14.3 角的平分线 第1课时 角平分线的性质定理 同步练习 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 本同步练通过课前预习、课堂巩固、课后达标三级分层，构建从单一性质应用到综合证明的知识巩固路径，强化推理意识与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |课前预习|角平分线性质直接应用|3道选择填空题，聚焦点到两边距离计算| |课堂巩固|性质与尺规作图结合|7题含选择、填空、解答，融入面积计算与作图验证| |课后达标|综合应用与拓展|基础巩固7题深化性质应用，综合提升1题通过探究拓展全等证明|

14.3角的平分线第1课时角平分线的性质定理 一、课前预习 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若BC=5,BD=3,则点D到AB 的距离是() A.1 B.2 C.3 D.5 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，,DE⊥AB于点E.若 BC=5,DE=2 BD 则的长为 B 第1题 第2题 第3题 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC,若CD=3cm,AB=10cm,则△ABD 的面积是 cm2. 二、课堂巩固 1.如图，ABIICD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若 AD=8,则点P到BC的距离是() A.8 B.6 C.4 D.2 第1题 第2题 第3题 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC,AB于D,E两 试卷第1页，共3页 点，再分别以D,E为圆心，大于2DE的长为半径画弧，两弧交于点M·作射线AM交 BC于点F,若BF=3,BC=5,则点F到AB的距离为() A.3 B.4 C.2.5 D.2 3.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=38°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交 AB于点E,交AC于点F,再分别以点E,F为圆心，大于2EF的长为半径画弧，两弧 (所在圆的半径相等)在∠BAC的内部相交于点P,画射线AP与BC相交于点D, CD=3,下列结论正确的是() A.AC=BD B.∠ADC=64°C.∠CAD=∠BD.B到AD的距离是3 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径 作弧，分别交BA、BC于M、N两点：②分别以M、N为圆心，以大于2MW的长为半 径作弧，两弧相交于点P;③作射线BP,交AC于D点.若AB=10,BC=6,AC=8, 则线段CD的长为() 16 A.3 B.5 c. 3 D.6 第4题 第5题 第6题 5.如图，D、E、F分别是△ABC三边上的点，AD平分∠BAC,CE=BF, ∠2D+∠C-180,五是C9钟点，者C的面裂为k.则1C AC 3cm 的面积为一： 6.如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD,CD=5BD,CI平分∠ACB交AD于点 1,H1AC于点H,若 BC=6,4C=8,S.4BD= 2,则H的长为一 试卷第2页，共3页 7.己知，如图，AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F. (1)求证：∠ABD=∠ACD: (2)求证：BE=CF. F D B 三、课后达标 基础巩固 1.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以B为圆心，以适当长为半径画弧，交BA于点D,交 BC于点B:分别以D,E为圆心、以大于2DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点 P;作射线BF交AC于点G.若CG=L,P为AB上一动点，连结GP,则GP的最小值为 () A.无法确定 B.2 C.1 D.2 B D ED FC 第1题 第2题 第3题 2.如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E,△ABC的面积=7， DE=2,AB=4,则AC的长是() A.3 B.4 C.6 D.5 3.如图，线段AD,AE,AF分别是△ABC的角平分线、中线和高线，下列结论中错误的是 () A.点D到AB和AC的距离相等 B.∠BAC=2∠BAD C.SAWC-24C D.AF>AD 试卷第3页，共3页 4.如图，在△ABC中，BD是角平分线，AE是中线，AE交BD于点F.若AB=6, BC=4,△ABC的面积为8，则△ABF的面积为 第4题 第5题 第6题 5.如图，在△ABC中，∠ACB和∠BAC的平分线交于点O,AB=6cm,BC=8cm, △ABO 9cm2 △BOC 的面积为，则 的面积为一。 6.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交 1 AB,AC于点M,N;②分别以点M,N为圆心，大于2N的长为半径作弧，两弧交 于点P;③作射线AP交BC于点D,若AB:AC=3:5;△ABD的面积为6，则△ABC的面 积为 7.已知：如图，四边形ABCD,E为DC边上一点. A D B 求作：四边形内一点P,使EP∥BC,且点P到AB,AD的距离相等. 综合提升 1.【感知】如图①，AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知DB=DC 【探究】(1)如图②，AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°，∠B<90°，试说明：DB=DC: 【应用】(2)如图③，在四边形ABDC中，AD平分∠BAC,∠B=45°，∠C=135°， DE⊥AB,且BE=a,则AB-AC=」 (用含a的代数式表示)· 试卷第4页，共3页 D B B A B E 图① 图② 图③ 试卷第5页，共3页 参考答案 一、课前预习 1.B 【分析】作DE⊥AB,根据角平分线的性质得到DE=CD,即可求解. 【详解】解：作DE⊥AB,如图所示： o :∠C=90°，AD是∠BAC的平分线， .DE=CD :BC=5,BD=3 .DE=CD=BC-BD=2 .点D到AB的距离是2. 2.3 【分析】由角平分线的性质定理可得CD=DE=2,由BD=BC-CD即可得出结果 【详解】解：，∠C=90°， .AC⊥BC, :DE⊥AB,且AD平分∠BAC, .CD=DE. DE=2, ..CD=2. BC=5, .BD=BC-CD=3 3.15 【分析】如图，过D作DE⊥AB于点E,首先根据角平分线的性质得到DE=CD=3cm, 再根据三角形面积公式即可求解. 【详解】解：如图，过D作DE⊥AB于点E, 试卷第6页，共3页 B :LC=90°，BD平分∠ABC, .'DE=CD=3cm, 61BD的面积是4BxDE-×10x3=15(em）. 二、课堂巩固 1.℃ 【分析】过点P作PE⊥BC于E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 PA=PE,PD=PE,那么PE=PA=PD,又AD=8,进而求出PE长 【详解】解：过点P作PE⊥BC于E,如图， B :ABIICD,PA⊥AB, .PD⊥CD :BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB, ∴.PA=PE,PD=PE, .PE=PA=PD, PA+PD=AD=8, :.PA=PD=4, .PE=4 2.D 【分析】过F点作FH⊥AB于H点，先求出FC长度，再根据角平分线上的点到角两边距 离相等得FH=FC=2,即点F到AB的距离为2， 试卷第7页，共3页 【详解】解：如图，过F点作FH⊥AB于H点， .BF=3,BC=5, .FC=BC-BF=2 由作图知，AF平分∠CAB, .∠C=90° .FC⊥AC」 .'FH=FC=2, ,点F到AB的距离为2. 3.B 【分析】利用直角三角形两锐角互余结合尺规作图得到的角平分线推导即可. 【详解】解：由题意得AP为∠CAB的平分线， ∠C=90°，∠B=38°， ∴.∠CAB=90°-∠B=90°-38°=52°， ∴∠CMD-CMB=26, ∴∠CAD≠∠B,故C不正确： .∠ADC=90°-∠CAD=90°-26°=64°，故B正确： 如图，过点D作DG⊥AB,垂足为G, 由角平分线定理可得DC=DG=3,无法推出AC=BD,B到AD的距离是3，故A、D不 正确。 4.A 【分析】过点D作DE⊥AB于点E,根据基本作图，得∠CBD=∠ABD,设CD=DE=x, 试卷第8页，共3页 根斯三角形的面积不变，得40，DE+号C-Dc-0C4C,求解即可； 【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E,根据基本作图，得∠CBD=∠ABD, :DC⊥BC,DE⊥AB ∴.DC=DE, 设CD=DEx,银瓶三角形的雨积不变，得4B0E+BC-DC=方8C4C。 :AB=10,BC=6,AC=8, 1 1 ×10x+-×6·x=-×6×8 2 2 2 解得x=3: EM 故线段CD的长为3： 5.15cm2 【分析】如图：过点D分别作DG⊥AC于G,DH⊥AB于H,然后根据角平分线的性质 可得DG=DH SADBF =SADCE=3 再根据三角形面积公式，即可得出 ；利用三角形中线的 性质可得5c=2.a=6,再证明△1D△1DC(AS),则3.w=86 最后根据 △ABC 的面积 SAe+S,+S,mF即可解答。 【详解】解：如图：过点D分别作DG⊥AC于G,DH⊥AB于H, G D 试卷第9页，共3页 AD平分∠BAC, .DG=DH,∠FAD=∠CAD wxDCEx DG.CEB S.DBF =SDCR=3 ,E是AC的中点， SADC =2SDCE =6 :∠BFD+∠C=180°，∠BFD+∠AFD=180°， ∴.∠AFD=C, AD=AD, :△MDF≌△ADC(AAS) S.4DF =S.ADC=6 .A4BC S.4DF+S.4C+S.mDF=6+6+3=15 的面积为 6唱 【分析】过点I作E⊥BC于点E,根据角平分线的性质得到E=H,根据CD=5BD得 到CD=5.SAm=5Sm=10 S4CD=S.ac+SC ,根据 求解即可 【详解】解：过点I作E⊥BC于点E, H 平分 交于点， 于点， B ED C..CI ∠ACB AD I IH⊥ACH :.IE=H, CD=5BD BC=6,S.ABD =2 试卷第10页，共3页 cD-gac-5,m=58m=10. S.ACD=S4+S.Da AC=8 4cH+D-=0, ×8IH+-×5IH=10 2 解得H-20 3· 7.(1) 证明：连接AD,如图所示： 的 在 和 中， B A △ABD△ACD AB=AC BD=CD AD=AD ∴.△ABD≌aACD(SSS) .∠ABD=∠ACD: (2) 证明：由(1)可知：△ABD≌△ACD, ∴.∠BAD=∠CAD DE⊥AB,DF⊥AC, :.DE=DF, 在Rt△DEB和RtADFC中， DB=DC DE=DF, ∴.RIADEB≌Rt△DFC(HL) 试卷第11页，共3页 ..BE=CF 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三 角形的性质与判定及角平分线的性质定理是解题的关键， (1)连接AD,先证 ABDACD(SSS) 然后根据全等三角形的性质可进行求证； (2)由(1)可得∠BAD=∠CAD,进而根据角平分线的性质定理可进行求证. 【详解】(1)略 (2)略 三、课后达标 【基础巩固】 1.C 【分析】根据基本作图得到BG平分∠ABC,过G点作GH⊥AB于H点，如图，根据角平 分线的性质得到GH=GC=1,然后根据垂线段最短解决问题 【详解】解：由作法得BG平分∠ABC, 过G点作GH⊥AB于H点，如图， :BG为∠ABC的平分线，GC⊥BC,GH⊥AB, ..GH =GC=1. ,P为AB上一动点， .GP的最小值为GH的长， 即GP的最小值为1. 2.A 【分析】过点D作DF⊥AC于点F,如图所示，由角平分线的性质得到DF=DE=2,由 等面积法得 .c=S4m+,心，再结合三角形面积公式列方程求解即可得到答案. 【详解】解：过点D作DF⊥AC于点F,如图所示： 试卷第12页，共3页 E 是 中 的角平分线， 于点， B D C:AD△ABC ∠BAC DE⊥AB E DF⊥AC于点F, ∴.DF=DE=2, :△ABC的面积=7，AB=4, Sc=So+S·间7=B-DE+号4CDF、 2 2 1 ∴.7=。×4×2+。AC×2 2 解得AC=3, 3.D 【分析】根据角平分线的性质，三角形的中线平分面积，以及垂线段最短，进行判断即可 【详解】解：：线段AD,AE,AF分别是△ABC的角平分线、中线和高线， 点D到HB和1C的距离相等， LBAC=2LBAD SAABC =2SAACE AF<AD ,错误的是选项D, 4.3 【分折1根题意得BE=BC-0C=2和m-mx=4,过点p作FM1BC于点 M,过点F作N1B于点V,根据角平分线得FM=N,则 Sm=3S.脏，结合 S.ABE =SABF+S.BEF =3S.BEF +SBEF =4 ,解得 SABEF =1 ，即可得 SABF =3S.BEF=3 【详解】解：AE是中线，BC=4, BE-EC-1BC-2 2 :△ABC的面积为8， 1 .Saa服=2Sac=4, 试卷第13页，共3页 过点F作FM⊥BC于点M,过点F作FN⊥AB于点N,如图， D B EM ,BD是角平分线， .FM=FN, 1 S.4BF= AB-FN S.BEF= _EB-FM,AB=6' 1 S4哑=2 AB-FN AB =3 .S.BEF I EB.FM EB S.ABF=3SBEF 则 .SMB=SAr+Sr=3S附r+SB附r=4 SABEF =1 S.ABF =3S.BEF=3 则 5.12cm2 【分析】过点O作OM L AB于点M,ON L BC于点N,OP L AC于点P,由角平分线的 性质推出OM=OP=ON,由三角形的面积求出OM=3cm,得到ON=3cm,即可求出 △BOC的面积. 【详解】解：如图，过点O作OM LAB于点M,ON⊥BC于点N,OP⊥AC于点P, B :OA平分∠BAC,OM LAB,OP⊥AC, 试卷第14页，共3页 ∴.OM=OP, :OC平分∠ACB,ON⊥BC,OP LAC, ..ON =OP ..OM=ON, :SA80= 二)AB:OM=9cm ×6x0M=9 .1 ..OM =3cm, ..ON =3cm, .BC=8cm, BC.ON=1x8x3=12cm* S.woc= 6.16 【分析】作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,由作图可得AD平分∠BAC,由角平分线 的性质定理可得DE=DF,再结合三角形的面积公式计算即可得出结果. 【详解】解：如图，作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, A E 由作图可得AD平分∠BAC, :DE=DF, :S.4B DE S.4-AC:DE:4B:AC=35 SABD AB·DE 2 AB 3 :SACD AC.DF AC 5 ,△ABD的面积为6， .△ACD的面积为10， 试卷第15页，共3页 .:4BC 的面积 SAn+S4D=6+10=16 7.点P即为所求 【分析】本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，解题的关键是掌握作角平分线和作一 个角等于已知角的尺规作图方法.作∠DAB的平分线AM,以E为顶点，ED为一边作 ∠DEN=∠C,EN交AM于P,点P即为所求. 【详解】解：作∠DAB的平分线AM,以E为顶点，ED为一边作∠DEN=∠C,EN交 AM于P,如图，点P即为所求. D 【综合提升】 1.(1)证明：如图②中，作DE⊥AB于E,作DF⊥AC于F, 1 B E 图② ,DA平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, :DE DF, :∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°， ∴.∠B=∠FCD, 在△DFC和△DEB中， 试卷第16页，共3页 ∠F=∠DEB=90 ∠FCD=∠B DF=DE .△DFC≌△DEB. .'DC=DB: (2)2a 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型， (1)作DE⊥AB于E,作DF⊥AC于F,先根据角平分线的性质得出DE=DF,再证明 ∠B=∠FCD,证明△DFC≌aDEB即可得出结论； (2)作DF⊥AC于F.首先证明△DFC≌aDEB,再证明 Rte ADFS≌Rt△ADE(HL) 得出 AB-AC=2BE,即可解决问题： 【详解】(1)略 (2)作DF⊥AC于F B :DA平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, .DE=DF, ∠B=45°，∠ACD=135°， .∠B+∠ACD=180°. .∠ACD+∠FCD=180°， .∠B=∠FCD」 在△DFC和△DEB中， ∠F=∠DEB=90 ∠FCD=∠B DF=DE .△DFC≌ADEB 试卷第17页，共3页 .DC=DB,CF=BE. 在Rt△ADF和Rt△ADE中， AD=AD DE=DF Rt△ADF≌RtAADE(HL) .AF AE, .AB=AE+BE=AC+CF+BE=AC+2BE .AB-AC=2BE. .BE=a, .AB-AC=2a 试卷第18页，共3页