专题11 相似三角形的性质（重难点讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦初中数学相似三角形的性质，系统梳理从定义（对应角相等、对应边成比例）到对应线段（高、中线、角平分线）比等于相似比、周长比等于相似比、面积比等于相似比平方的完整知识脉络，构建从基础性质到综合应用的学习支架。 该资料以“特殊到一般”归纳思想和转化思想为核心，通过典例变式（如动点问题、小孔成像实际应用）培养学生推理意识与应用意识，易错点总结强化严谨思维，课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升解决问题能力。

专题11 相似三角形的性质 1. 经历探索相似三角形性质的过程，进一步体验由特殊到一般的归纳思想和方法，感悟转化的思想，积累数学活动经验； 2. 了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比； 3. 探索并了解相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能应用解决问题； 4. 灵活运用相似三角形的性质进行证明、计算，解决综合问题。 1. 相似三角形的性质梳理：相似三角形的性质可分为三个层次： 性质1：对应角相等，对应边成比例 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 这是由相似三角形的定义直接得到的性质，是相似三角形最基础的性质。 💡 若△ABC ∽ △A′B′C′，相似比为k，则： ∠A = ∠A′，∠B = ∠B′，∠C = ∠C′ 性质2：对应线段的比等于相似比 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。 对应线段 与相似比的关系 对应高 比等于相似比 k 对应角平分线 比等于相似比 k 对应中线 比等于相似比 k 💡 证明思路：以对应高为例——由△ABC ∽ △A′B′C′，可得∠B = ∠B′；又因为AD和A′D′分别是高，∠ADB = ∠A′D′B′ = 90°，所以△ABD ∽ △A′B′D′（两角法），从而 。 ⚠️ 易错提醒：这里的“对应线段”不仅包括高、中线、角平分线，还包括对应边上的任意对应线段（如对应边上的任意等分点的连线等），其比都等于相似比。 性质3：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 相似三角形周长的比等于相似比。 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 💡 若△ABC ∽ △A′B′C′，相似比为k，则： （周长比 = 相似比） （面积比 = 相似比的平方） 📌 证明要点：面积比的性质可通过“分别作出对应高，面积 = × 底 × 高”来证明——底边比 = k，高比 = k，故面积比 = k²。 2. 核心思想与方法： 思想方法 具体体现 从特殊到一般 先从具体的数值实例（如1∶2比例建造模型）入手观察规律，再推广到一般情形进行证明 类比转化 将相似三角形对应线段的比问题，转化为利用相似三角形判定定理证明两个小三角形相似的问题 整体思想 周长比可通过对三边分别成比例后整体相加得到；面积比需综合底和高的比得到 逻辑推理 所有性质的得出都需要严格证明，不能仅凭观察或猜想 3. 易错点总结 易错点 说明与预防 ① 混淆周长比与面积比 周长比 = 相似比 k，面积比 = k²。面积比是相似比的平方，不是相似比本身 ② 对应关系错误 应用性质时，必须找准对应顶点、对应边、对应线段，注意对应点写在对应位置上 ③ 误认为所有线段比都等于相似比 只有对应线段（对应高、中线、角平分线等）的比才等于相似比，非对应线段不具备此性质 ④ 忽略“对应高”中的“对应” 相似三角形有3条高，必须取对应顶点上的高，不能随意取两条高相比 ⑤ 面积比与相似比方向搞反 若△ABC ∽ △A′B′C′，相似比为k，则 ，方向不能颠倒 ⑥ 在非相似三角形中误用性质 相似三角形的性质只适用于相似三角形，不能用于任意两个三角形 题型01证明三角形的对应线段成比例 【典例】如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【变式】如图，在中，，点为边上的点，连结，作，使边交于点． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 题型02利用相似三角形的性质求解 【典例】如图，在中，点D在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式】如图，在中，点P是的边上的一点． 小星：若，则可证 小红：若，则可证 小亮：若，则可证 (1)请判断三人的说法的对错：小星________，小红________，小亮________．（填“对”或“错”） (2)选择一种正确的方法，求证：； (3)若，且，求的长． 题型03相似三角形的判定与性质综合 【典例】如图，在中，，是边的中点，连接，作，垂足为E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式】如图，为等边三角形，为边上一点，连接． (1)如图（1），将绕点顺时针旋转得到．连接，，求证：； (2)如图（2），将绕点顺时针旋转得到，连接交于，猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图（3），以为斜边向边右侧作，连接，为的中点，连接．若，，当取最小值时，请直接写出的面积． 题型04在网格中画与已知三角形相似的三角形 【典例】如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图2中画出一个格点，使，周长之比为，并直接写出的面积_________________； (2)在图3中画出一个格点，使，面积之比为，并直接写出的周长_______________． 【变式】如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段与交于点P． (1)图1中的值为__________； (2)请仅用无刻度的直尺作图． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最大的格点，使它与相似． 题型05相似三角形——动点问题 【典例】如图，在矩形中，，，点自点A出发，以每秒的速度向点D移动，同时点F从点D出发，以每秒的速度向点C移动，若移动时间为t且． (1)当t是多少时，； (2)四边形的面积是否为定值？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由． (3)能否与相似？如果能，请求出所有t的值，如果不能，请说明理由． 【变式】在中，．现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求： (1)用含t的代数式表示的面积S； (2)当秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ (3)当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 题型06相似三角形实际应用 【典例】【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线 光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 【变式】淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 【巩固训练】 1．如图，在正方形中，，点M在边上，且，连接，点E是的中点，过点E作的平行线，交于点F，则的长为（     ） A． B．2 C． D．5 2．如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在中，，，，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 4．如图，四边形中，垂直平分，交于点O，交于点E．若，则的长为（     ） A．5 B．8 C． D． 5．如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，，，点沿着的路径以的速度匀速运动，到达点停止运动，始终与直线保持垂直，与或交于点，记线段的长度为，与时间的关系图如图所示，则图中的值为（     ） A． B． C．9 D． 7．如图，，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（ ） A． B． C． D． 9．学习了“两个三角形相似的预备定理”后，在“中，、分别是边，上的两点”在这个前提条件下，某同学得到以下个结论： ①若，，则；②若，，则； ③若，，则．其中正确的是（    ）． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 10．如图，，，，则_______． 11．如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长．当短臂端点下降时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是________ ． 12．如图，，，．若，，则的值为______． 13．如图，直角三角形中，，，若在，上各取一点、，使的值最小，则这个最小值为________． 14．如图，在中，，，，点E是边的中点，点P为边上的一动点，连接，将沿折叠得到，交于点D．当与的一条直角边垂直时，线段的长为________． 15．如图1是个家用折叠梯子，使用时四个踏板都是平行于地面且全等的矩形，，将踏板往上收起时（如图2），点A与点F重合，此时，踏板可以看作与支架重合，将梯子垂直摆放时，量得点A离地面，点H离地面，则踏板宽_______；图3是图1的简略视图，记支架交于点P，此时点G恰好在A的正下方，且量得，则_______． 16．如图，在 中，分别是上的点，且，交于点 ，若，则______． 17．如图，在中，，点以每秒3个单位长度的速度从点沿方向向点匀速运动，点以每秒2个单位长度的速度从点沿方向向点匀速运动．作，设运动时间为，单位：s）． （1）运动过程中，的长为___________（用含的代数式表示） （2）连接，若，则的值为___________． 18．受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 19．如图，在中，，，点F在边上，连接． (1)若的面积为1，求四边形的面积； (2)若，，求的长度． 20．如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 22．如图，平行四边形，连接，过点分别作，，垂足分别为，，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 23．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为． (1)当的面积为时，求t的值； (2)连接，当时，求t的值． 【强化训练】 1．如图，在正方形中，，点M在边上，且，连接，点E是的中点，过点E作的平行线，交于点F，则的长为（     ） A． B．2 C． D．5 2．如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在中，，，，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 4．如图，四边形中，垂直平分，交于点O，交于点E．若，则的长为（     ） A．5 B．8 C． D． 5．如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，，，点沿着的路径以的速度匀速运动，到达点停止运动，始终与直线保持垂直，与或交于点，记线段的长度为，与时间的关系图如图所示，则图中的值为（     ） A． B． C．9 D． 7．如图，，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（ ） A． B． C． D． 9．学习了“两个三角形相似的预备定理”后，在“中，、分别是边，上的两点”在这个前提条件下，某同学得到以下个结论： ①若，，则；②若，，则； ③若，，则．其中正确的是（    ）． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 10．如图，，，，则_______． 11．如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长．当短臂端点下降时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是________ ． 12．如图，，，．若，，则的值为______． 13．如图，直角三角形中，，，若在，上各取一点、，使的值最小，则这个最小值为________． 14．如图，在中，，，，点E是边的中点，点P为边上的一动点，连接，将沿折叠得到，交于点D．当与的一条直角边垂直时，线段的长为________． 15．如图1是个家用折叠梯子，使用时四个踏板都是平行于地面且全等的矩形，，将踏板往上收起时（如图2），点A与点F重合，此时，踏板可以看作与支架重合，将梯子垂直摆放时，量得点A离地面，点H离地面，则踏板宽_______；图3是图1的简略视图，记支架交于点P，此时点G恰好在A的正下方，且量得，则_______． 16．如图，在 中，分别是上的点，且，交于点 ，若，则______． 17．如图，在中，，点以每秒3个单位长度的速度从点沿方向向点匀速运动，点以每秒2个单位长度的速度从点沿方向向点匀速运动．作，设运动时间为，单位：s）． （1）运动过程中，的长为___________（用含的代数式表示） （2）连接，若，则的值为___________． 18．受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 19．如图，在中，，，点F在边上，连接． (1)若的面积为1，求四边形的面积； (2)若，，求的长度． 20．如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 22．如图，平行四边形，连接，过点分别作，，垂足分别为，，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 23．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为． (1)当的面积为时，求t的值； (2)连接，当时，求t的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 相似三角形的性质 1. 经历探索相似三角形性质的过程，进一步体验由特殊到一般的归纳思想和方法，感悟转化的思想，积累数学活动经验； 2. 了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比； 3. 探索并了解相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能应用解决问题； 4. 灵活运用相似三角形的性质进行证明、计算，解决综合问题。 1. 相似三角形的性质梳理：相似三角形的性质可分为三个层次： 性质1：对应角相等，对应边成比例 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 这是由相似三角形的定义直接得到的性质，是相似三角形最基础的性质。 💡 若△ABC ∽ △A′B′C′，相似比为k，则： ∠A = ∠A′，∠B = ∠B′，∠C = ∠C′ 性质2：对应线段的比等于相似比 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。 对应线段 与相似比的关系 对应高 比等于相似比 k 对应角平分线 比等于相似比 k 对应中线 比等于相似比 k 💡 证明思路：以对应高为例——由△ABC ∽ △A′B′C′，可得∠B = ∠B′；又因为AD和A′D′分别是高，∠ADB = ∠A′D′B′ = 90°，所以△ABD ∽ △A′B′D′（两角法），从而 。 ⚠️ 易错提醒：这里的“对应线段”不仅包括高、中线、角平分线，还包括对应边上的任意对应线段（如对应边上的任意等分点的连线等），其比都等于相似比。 性质3：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 相似三角形周长的比等于相似比。 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 💡 若△ABC ∽ △A′B′C′，相似比为k，则： （周长比 = 相似比） （面积比 = 相似比的平方） 📌 证明要点：面积比的性质可通过“分别作出对应高，面积 = × 底 × 高”来证明——底边比 = k，高比 = k，故面积比 = k²。 2. 核心思想与方法： 思想方法 具体体现 从特殊到一般 先从具体的数值实例（如1∶2比例建造模型）入手观察规律，再推广到一般情形进行证明 类比转化 将相似三角形对应线段的比问题，转化为利用相似三角形判定定理证明两个小三角形相似的问题 整体思想 周长比可通过对三边分别成比例后整体相加得到；面积比需综合底和高的比得到 逻辑推理 所有性质的得出都需要严格证明，不能仅凭观察或猜想 3. 易错点总结 易错点 说明与预防 ① 混淆周长比与面积比 周长比 = 相似比 k，面积比 = k²。面积比是相似比的平方，不是相似比本身 ② 对应关系错误 应用性质时，必须找准对应顶点、对应边、对应线段，注意对应点写在对应位置上 ③ 误认为所有线段比都等于相似比 只有对应线段（对应高、中线、角平分线等）的比才等于相似比，非对应线段不具备此性质 ④ 忽略“对应高”中的“对应” 相似三角形有3条高，必须取对应顶点上的高，不能随意取两条高相比 ⑤ 面积比与相似比方向搞反 若△ABC ∽ △A′B′C′，相似比为k，则 ，方向不能颠倒 ⑥ 在非相似三角形中误用性质 相似三角形的性质只适用于相似三角形，不能用于任意两个三角形 题型01证明三角形的对应线段成比例 【典例】如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形中的性质，相似三角形的对应边成比例．先根据平行四边形的性质得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：B． 【变式】如图，在中，，点为边上的点，连结，作，使边交于点． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1) 证明： ∵, ∴, ∵, ∴, ∴； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）先根据等边对等角得到，再利用三角形外角的性质和已知条件证明，由此即可证明； （2）根据相似三角形的性质得到 ，据此代值计算即可． 【详解】（1）略 （2）∵， ， ∵, , , ， ∴． 题型02利用相似三角形的性质求解 【典例】如图，在中，点D在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵在和中 ，， ∴； (2) 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可解答； （2）利用（1）的结论，根据相似三角形的性质列出比例式解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ， ， ， (舍去负值)， 的长为． 【变式】如图，在中，点P是的边上的一点． 小星：若，则可证 小红：若，则可证 小亮：若，则可证 (1)请判断三人的说法的对错：小星________，小红________，小亮________．（填“对”或“错”） (2)选择一种正确的方法，求证：； (3)若，且，求的长． 【答案】(1)对；对；错； (2)选择小星的方法： ，，有两组角对应相等， ； 选择小红的方法： ，，有两组边对应成比例且它们的夹角相等， ； (3)2 【分析】（1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）同（1）理证明即可； （3）设，则，利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）解：若，且，有两个角对应相等，可判定，小星对； 若，且，有两边对应成比例且它们的夹角相等，可判定，小红对； 若，且，有两边对应成比例，且一组角对应相等，不能证明，小亮错； （2）证明：略； （3）解：设， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：或（舍）， ． 题型03相似三角形的判定与性质综合 【典例】如图，在中，，是边的中点，连接，作，垂足为E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）得出，根据两角分别相等的两个三角形相似即可得证； （2）先证出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵是边的中点， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）． 【变式】如图，为等边三角形，为边上一点，连接． (1)如图（1），将绕点顺时针旋转得到．连接，，求证：； (2)如图（2），将绕点顺时针旋转得到，连接交于，猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图（3），以为斜边向边右侧作，连接，为的中点，连接．若，，当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1)证明：如图（1）中， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)解：如图（2）中，延长至，使，连接，， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ， ， ， ∴， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）先由等边三角形性质得，，再由旋转性质得，，因为，所以可推得，结合判定定理证明三角形全等． （2）延长至，使，连接，，证出，得到，证出是的中位线，得到，即可得到． （3）取的中点，连接，取的中点，连接，过点作于点，连接，，利用勾股定理和所对的直角边是斜边的一半，依次求出、，、、、的长，再利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半和中位线定理得，，由得到，当点落在线段上时，的值最小，最后求出的面积即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图（3）中，取的中点，连接，取的中点，连接，过点作于点，连接，． ∵是等边三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴当点落在线段上时，的值最小， 设点到的距离为， 则，，， 此时． 题型04在网格中画与已知三角形相似的三角形 【典例】如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图2中画出一个格点，使，周长之比为，并直接写出的面积_________________； (2)在图3中画出一个格点，使，面积之比为，并直接写出的周长_______________． 【答案】(1)如图，即为所求作，； (2)如图，即为所求作，． 【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长扩大2倍即可得，进而计算的面积， （2）根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可得，进而计算的周长． 【详解】（1）解：作略， 的面积为； （2）解：作略， ∵，面积之比为， ∴和的相似比为， ∵，，， ∴，，， ∴的周长． 【变式】如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段与交于点P． (1)图1中的值为__________； (2)请仅用无刻度的直尺作图． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最大的格点，使它与相似． 【答案】(1)3 (2)①如图，即为所求； ②如图，即为所求 【分析】（1）根据网格及相似三角形的判定和性质即可求解； （2）①利用网格画出即可； ②结合网格及勾股定理，利用三边对应成比例画图，且使三角形的一条边为网格中可以画出的最长线段． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， ∴； （2）①证明：根据网格可得：， ∴， ∴； ②∵，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴． 题型05相似三角形——动点问题 【典例】如图，在矩形中，，，点自点A出发，以每秒的速度向点D移动，同时点F从点D出发，以每秒的速度向点C移动，若移动时间为t且． (1)当t是多少时，； (2)四边形的面积是否为定值？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由． (3)能否与相似？如果能，请求出所有t的值，如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，36 (3)或 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据题意，列出方程进行求解即可； （2）用矩形的面积减去两个直角三角形的面积进行求解即可； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，， 由题意，， ∴， 当时，则，解得； （2）解：是定值； ∵， ∴， ∴四边形的面积 ； （3）解：能， ∵矩形， ∴，， 由题意，得， ∴， 当时，， ∴，解得； 当时，， ∴，解得； 综上：当或时，能与相似． 【变式】在中，．现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求： (1)用含t的代数式表示的面积S； (2)当秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ (3)当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】此题是相似形综合题，主要考查了直角三角形的面积公式，勾股定理，相似三角形的性质，解本题的关键时用分类讨论的思想和方程思想解决问题． （1）由点，点的运动速度和运动时间，又知的长，可将、用含的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解； （2）在中，当秒，可知、的长，运用勾股定理可将的长求出； （3）应分两种情况：当时，根据，可将时间求出；当时，根据，可求出时间． 【详解】（1）解：由题意得， 则， ∴的面积为； （2）解：由题意得， 则， 当秒时，， 在中，由勾股定理得； （3）解：由题意得， 则， ∵． ∴①当时，， 即， 解得秒； ②当时，， 即， 解得秒． ∴秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似． 题型06相似三角形实际应用 【典例】【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线 光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： ∵光轴，光轴，光轴， ∴（F为右侧的那点，下面一样）， ∵ 光轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴，即， ∴． 【分析】（1）证明，得到，据此代入数值计算即可； （2）证明四边形是矩形，得到，证明，得到，证明，得到，则可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 答：像的长为； （2）略 【变式】淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 【答案】(1)旗杆的高度为 (2)旗杆的高度米 【分析】（1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． （2）证明四边形为矩形，则和，进一步证明，则，即可求得，结合即可． 【详解】（1）解：根据光的反射的性质，， 又∵， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得， 故旗杆的高度为； （2）解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度米． 【巩固训练】 1．如图，在正方形中，，点M在边上，且，连接，点E是的中点，过点E作的平行线，交于点F，则的长为（     ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】延长交于点G，首先求出，然后证明出，得到，求出，证明出四边形是矩形，得到，进而求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 2．如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理得出，，根据平行四边形的性质得出，，，进而得出，，证明可得出，即可求解． 【详解】解：∵，分别是边，上的中线， ∴是的中位线， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中，，，，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形的性质，面积之比等于相似比的平方即可求解． 【详解】， ， ， ，， ， ． 4．如图，四边形中，垂直平分，交于点O，交于点E．若，则的长为（     ） A．5 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据相似三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ． 5．如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由四边形是正方形得，由点是的中点得，由平移得，进而得，得出，代换即可求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由平移得， ∴， ∴, 又∵， ∴． 6．如图，在四边形中，，，点沿着的路径以的速度匀速运动，到达点停止运动，始终与直线保持垂直，与或交于点，记线段的长度为，与时间的关系图如图所示，则图中的值为（     ） A． B． C．9 D． 【答案】B 【分析】由图象可知，点E从点A运动到点B用了，可得，此时，根据勾股定理可得；当时，，可得，根据相似三角形的性质可得，进而得出a的值． 【详解】解：如图所示，作，交于点M，作，交于点N， 由题意可知，，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．如图，，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得出相似比，进而求出与的面积比，利用面积差求出四边形的面积，最后计算比值即可； 【详解】解：，且， ， ， ， ， ， ． 8．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，则有，然后可得，则，进而根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．学习了“两个三角形相似的预备定理”后，在“中，、分别是边，上的两点”在这个前提条件下，某同学得到以下个结论： ①若，，则；②若，，则； ③若，，则．其中正确的是（    ）． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质． ①、③通过平行相似，得出，再运用相似的性质即可解题； ②无法通过证明相似，所以②不符合题意． 【详解】解：如图所示： 对于①：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故①符合题意； 对于②：且，但无法保证，故②不符合题意； 对于③：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③符合题意． 综上所述，符合题意的是①③． 故选：B． 10．如图，，，，则_______． 【答案】 【分析】由得到，再由证明，得到，所以，即可求出的面积． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，且四边形的面积为， ∴， ∴． 11．如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长．当短臂端点下降时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是________ ． 【答案】 【分析】先判断栏杆长短臂在升降过程中将形成两个相似三角形，再列方程求解即可． 【详解】解：设长臂端点升高x米， 由题意可知，栏杆长短臂在升降过程中将形成两个相似三角形， 则， 解得， 即长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是． 12．如图，，，．若，，则的值为______． 【答案】 【分析】利用等腰直角三角形性质及勾股定理求出的长，通过角的和差关系证明，结合已知角相等证明，利用相似三角形对应边成比例求解． 【详解】解：， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，即， 又， ， ， ， ． 13．如图，直角三角形中，，，若在，上各取一点、，使的值最小，则这个最小值为________． 【答案】16 【分析】作点关于直线的对称点，过点作于点，此时的值最小，最小值为线段的长，利用面积法求出的长，再证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交于点，过点作于点，连接， 由对称性可知，，，， ， 根据垂线段最短可知，当三点共线且时，最小，最小值为的长， 在中，， 由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， 又， ， 即， 又， ， ， ， 故的最小值为16． 14．如图，在中，，，，点E是边的中点，点P为边上的一动点，连接，将沿折叠得到，交于点D．当与的一条直角边垂直时，线段的长为________． 【答案】4 【分析】分两种情况：①当时；②当时，进一步结合相似三角形求解即可． 【详解】解：∵点E是边的中点， ∴． 分类讨论：①当时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ②当时，如图， ∵，， ∴， 此时与没有交点， 综上可知，线段的长为4． 15．如图1是个家用折叠梯子，使用时四个踏板都是平行于地面且全等的矩形，，将踏板往上收起时（如图2），点A与点F重合，此时，踏板可以看作与支架重合，将梯子垂直摆放时，量得点A离地面，点H离地面，则踏板宽_______；图3是图1的简略视图，记支架交于点P，此时点G恰好在A的正下方，且量得，则_______． 【答案】 20 【分析】设，，根据题意可列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出，；连接交于点N，连接，根据题意可得，证明，得到，解得，由勾股定理求出，，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设，， 根据题意可得，， 解得， ∴，； 如图，连接交于点N，连接，根据题意可得， ∵，， ∴， ∵，，，， ∴， ∴，即 解得， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴，即 ∴． 16．如图，在 中，分别是上的点，且，交于点 ，若，则______． 【答案】/ 【分析】先根据已知得到，则，证明，，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 则． 17．如图，在中，，点以每秒3个单位长度的速度从点沿方向向点匀速运动，点以每秒2个单位长度的速度从点沿方向向点匀速运动．作，设运动时间为，单位：s）． （1）运动过程中，的长为___________（用含的代数式表示） （2）连接，若，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，构建相似三角形是解题的关键． （1）根据题意，先得到，进而可求； （2）过点作于点，进而可证，再根据相似比列方程求解即可． 【详解】（1）， ． 根据题意可知， ； （2）， 四边形是平行四边形， 当时，过点作于点， 则． ． ， ，即，解得． 故答案为：；． 18．受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 【答案】(1)证明：由题可知，， (2) 【分析】（1）根据题意，利用“两个角对应相等的两个三角形相似”，即可求证； （2）根据相似三角形的性质，可得，代入即可求解． 【详解】（1）证明略 （2）解：由题可知，，，， ， ，即， ， 答：河宽为． 19．如图，在中，，，点F在边上，连接． (1)若的面积为1，求四边形的面积； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得，结合，求出， 即可求解； （2）证明四边形是平行四边形，得出，根据平行线分线段成比例可得，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 20．如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)， ， ， ， ，是的中线， ， ， ， 又， ． (2) 【分析】（1）先说明、，再利用直角三角形中线的性质以及等边对等角可得，即；再根据两种对应角相等的两个三角形相似即可证明结论； （2）根据勾股定理可得，利用相似三角形的性质可求得． 再证明，最后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，根据勾股定理，得，即， ， 由（1）知：， ， ， ． 是的中线， ， ．    ， ， ， ， ． 21．【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 22．如图，平行四边形，连接，过点分别作，，垂足分别为，，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ， ，， ， ． (2) 【分析】（1）利用平行四边形对角相等、垂直得直角相等，两角对应相等证三角形相似． （2）根据平行四边形的性质结合等角的余角相等等量代换证明，再由推出，进而证明，得到比例，代入数值计算． 【详解】（1）略 （2）解：已知四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 由（1）， ， ，即， ， ，即， ． 23．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为． (1)当的面积为时，求t的值； (2)连接，当时，求t的值． 【答案】(1)1或4 (2)1 【分析】（1）先求出的取值范围，再求出，的长，利用三角形的面积公式建立方程，解方程即可得； （2）证出，利用相似三角形的性质建立方程，解方程，并结合的取值范围即可得． 【详解】（1）解：由题意得：，，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ∵当点，其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动， ∴， ∵在矩形中，， ∴，， ∵的面积为， ∴， 解得或，均符合题意， 即的值为1或4． （2）解：由题意得：，， ∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， 即的值为1． 【强化训练】 1．如图，在正方形中，，点M在边上，且，连接，点E是的中点，过点E作的平行线，交于点F，则的长为（     ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】延长交于点G，首先求出，然后证明出，得到，求出，证明出四边形是矩形，得到，进而求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 2．如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理得出，，根据平行四边形的性质得出，，，进而得出，，证明可得出，即可求解． 【详解】解：∵，分别是边，上的中线， ∴是的中位线， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中，，，，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形的性质，面积之比等于相似比的平方即可求解． 【详解】， ， ， ，， ， ． 4．如图，四边形中，垂直平分，交于点O，交于点E．若，则的长为（     ） A．5 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据相似三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ． 5．如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由四边形是正方形得，由点是的中点得，由平移得，进而得，得出，代换即可求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由平移得， ∴， ∴, 又∵， ∴． 6．如图，在四边形中，，，点沿着的路径以的速度匀速运动，到达点停止运动，始终与直线保持垂直，与或交于点，记线段的长度为，与时间的关系图如图所示，则图中的值为（     ） A． B． C．9 D． 【答案】B 【分析】由图象可知，点E从点A运动到点B用了，可得，此时，根据勾股定理可得；当时，，可得，根据相似三角形的性质可得，进而得出a的值． 【详解】解：如图所示，作，交于点M，作，交于点N， 由题意可知，，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．如图，，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得出相似比，进而求出与的面积比，利用面积差求出四边形的面积，最后计算比值即可； 【详解】解：，且， ， ， ， ， ， ． 8．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，则有，然后可得，则，进而根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．学习了“两个三角形相似的预备定理”后，在“中，、分别是边，上的两点”在这个前提条件下，某同学得到以下个结论： ①若，，则；②若，，则； ③若，，则．其中正确的是（    ）． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质． ①、③通过平行相似，得出，再运用相似的性质即可解题； ②无法通过证明相似，所以②不符合题意． 【详解】解：如图所示： 对于①：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故①符合题意； 对于②：且，但无法保证，故②不符合题意； 对于③：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③符合题意． 综上所述，符合题意的是①③． 故选：B． 10．如图，，，，则_______． 【答案】 【分析】由得到，再由证明，得到，所以，即可求出的面积． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，且四边形的面积为， ∴， ∴． 11．如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长．当短臂端点下降时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是________ ． 【答案】 【分析】先判断栏杆长短臂在升降过程中将形成两个相似三角形，再列方程求解即可． 【详解】解：设长臂端点升高x米， 由题意可知，栏杆长短臂在升降过程中将形成两个相似三角形， 则， 解得， 即长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是． 12．如图，，，．若，，则的值为______． 【答案】 【分析】利用等腰直角三角形性质及勾股定理求出的长，通过角的和差关系证明，结合已知角相等证明，利用相似三角形对应边成比例求解． 【详解】解：， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，即， 又， ， ， ， ． 13．如图，直角三角形中，，，若在，上各取一点、，使的值最小，则这个最小值为________． 【答案】16 【分析】作点关于直线的对称点，过点作于点，此时的值最小，最小值为线段的长，利用面积法求出的长，再证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交于点，过点作于点，连接， 由对称性可知，，，， ， 根据垂线段最短可知，当三点共线且时，最小，最小值为的长， 在中，， 由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， 又， ， 即， 又， ， ， ， 故的最小值为16． 14．如图，在中，，，，点E是边的中点，点P为边上的一动点，连接，将沿折叠得到，交于点D．当与的一条直角边垂直时，线段的长为________． 【答案】4 【分析】分两种情况：①当时；②当时，进一步结合相似三角形求解即可． 【详解】解：∵点E是边的中点， ∴． 分类讨论：①当时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ②当时，如图， ∵，， ∴， 此时与没有交点， 综上可知，线段的长为4． 15．如图1是个家用折叠梯子，使用时四个踏板都是平行于地面且全等的矩形，，将踏板往上收起时（如图2），点A与点F重合，此时，踏板可以看作与支架重合，将梯子垂直摆放时，量得点A离地面，点H离地面，则踏板宽_______；图3是图1的简略视图，记支架交于点P，此时点G恰好在A的正下方，且量得，则_______． 【答案】 20 【分析】设，，根据题意可列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出，；连接交于点N，连接，根据题意可得，证明，得到，解得，由勾股定理求出，，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设，， 根据题意可得，， 解得， ∴，； 如图，连接交于点N，连接，根据题意可得， ∵，， ∴， ∵，，，， ∴， ∴，即 解得， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴，即 ∴． 16．如图，在 中，分别是上的点，且，交于点 ，若，则______． 【答案】/ 【分析】先根据已知得到，则，证明，，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 则． 17．如图，在中，，点以每秒3个单位长度的速度从点沿方向向点匀速运动，点以每秒2个单位长度的速度从点沿方向向点匀速运动．作，设运动时间为，单位：s）． （1）运动过程中，的长为___________（用含的代数式表示） （2）连接，若，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，构建相似三角形是解题的关键． （1）根据题意，先得到，进而可求； （2）过点作于点，进而可证，再根据相似比列方程求解即可． 【详解】（1）， ． 根据题意可知， ； （2）， 四边形是平行四边形， 当时，过点作于点， 则． ． ， ，即，解得． 故答案为：；． 18．受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 【答案】(1)证明：由题可知，， (2) 【分析】（1）根据题意，利用“两个角对应相等的两个三角形相似”，即可求证； （2）根据相似三角形的性质，可得，代入即可求解． 【详解】（1）证明略 （2）解：由题可知，，，， ， ，即， ， 答：河宽为． 19．如图，在中，，，点F在边上，连接． (1)若的面积为1，求四边形的面积； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得，结合，求出， 即可求解； （2）证明四边形是平行四边形，得出，根据平行线分线段成比例可得，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 20．如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)， ， ， ， ，是的中线， ， ， ， 又， ． (2) 【分析】（1）先说明、，再利用直角三角形中线的性质以及等边对等角可得，即；再根据两种对应角相等的两个三角形相似即可证明结论； （2）根据勾股定理可得，利用相似三角形的性质可求得． 再证明，最后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，根据勾股定理，得，即， ， 由（1）知：， ， ， ． 是的中线， ， ．    ， ， ， ， ． 21．【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 22．如图，平行四边形，连接，过点分别作，，垂足分别为，，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ， ，， ， ． (2) 【分析】（1）利用平行四边形对角相等、垂直得直角相等，两角对应相等证三角形相似． （2）根据平行四边形的性质结合等角的余角相等等量代换证明，再由推出，进而证明，得到比例，代入数值计算． 【详解】（1）略 （2）解：已知四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 由（1）， ， ，即， ， ，即， ． 23．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为． (1)当的面积为时，求t的值； (2)连接，当时，求t的值． 【答案】(1)1或4 (2)1 【分析】（1）先求出的取值范围，再求出，的长，利用三角形的面积公式建立方程，解方程即可得； （2）证出，利用相似三角形的性质建立方程，解方程，并结合的取值范围即可得． 【详解】（1）解：由题意得：，，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ∵当点，其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动， ∴， ∵在矩形中，， ∴，， ∵的面积为， ∴， 解得或，均符合题意， 即的值为1或4． （2）解：由题意得：，， ∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， 即的值为1． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $