 三点共线问题 ［例3］ 判断下列三点是否在同一条直线上： （1） ，，； （2） ，，. 【答案】（1） 【解】因为，，所以，所以，，三点不在同一条直线上. （2） 因为，，所以.又直线 与直线 有公共点，所以，，三点在同一条直线上. 用斜率公式解决三点共线的方法 角度2 求解范围问题 ［例4］ 已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围. 【解】 由题意作出图形，如图，因为，,若要使直线 与线段 相交，则 或，所以直线 的斜率的取值范围为. 母题探究．本例条件不变，求直线的倾斜角 的取值范围. 解：由例题可知，直线 的斜率满足 或，所以 或，因为 ，且当 时符合题意，所以.所以直线 的倾斜角 的取值范围为,. 数形结合法求斜率的取值范围 已知线段的端点及线段外一点，求过点且与线段有交点的直线的斜率取值范围：若直线，的斜率均存在，则解题步骤如下： （1）连接，； （2）由斜率公式求出，； （3）结合图形即可得出满足条件的直线的斜率的取值范围. 提醒 如果在直线的转动范围内有倾斜角为的直线，那么直线的斜率的取值范围为分界线，的斜率的两边；如果没有倾斜角为的直线，那么直线的斜率的取值范围为分界线，的斜率之间. ［跟踪训练3］． （1） 若，，，三点在同一条直线上，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. （2） [（2025·驻马店期中）]已知，，若点在线段上，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） D （2） , 【解析】 （1） 选.因为，，三点在同一条直线上，所以，所以，解得 . （2） 当点 与 重合，则，，则，当点 与 重合，则，，则，把 看作动点 与定点 的斜率， 再结合图象： 利用正切函数在锐角范围内是单调递增，可知,.综上，的取值范围是，. 课堂巩固 自测 1．已知直线与轴的夹角为 ，则直线的斜率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】选 当直线 与 轴正半轴的夹角为 时，直线 的倾斜角为 ，所以斜率为；②当直线 与 轴负半轴的夹角为 时，直线 的倾斜角为 ，斜率为.综上，直线 的斜率为 或. 2．[（2025·南京月考）]（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A. 任意一条直线都有倾斜角和斜率 B. 直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C. 与坐标轴垂直的直线的倾斜角是 或 D. 若一条直线的倾斜角为 ，则该直线的斜率为 【答案】ABD 【解析】选.对于，当直线的倾斜角为 时，直线没有斜率，故 不正确；对于，当直线的倾斜角为 时，斜率为1，当直线的倾斜角为 时，斜率为，故 不正确；对于，当直线与 轴垂直时，直线的倾斜角是 ，当直线与 轴垂直时，直线的倾斜角是 ，故 正确；对于，若一条直线的倾斜角为 ，则该直线的斜率不存在，故 不正确. 3．（教材（1）改编）若，，三点共线，则实数的值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设直线，的斜率分别为，，则，.因为，，三点共线，所以，即，解得. 4．已知，，. （1） 求直线和的斜率； （2） 当点在线段（包括端点）上移动时，求直线的斜率的取值范围. 【答案】（1） 解：由题可得直线 的斜率，直线 的斜率. （2） 如图所示，，，当点 在线段（包括端点）上移动时，直线 的斜率由负无穷增大到，由 增大到正无穷，所以直线 的斜率的取值范围是. 1.已学习：（1）直线的斜率与倾斜角的概念. （2）直线的斜率公式. 2.须贯通：（1）求直线倾斜角的方法. （2）求直线斜率的方法. （3）直线的倾斜角与斜率之间的关系. 3.应注意：求直线的倾斜角或斜率的取值范围时，要结合图象对取值范围作出判断，不要忽略倾斜角的取值范围. 课后达标 检测 A 基础达标 1．[（2025·常州期中）]若经过两点，的直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】选.因为经过两点，的直线的倾斜角为，所以，解得. 2．以为方向向量的直线绕其与轴的交点逆时针旋转 得到直线，则直线的斜率为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】选.因为，设直线 的倾斜角为 ，由题意得， ，直线 的倾斜角为 ，因此，直线 的斜率为. 3．已知直线的斜率，则该直线的倾斜角 的取值范围为（ ） A. , B. ,, C. , D. ,, 【答案】B 【解析】选.直线的倾斜角为 ，则，由 可得，所以,,. 4．若，，，且，，三点共线，则（ ） A. B. 5 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】选.由题意，可知直线，的斜率存在并且相等， 即，解得. 5．点在函数的图象上，当时，的值可能为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 0 【答案】C 【解析】选. 表示点 与点 所成直线的斜率，又 是 在 部分图象上的动点， 如图，当 接近 时， ,当 为 时，，则，只有 满足. 6．[（2025·深圳期中）]（多选）如图，直线,,的斜率分别为,,，倾斜角分别为,,，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】选.由题图可得， ，,且，故 正确，错误. 7．若直线的一个方向向量，则的倾斜角大小为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设直线 的倾斜角为 ，则，又，所以. 8．已知过，两个不同点的直线的斜率为1，则实数的值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】根据题意可得，解得 或，当 时，点，重合，不符合题意，舍去；当 时，经验证，符合题意. 综上,. 9．已知点，若在坐标轴上有一点，使直线的倾斜角为 ，则点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】或 【解析】由题意知，. 若点 在 轴上，可设, 则,解得; 若点 在 轴上，可设, 则，解得. 故点 的坐标为 或. 10．（13分）已知，，,四点在同一条直线上.求直线的斜率及，的值. 解：由，， 得. 因为,,,四点在同一条直线 上，所以，即， 解得,. B 能力提升 11．（多选）已知在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点与原点重合，且的斜率为，则的斜率可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】选.设 的倾斜角 ，的倾斜角 ，如图所示： 则 或，.当 时，;当 时，. 12．已知过点的直线与以点和为端点的线段相交,则直线的斜率的取值范围为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】, 【解析】由题意作出图形，如图， 因为，，若要使直线 与线段 相交，则，所以直线 的斜率的取值范围为,. 13．（13分）已知直线过点和点. （1） 若直线的斜率是，求；（4分） （2） 求直线的倾斜角 的最小值.（9分） 【答案】（1） 解：由直线 的斜率，可得，即. （2） 当 时，直线 的斜率， 当 时，； 当 时，， 又直线 的倾斜角为 ，则有 或， 所以直线 的倾斜角 的取值范围是 或; 当 时，直线 的倾斜角. 故直线 的倾斜角 的最小值为. 14．（15分）已知坐标平面内三点,,. （1） 求直线,,的斜率和倾斜角；（7分） （2） 若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围.（8分） 【答案】（1） 解：由斜率公式，得，，，因为直线的斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，所以直线 的倾斜角为0，直线 的倾斜角为，直线 的倾斜角为. （2） 如图，当直线 绕点 由 逆时针转到 时， 直线 与线段 恒有交点，即 在线段 上，此时 由 增大到， 所以 的取值范围为,，即直线 的倾斜角的取值范围为,. C 素养拓展 15．已知函数，且,则,,的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选.由，得 的几何意义是过点 和原点 的直线的斜率，画出函数 的图象，如图， 直线,,的斜率分别为， ，，而，所以，，的大小关系是. 学科网（北京）股份有限公司 $