专题13 投影（重难点讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦初中数学“投影”专题，系统梳理投影的定义、形成条件，分类讲解平行投影（太阳光）、中心投影（灯光）、正投影（特殊平行投影）的特征，构建从基础概念到实际应用的学习支架。 资料通过表格对比、易错点总结强化概念辨析，结合测量纪念碑、路灯影长等生活情境设计典例与变式，培养几何直观和空间观念，提升应用意识。课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固练习，查漏补缺。

专题13 投影 1.了解投影、中心投影、平行投影、正投影的含义； 2. 会画物体在不同光线下的投影，能根据投影判断点光源或平行光线的位置； 3. 知道物体在灯光下与太阳光下的影子的不同特征以及不同时刻、不同位置影子的变化情况； 4. 体会灯光下的投影（中心投影）与太阳光下的投影（平行投影）的区别。 1. 核心概念梳理： 投影的定义: 物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象。影子所在的平面称为投影面。 形成投影的三大条件： 光（光源） ：必须有光线照射； 物体：必须在光源与投影面之间； 投影面：影子所在的地面或平面。 投影的分类: 类型 定义 光源特征 常见光源 平行投影 由平行光线形成的投影 光线互相平行 太阳光、X光 中心投影 由同一点发出的光线形成的投影 光线从一点发出 手电筒、路灯、台灯 正投影 投影线垂直于投影面产生的投影 平行光线且与投影面垂直 特殊的平行投影 💡 理解关键：平行投影和中心投影的区别在于光线的来源方式——平行光线（如太阳光）还是点光源（如灯光）。 2. 平行投影： 定义: 太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影。 平行投影的特征: 特征 说明 点的投影 仍是点 直线的投影 一般仍是直线 点与线的从属关系 一点在某直线上，则该点的投影一定在该直线的投影上 比例关系 直线上两线段之比，等于其影长之比 平行关系 两直线平行，其投影平行或在同一直线上 同一时刻 不同物体的物高与影长的比相等 太阳光下影子的变化规律 ⭐ 重要考点 物体在太阳光下的不同时刻，不仅影子的长短在变化，而且影子的方向也在改变。 就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向为： "西"→"西北"→"北"→"东北"→"东" 💡 判断技巧：根据影长变化规律以及太阳东升西落的自然规律，可以判断时间的先后顺序。影子越长，越接近早晨或傍晚；影子越短，越接近正午。 平行投影与相似三角形: 在同一时刻，物高与影长成正比，因此可以利用相似三角形进行物高或影长的计算。 3. 、中心投影 定义: 手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影。这个“点”就是投影中心。 中心投影的特征: 特征 说明 对应点共线 点光源、物体边缘上的点以及其在影子上的对应点在同一条直线上 等高物体（垂直放置） 离点光源越近，影子越短；离点光源越远，影子越长 等长物体（平行放置） 离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会小于物体本身长度 真实性 中心投影不能反映原物体的真实形状和大小 确定光源位置的方法 ⭐ 核心技能 根据中心投影的特征，确定光源位置的方法是： 找物体上两个点及其在影子上的对应点； 分别过物体上的点及其在影子上的对应点画直线； 两条直线的交点即为光源所在的位置。 💡 理解关键：若物体相对于光源的方向改变，则该物体的影子方向也发生变化，但光源、物体、影子始终分居在物体的两侧。 4. 正投影: 定义: 平行光线与投影面垂直时产生的投影，称为正投影。正投影是特殊的平行投影。 线段的正投影规律: 线段与投影面的位置关系 正投影 平行于投影面 一条与它本身等长的线段 倾斜于投影面 与它本身不等长的线段（长度变小） 垂直于投影面 一个点 平面图形的正投影规律: 平面图形与投影面的位置关系 正投影 平行于投影面 形状大小不变（全等）的平面图形 倾斜于投影面 与它本身不全等的平面图形（形状大小改变） 垂直于投影面 一条线段 5. 平行投影与中心投影的区分 ⭐ 高频考点: 比较项 平行投影 中心投影 光线来源 平行光线（如太阳光） 从一点发出的光线（如灯光） 投影线 互相平行 相交于一点 影子大小 与物体和光源距离无关（同一时刻） 与物体和光源距离有关 物高与影长 同一时刻成比例 不成固定比例 能否反映真实形状 能（正投影时） 不能反映真实形状和大小 区分方法： 观察光源：光源是点光源还是平行光源？ 观察影子：各物体的影子方向是否一致？影长与物高是否成比例？ 6. 易错点总结: 易错点 说明与预防 ① 混淆平行投影与中心投影 平行投影光线平行（太阳光），中心投影光线交于一点（灯光），注意区分光源特征 ② 误认为所有投影都成比例 只有平行投影（同一时刻）物高与影长成比例，中心投影不成固定比例 ③ 忽略影子方向的变化 太阳光下不同时刻，影子的方向和长短都在变化，不能只看长度 ④ 中心投影中距离与影长的关系记反 等高物体垂直放置：离光源越近，影子越短；离光源越远，影子越长 ⑤ 正投影与一般平行投影混淆 正投影是投影线垂直于投影面的平行投影，是特殊情形 ⑥ 作图中对应点找错 确定光源位置时，必须找物体上的点与其影子上的对应点连线，不能随意连线 题型01正投影 【典例】如图，直线l同侧有两点A，B，在直线l上找一点P，使得的值最小．若点A到直线l的距离是4，点B到直线l的距离是2，A，B在直线l上的正投影间距为5，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作A关于l的对称点，连接，，，过作于E，根据轴对称的性质可得出过点C，，，证明四边形是矩形，得出，，在中，根据勾股定理求出，根据，则当、P、B三点共线时，取最小值，最小值为，即可求解． 【详解】解：由题意，得，，，，， 作A关于l的对称点，连接，，，过作于E， 则过点C，，四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当、P、B三点共线时，取最小值，最小值为， 即的最小值为． 【变式】如图，将一块含角的三角板ABC的直角顶点C放置于直线m上，点A，B在直线m上的正投影分别为点D，E．若，求AB在直线m上的正投影的长． 【答案】AB在直线m上的正投影的长是 【分析】本题考查直角三角形和相似三角形的应用，掌握利用直角三角形的边角关系和相似三角形的性质求解线段长度是解题的关键． 先在中求出和的长度，再在中求出的长度，接着证明，求出的长度，最后将和相加得到在直线上的正投影长度． 【详解】解：在中， ， , 在中， ． 点在直线上的正投影分别为点， ，即， , ， ， ， ， ， ． 故在直线上的正投影的长是． 题型02平行投影 【典例】如图，阳光下一根长的木棒在地面上的影子长为，此时旗杆的影子有一部分落在距离旗杆的墙上，旗杆的影子落在墙上的高度为，则旗杆的高度为___________． 【答案】 【分析】根据平行投影的性质，同一时刻物高与影长成正比．通过作辅助线构造矩形，将旗杆高度分为两部分，一部分对应墙上的影子高度，另一部分对应地面上的影子长度，利用比例关系求解即可． 【详解】解：过点作于点． 则四边形为矩形． ． 根据平行投影的性质，同一时刻物高与影长成正比． ． 即． 解得． ． 【变式】陕西省渭南市渭华起义纪念馆旁，巍然耸立着一座雄伟的标志性建筑物——渭华起义纪念碑．某综合与实践小组开展测量该纪念碑高度的活动，如图，纪念碑的顶端在阳光下的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆的顶端在阳光下的影子落在点处，在纪念碑另一侧点处测出纪念碑的顶端的仰角，测得，，，已知，，点、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你帮助该实践小组求纪念碑的高度． 【答案】纪念碑的高度为 【分析】设，可得和，证明，根据相似三角形的性质列方程求解． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， 由题意知，，， ， ，即， 解得， ∴纪念碑的高度为． 题型03中心投影 【典例】为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 【答案】(1)米 (2)米 (3)1米 【分析】（1）由题意知：米，米，证明，列比例式计算即可； （2）证明，求得（米），再根据，求解即可； （3）连接并延长交于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，设米，则米，米，米，米，米，根据，列比例式求解即可； 【详解】（1）解：由题意知：米，米， （米）， ， ， 即， 解得：（米）， 答：路灯的高度是米； （2）解：由题意知，米，米，米， ， ， ， 即， 解得：（米）， （米）， 答：当走到处时，他行走的路程是米； （3）解：如图2，连接并延长交于点，过点作于点，交于点， 则四边形是矩形，四边形是矩形， 设米， 则米，米，米， 米，米， ， ， ， 即， 解得：， 答：此时小明在墙上的影子有1米高． 【变式】如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上． (1)请你确定灯泡P所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子线段（请将线段用铅笔加粗）； (2)如果灯泡到地面距离为，小亮的身高，小亮与灯杆的距离，请求出小亮影子的长度． 【答案】(1)解：所求图形，如图所示； (2) 【分析】（1）连接，延长交于点P，连接，延长交于点，点P，线段即为所求； （2）利用相似三角形的性质构建方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可得，， ∴， ∴， ， 设小亮的影子长为，即，则， ∴， 解得， 经检验，是该方程的解． 答：小亮影子的长度为． 题型04视点、视角和盲区 【典例】某地创新大厦是当地重要的科技创新基地．数学实践小组计划利用所学知识测量该大厦的高度． 活动主题 测量大厦的高度 示意图 测量步骤1 在太阳光下，在大厦顶端的影子处竖直放置标杆，测量标杆和其影长． 测量步骤2 同一时刻，大厦的顶端的影子落在点处，在离不远的处放置了一个小镜子，竖直站在点处观察者的眼睛恰好从小镜子中看到大厦的顶端的像．点B，M，F，H在一条直线上． 测量数据 ，，，， 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子和标杆的长度，可得，请说明理由． (2)求大厦的高度． (3)查阅资料得知，该大厦的高度为，请判断该小组测量产生误差的原因（写出一条即可） 【答案】(1)见解析 (2) (3)测量长度时存在读数误差 【分析】（1）根据同一时刻太阳光线平行得，易证明，则，据此求解即可； （2）根据光的反射定律得到，证明，则，结合（1）中结论进行求解即可； （3）结合测量过程的实际操作场景，从测量工具、测量条件、操作误差等角度分析误差原因即可． 【详解】（1）解：由题意得：、， ， 同一时刻太阳光线平行， ， ， ， ，即， ； （2）解：根据光的反射定律，， 由题意得：、， ， ， ， 由（1）知，， ， ， 解得：， 即大厦高度为； （3）解：该小组测量产生误差的原因可能是：测量长度时存在读数误差或地面不绝对水平、镜子位置定位有偏差等． 【变式】如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区． （1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？ （2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见详解 【分析】（1）分别求出荣誉室面积和盲区面积，再利用概率公式，即可求解； （2）根据对称性，把摄像头安装线段上，计算出监控盲区的面积最小，即可得到结论． 【详解】解：（1）设小正方形的边长为1， ∴荣誉室面积=2×2+2×2+2×6=20，盲区面积=2×2-×2×1=3， ∴站在监控盲区的概率=3÷20=； （2）如图所示：根据对称性，摄像头安装在线段上时，监控盲区的面积最小，此时，监控盲区面积=2××1×2=2， 若摄像头不安装在线段PQ上，则监控盲区面积=×(CM+2)×2＞2． 【点睛】本题主要考查几何概率，掌握概率公式和方格纸的面积的计算，是解题的关键． 【巩固训练】 1．在阳光的照射下，矩形卡纸在平整的地面上的投影不可能是（     ） A．线段 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】D 【分析】利用矩形对边平行，平行投影中平行直线的投影仍平行或共线即可判断，得出不可能的投影． 【详解】解：阳光照射形成的投影是平行投影， ∵矩形的对边互相平行， 又∵在平行投影中，互相平行的直线的投影仍然互相平行或重合， ∴矩形投影得到的图形一定有两组对边平行（或一组对边重合为线段）， 当卡纸平面与光线平行时，投影为线段，故A可能； 当卡纸与地面平行时，投影为矩形，故B可能； 当卡纸倾斜放置时，可得到邻边相等的平行四边形即菱形，故C可能； 梯形只有一组对边平行，不符合投影性质，因此不可能是梯形． 2．下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心投影的概念进行判断即可． 【详解】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反，只有选项D符合． 3．下列判断正确的是（     ） A．两点之间垂线段最短 B．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形 C．点关于y轴的对称点在第一象限 D．同一时刻下，两个身高相同的人在阳光下的影长相等 【答案】C 【详解】解：A、两点之间线段最短，点到直线的距离中才是垂线段最短，概念混淆，错误； B、平行四边形只是中心对称图形，不是轴对称图形，错误； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴点在第二象限， ∴点关于轴的对称点横纵坐标都为正，故对称点在第一象限，正确； D、只有同一时刻同一地点，身高相同且直立的人在阳光下的影长才相等，选项缺少前提条件，错误． 4．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（     ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】利用中心投影，过点P作于点E交于点M，证明，然后利用相似比可求出的长． 【详解】解：如图，过点P作于点E交于点M， 根据题意得：， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴，即， 5．如图，用发光的手电筒垂直照射吊在空中静止的不透明小球，小球落在竖直墙面上影子的形状是（    ） A．圆 B．矩形 C．球 D．三角形 【答案】A 【分析】根据球体的几何特征及光线照射方向判断影子的形状． 【详解】解：∵小球是球体，手电筒垂直照射， ∴光线方向与竖直墙面垂直， ∴小球在墙面上的影子即为球体的正投影， ∵球体在垂直于光线的平面上的影子是圆， ∴影子的形状是圆． 6．数学实验课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形是矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立体图形的展开图、三视图、截面及投影，结合圆锥、圆柱、球体及三角板的几何特征，逐一判断各选项得到的平面图形形状即可． 【详解】解：A选项，圆锥的侧面展开图是扇形，不符合题意； B选项，竖直放置的圆柱的左视图是矩形，符合题意； C选项，球体的截面是圆，不符合题意； D选项，三角板的中心投影是三角形，不符合题意 ． 7．如图，棱长为的正方体箱子平放在空旷的地面上，是棱的中点．当平行光线分别沿射线，方向射入时，箱子在地面上形成的投影是（    ） A．边长分别为，的正方形 B．边长分别为，的正方形 C．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 D．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 【答案】D 【分析】根据平行投影的性质，利用等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质分别求出光线沿射线、方向射入时，投影的边长，即可得答案． 【详解】解：如图，当光线沿射线方向射入时，光线与前表面的对角线平行， ∵正方体棱长为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得，， ∴四边形是边长为的正方形， 如图，当光线沿射线方向射入时，， ∵为中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是长为，宽为的长方形； 综上所述：箱子在地面上形成的投影是边长为的正方形和长为，宽为的长方形． 8．某校数学小组在测量校园内一棵古树高度时，采用了如下方法：如图，在阳光下，一名身高1.6米的同学站在距古树8米处，树的影子恰好落在地面和一座高3米的墙上，该同学的影子顶端恰好落在墙角下，测得该同学的影长为2米，墙上树影高为1.5米，则古树的高度为（   ） A．9米 B．9.2米 C．9.5米 D．11米 【答案】C 【分析】如图，延长，交的延长线于点，同一时刻物高与影长成比例，可得，再证明，根据相似三角形的性质列式解答即可． 【详解】解：如图，延长，交的延长线于点， 根据题意得：米，米，米，米， ∵同一时刻物高与影长成比例， ∴， ∴， ∴， 又， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（米）． 9．一个正在装修的房间里，有一个靠墙竖立的梯子（梯子顶端靠在墙上，底端在地面）．离梯子底端1米处（）有一把垂直于地面的椅子，椅子的影长米（影子投射在地面上）．为了测量椅子的高度，小明在梯子的另一侧离梯子底端4米处（）竖起一根1米高的竹竿，测得竹竿的影长米，则椅子的高度为（   ） A．2米 B．1.5米 C．3米 D．2.5米 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，中心投影等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 先证明，推出，求得米，再证明，得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵米，米，米 则米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，则米， ∴， ∴米， 故选：B． 10．如图，小明用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片的周长为4，则影子的周长为__________． 【答案】 【分析】根据证明 ，得到，根据矩形与矩形位似得，再求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， 矩形与矩形位似， ， 矩形的周长为4， 矩形的周长为． 11．如图，在直角坐标系中，点是一个点光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为_______． 【答案】 【分析】连接并延长交轴于，连接并延长交轴于，待定系数法求出直线的解析式为，求出，即可求解． 【详解】解：连接并延长交轴于，连接并延长交轴于， 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得， ， 同理可求， ， 木杆在x轴上的投影长为． 12．某店铺在窗户上方安装一个遮阳棚，如图所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角为．在某一时刻，一位身高的顾客在太阳光下的影长，则此时遮阳棚在地面上的影长为______m． 【答案】() 【分析】作，作，可得四边形是矩形，进而得，再解直角三角形求出，然后求出，接下来说明，可求出，最后根据得出答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于点N，作于点M， ∴四边形是矩形， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 13．如图，乐乐将高为米的标杆竖立在地面上，某一时刻高为米的小树在太阳光下的投影为，此时标杆在太阳光下的投影为，米．已知，，点、、、在同一直线上，则投影的长为______米． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，灵活运用“同一时刻物高与影长成比例”的原理是解题的关键．根据平行光线照射下，垂直于地面的物体与其投影构成相似三角形，可得到，进而利用相似三角形对应边成比例的性质，求出小树的投影的长度． 【详解】解：，，点、、、在同一直线上， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 14．如图，点光源射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为_____． 【答案】10 【分析】证明，推出，构建方程求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．如图，在传统皮影戏表演中，若表演的艺人操控的皮影与幕布平行，背后的油灯（点光源）皮影的垂直距离为，皮影到幕布的垂直距离为．则幕布上皮影影子面积与原皮影面积的比值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心投影，位似图形的性质. 由题意得，皮影与其在幕布上的影子关于油灯位似，那么幕布上皮影影子的面积与原皮影面积的比值等于油灯（点光源）到幕布的垂直距离与油灯（点光源）到皮影的垂直距离的比值的平方，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，皮影与其在幕布上的影子关于油灯位似， ∵油灯（点光源）到皮影的垂直距离为，皮影到幕布的垂直距离为， ∴油灯（点光源）到幕布的垂直距离为， ∴油灯（点光源）到皮影的垂直距离与油灯（点光源）到幕布的垂直距离的比为， ∴幕布上皮影影子的面积与原皮影面积的比值为， 故答案为：． 16．小明家的客厅有一张直径为，高 的圆桌 ，在距地面 的 A 处有一盏灯，圆桌的影子为 ．如图，根据题意，以 为 1 个单位长度建立平面直角坐标系，其中点 D的坐标为 ，则点 E 的坐标是_________． 【答案】 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，平面直角坐标系中点的坐标确定，正确的识别图形是解题的关键．先根据圆桌与影子的平行关系，判定三角形相似；再利用相似三角形的对应边成比例，计算出影子的长度；最后结合已知点的坐标，确定目标点的坐标． 【详解】解：， ∴， ， ， ， ， ∵点 D的坐标为 ， ∴， ∴ ． 故答案为：． 17．如图，小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1的竹竿的影长是1.5，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），她先测得留在墙壁上的影高为2，又测得地面的影长为6，请你帮她算一下，树高______． 【答案】6 【分析】本题考查了平行投影，解题的关键要知道竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，利用这个结论可以求出树高． 【详解】解：如图所示，过点D作于点C，连接， 由题意可得，，， 一根长为1的竹竿的影长是1.5， ， ， ， 故答案为：6． 18．综合与实践：投影中的数学． (1)如图①，当太阳光线与水平地面成时，将木杆水平放置、木杆竖直放置． ①画出木杆，在太阳的照射下，在水平地面形成的投影，（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，则影长 m， m； (2)如图②，水平放置的木杆在路灯灯泡的照射下，在水平地面形成投影． ①画出路灯灯泡的位置（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，其距离地面的高度为，影长，求路灯灯泡距离地面的高度． 【答案】(1)①如图，投影，即为所求；②3，； (2)①如图，灯泡P即为所求； ② 【分析】（1）①根据作一个角等于已知角以及作垂线的步骤作图即可； ②根据平行投影的性质以及直角三角形的性质，勾股定理求解即可； （2）①连接，并延长交点即为点；②过点分别作，，垂足为点，通过以及求解即可． 【详解】（1）解：①作图见答案； ②由平行投影可得，，， ∵地面， ∴ ∴， ∵ ∴，解得（舍负） （2）解：①略 ②过点分别作，，垂足为点， 由题意得，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即路灯灯泡距离地面的高度为． 19．古树名木是保护物种资源、维护自然界生态平衡的主角，也是民族文化的重要标志物．小君利用假期测量了被列为全国仅存的5株5000岁古柏之一的老君柏（如图1）的高度．如图2，小君在地面上的点C处测得老君柏顶端A的仰角；小君在地面上的点D处竖立一根高为2米的标杆（即米），在同一时刻的阳光下，老君柏和标杆在地面上的影子长度分别为、，米，米．已知，，点B、C、D、F在一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你求出老君柏的高度． 【答案】米． 【分析】设米，根据等角对等边得到米，则米，证明，得到，求解即可． 【详解】解：设米， ∵， ∴， ∴米， ∴米， ∵同一时刻的阳光下， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即米． 20．综合与实践 主题：利用投影生成轴对称图形． 素材：一根5米长的木棍倾斜固定在半空，点A离地面高度为4米，点A，B之间的水平宽度为4米．如图（1），白天的某一时刻，阳光下（图中虚线为太阳光线）木棍在地面上投影为．如图（2），点B的正上方有一路灯P，夜晚在路灯P的照射下木棍在地面上的投影为． 【问题解决】 (1)如图（1），测得米，为验证木棍，投影线，投影线，影长组成的四边形是轴对称图形，请你帮助证明：． (2)如图（2），发现木棍，投影线，投影线，影长组成的四边形也是轴对称图形，请求出路灯P距地面的高度． 【答案】(1) 证明：如图所示，过点作交于点G， 由题意得， 又∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴米， ∵米， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)米 【分析】（1）过点作交于点，证明四边形为平行四边形可得，即可证明； （2）过点作于点，于点，可知四边形是矩形，由题意可知，，三点在同一直线上，且，根据轴对称图形得到米，证明，进而求出，求出的长即可． 【详解】（1）略； （2）解：如图，过点作于点，于点，则四边形是矩形． 路灯在点正上方． ，，三点在同一直线上，且， 米，米， 米，（米）． 四边形是轴对称图形， （米）． ，， ， ， ， 米， （米）， 答：路灯距地面高度为米． 21．【数学思考】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息： (1)太阳光下形成的投影属于 ；（填“平行投影”或“中心投影”）； (2)在图中画出在阳光下的投影； (3)求立柱的长． 【答案】(1)平行投影 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据投影的定义进行判断即可； （2）连接，过D作即可完成作图； （3）证，根据对应线段成比例即可求解． 【详解】（1）解：太阳光下形成的投影属于平行投影； （2）解：连接，过D作交延长线于F， 如图，即为在阳光下的投影： （3）解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得： 22．阅读材料，解决问题． 通常，路灯、手电筒……的光线可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所形成的影子称为中心投影．某学习小组利用竹竿开展“投影”为主题的综合实践活动． 如图，在同一平面内，线段，表示两根垂直于水平地面的竹竿，它们在点光源下的影子分别为线段和，线段表示平行于地面并可移动的水平竹竿． (1)在所给的图形中，确定光源的位置，用点表示；画出水平竹竿在地面的影子，用线段表示． (2)在光源的照射范围内，移动竹竿，其影长的变化情况是：向左平移时的影长___________，向下平移时的影长___________．（填“变小”“变大”或“不变”） (3)已知竹竿的长度为2米，光源到地面的距离为5米．设与地面的距离为米，影长为米，求关于的函数关系式． 【答案】(1) 如图，点为光源的位置，为的影子； (2)不变，变小 (3) 【分析】本题考查了中心投影作图，相似三角形的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）分别连接，并延长交于点P，即可求出光源位置；分别连接，并延长，交地面于点M，N，即可得出影子； （2）根据光源和竹竿高度的变化情况进行判断即可； （3）过作直线，交直线于点，通过证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在光源的照射范围内，移动竹竿， 向左平移时，光源和竹竿高度都没有发生变化，所以其影长不变； 向下平移时，光源高度没变，竹竿高度变低，竹竿到光源的距离变大，离光源越远，影长越短，所以其影长变小； 故答案为：不变，变小； （3）解：过作直线，交直线于点， 依题意，． ∵ ，且， ， ， ， ． 23．在乡村道路建设中，为了方便村民夜间出行，市政部门在道路边安装了路灯．如图，某条道路上安装路灯的路面比旁边农田的地面高（即），在路灯的照射下，路基在农田地面上留下的影长为，已知点E、P、Q在同一直线上，于点B，于点P，． (1)此光源下形成的投影属于_______；（填“平行投影”或“中心投影”） (2)求路灯的高度． 【答案】(1)中心投影 (2)路灯的高度为4.5米 【分析】本题考查了中心投影以及相似三角形的应用，熟记相似三角形的对应边成比例是解题的关键． （1）根据由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影解答即可； （2）根据相似三角形的对应边成比例得出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵路灯是点光源， ∴此光源下形成的投影属于中心投影． 故答案为：中心投影； （2）解：由题意，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：路灯的高度为4.5米． 【强化训练】 1．如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知图片长为，若点光源O到胶片的距离长为，点光源O与屏幕的距离的长为，则影像长为（    ） A．36 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【分析】证明，推出，构建方程求出即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 2．小华拿着两根长度相等的圆柱形木棍在阳光下做投影实验，这两根木棍在地面形成的投影可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵太阳光是平行光， ∴相等长度的木棍的投影应该在同一侧，且影子的长度相等，只有选项C符合． 3．如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为（    ） A．①③②④ B．④②①③ C．④②③① D．②④①③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了在太阳光下的平行投影，解答本题的关键是要抓住太阳一天中运动的方位特点来确定物体影子所处的方位．平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例． 【详解】解：太阳从东边升起最后从西边落下，树的影子应该在西面开始，随着时间的变化影子逐渐向北偏西，北偏东，正东方向的顺序移动， ∴按时间先后顺序排列序号应为④②①③． 故选：B． 4．如图所示，小颖由点处径直走到路灯正下方点处，她在灯光照射下的影长与行走路程之间的变化关系用图象表示大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了函数图象以及中心投影的性质，得出y随x的变化规律是解决问题的关键．根据中心投影的性质得出小颖在灯下走的过程中影长随路程之间的变化，进而得出符合要求的图象． 【详解】解：∵小路的正中间有一路灯，小颖由点处径直走到路灯正下方点处，她在灯光照射下的影长y与行走的路程x之间的变化关系为：y随x的增大而减小， ∴用图象刻画出来应为B． 故选：B． 5．如图，在灯光的正下方，它在地面上形成的影子是，平行于地面，且到的距离和与地面的距离相等，已知在中，，下面关于的说法，其中正确的是（   ） A．的面积为 B．的周长为 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的性质，掌握中心投影的概念找出相似比是解题关键． 分别求出、、，再依据中心投影的概念，根据距离相等推出相似比为，利用相似三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：由题意，得， ，， 由题意，得，，， 由中心投影的性质，可知，相似比为， ∴，故A选项错误； ，故B选项正确； ，，故C、D选项错误， 故选：B． 6．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，在一次手影游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为4米，在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应减少______米． 【答案】 【分析】此题考查了中心投影，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题． 根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：如图，点为光源，表示小明的手，表示小狗手影，则，过点作，延长交于，则，    ∵， ∴，则， ∵米，米，则米， ∴， 设， ∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图，    即，，米， ∴， 则， ∴米， ∴光源与小明的距离变化为：米， 故答案为：． 7．如图，点O为正方体的中心，点E为面的中心，点F为的中点，则空间四边形在该正方体的面上的正投影可能是__________________（填出所有可能的序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查空间几何体的正投影，掌握从不同面观察空间四边形，确定各顶点投影的位置关系是解题的关键． 分别从正方体的不同面观察空间四边形，确定其在各个面上的正投影形状． 【详解】解：从正面投影：的投影形成的图形与①相符； 从侧面投影：的投影形成的图形与②相符； 从上面投影：的投影形成的图形与③相符； 图形④的形状不符合空间四边形在任何面上的正投影． 故答案为：①②③． 8．一个圆锥的旋转轴垂直于投影面时，其正投影的面积为．若当旋转轴平行于投影面时，其正投影的面积为，则圆锥的侧面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查平行投影，圆锥的计算等知识，解题的关键是理解题意，掌握平行投影的性质． 当旋转轴垂直于投影面时，正投影为圆锥的底面圆，面积可求底面半径；当旋转轴平行于投影面时，正投影为等腰三角形，面积可求高和母线长；再利用圆锥侧面积公式计算． 【详解】解：当旋转轴垂直于投影面时，正投影是圆锥的底面圆，面积为 ， 设底面半径为 ， 则 ，解得 ． 当旋转轴平行于投影面时，正投影是一个等腰三角形， 底边长为底面直径 ，高为，母线长 ，面积为 ， 由三角形面积公式 ，即 ， 解得 ， 则母线长为， 圆锥的侧面积为 ， 故答案为：． 9．【问题情境】通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影子称为中心投影． (1)画图操作：如图①，三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为．确定光源O的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． (2)【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为______； (3)【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 【答案】(1)见解析 (2)B (3)灯杆高度为5.4m 【分析】（1）连接，并延长交于点O，再连接，过点E作，交于点K； （2）小明从点A出发，影子越来越短，到路灯下方达到最短，之后越来越长，可知B符合题意； （3）先说明，即可得出 ，再代入数值可得然后根据求出答案． 【详解】（1）解：如图，光源O、线段即为所求； （2）解：B； 根据题意可知影子越来越短，至最短，随后越来越长，可知B符合题意； （3）解：如图所示，设， 由题意得，， ， ， ， ， ， 解得， ∴ ． ∵， 解得， ∴灯杆高度为． 10．学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿、、，垂足分别为、、，两根竹竿之间的距离均为米（米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿、的影子分别为、，如图和图的示意图．请解决下列问题： （）反映平行投影的情形图是______，反映中心投影的情形图是______；（填“图”或“图”） 【画图操作】 （）结合图中的影子、画出表示竹竿的影子及光源； 【数学思考】 （）在（）中，小明从点向右沿地面走，经过光源的正下方沿直线走到点，小明的影长随小明与点之间的距离的变化而变化，那么表示与之间函数关系的图象大致为______． A． B． . C． D． 【解决问题】 （）在图中，学习小组经测量：竹竿米，竹竿米，竹竿米，竹竿、的影长米，求竹竿的影长． 【答案】（）图，图；（）画图见解析；（）；（）米 【分析】本题考查了平行投影、中心投影和相似三角形的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． （）根据平行投影和中心投影的定义判断即可； （）根据中心投影的定义画出图形； （）利用相似三角形的性质构建方程组求解即可． 【详解】解：（）反映平行投影的情形图是图，反映中心投影的情形图是图， 故答案为：图，图； （）如图所示，线段和点即为所求； （）∵在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长， ∴小明的影长变化是先越来越短，再越来越长， 故选：； （）如图，过点作于点，设米，米， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即①， 同理可得：， 即②， 联立①②，得， 整理得，， 解得， ∴米，米， 又同理可得：， 即， 解得， 答：的影长为米． 11．【问题情境】学习了投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如下图，在同一时刻，身高为1.6m的小明（AB）的影子BC的长是3m，而小颖（EH）刚好在路灯灯泡的正下方点H处，并测量． (1)【实践探究】 请确定路灯灯泡所在的位置G． (2)【问题解决】 求路灯灯泡的垂直高度GH． (3)【拓展探究】 ①如果小明沿线段BH向小颖（点H）走去，当小明走到BH的中点处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处时，求其影子的长； ②按①中的规律继续走下去，当小明走剩下路程的到处时，其影子的长为________m（直接用含n的代数式表示）． 【答案】（1）见解析（2）（3）①② 【分析】（1）根据题意，延长交于一点，则这点即为所求的点； （2）利用 （1）的作图，通过得到即可求解； （3）利用（2）求出GH的长，再通过得到即可求出的长，同理可求出及的长． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）由题意，得， ． ． ． （3）①如图，同理可得， ． 由（2）可知，， ． ． 同理可得， 即． ． ②同理可得， 即． 即：． ． 【点睛】本题考查了中心投影中求线段长度的问题，通过三角形相似得到线段对应成比例并能找出规律是解题的关键． 12．为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 【答案】(1)如图所示： 盲区长度为； (2)如图所示 ； (3)①减小；②增大 【分析】（1）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （2）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解； （3）结合（1）（2）求解即可． 【详解】（1）解：图略 ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴盲区长度为； （2）解：图略 作于，交于， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴（平方米）； （3）解：①∵，即， ∴， 当增大时，减小，则前视野盲区的面积会减小； ②∵，增加整车宽度即增大，则也增大，其余条件不变， ∴视野盲区面积会增大． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 投影 1.了解投影、中心投影、平行投影、正投影的含义； 2. 会画物体在不同光线下的投影，能根据投影判断点光源或平行光线的位置； 3. 知道物体在灯光下与太阳光下的影子的不同特征以及不同时刻、不同位置影子的变化情况； 4. 体会灯光下的投影（中心投影）与太阳光下的投影（平行投影）的区别。 1. 核心概念梳理： 投影的定义: 物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象。影子所在的平面称为投影面。 形成投影的三大条件： 光（光源） ：必须有光线照射； 物体：必须在光源与投影面之间； 投影面：影子所在的地面或平面。 投影的分类: 类型 定义 光源特征 常见光源 平行投影 由平行光线形成的投影 光线互相平行 太阳光、X光 中心投影 由同一点发出的光线形成的投影 光线从一点发出 手电筒、路灯、台灯 正投影 投影线垂直于投影面产生的投影 平行光线且与投影面垂直 特殊的平行投影 💡 理解关键：平行投影和中心投影的区别在于光线的来源方式——平行光线（如太阳光）还是点光源（如灯光）。 2. 平行投影： 定义: 太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影。 平行投影的特征: 特征 说明 点的投影 仍是点 直线的投影 一般仍是直线 点与线的从属关系 一点在某直线上，则该点的投影一定在该直线的投影上 比例关系 直线上两线段之比，等于其影长之比 平行关系 两直线平行，其投影平行或在同一直线上 同一时刻 不同物体的物高与影长的比相等 太阳光下影子的变化规律 ⭐ 重要考点 物体在太阳光下的不同时刻，不仅影子的长短在变化，而且影子的方向也在改变。 就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向为： "西"→"西北"→"北"→"东北"→"东" 💡 判断技巧：根据影长变化规律以及太阳东升西落的自然规律，可以判断时间的先后顺序。影子越长，越接近早晨或傍晚；影子越短，越接近正午。 平行投影与相似三角形: 在同一时刻，物高与影长成正比，因此可以利用相似三角形进行物高或影长的计算。 3. 中心投影 定义: 手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影。这个“点”就是投影中心。 中心投影的特征: 特征 说明 对应点共线 点光源、物体边缘上的点以及其在影子上的对应点在同一条直线上 等高物体（垂直放置） 离点光源越近，影子越短；离点光源越远，影子越长 等长物体（平行放置） 离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会小于物体本身长度 真实性 中心投影不能反映原物体的真实形状和大小 确定光源位置的方法 ⭐ 核心技能 根据中心投影的特征，确定光源位置的方法是： 找物体上两个点及其在影子上的对应点； 分别过物体上的点及其在影子上的对应点画直线； 两条直线的交点即为光源所在的位置。 💡 理解关键：若物体相对于光源的方向改变，则该物体的影子方向也发生变化，但光源、物体、影子始终分居在物体的两侧。 4. 正投影: 定义: 平行光线与投影面垂直时产生的投影，称为正投影。正投影是特殊的平行投影。 线段的正投影规律: 线段与投影面的位置关系 正投影 平行于投影面 一条与它本身等长的线段 倾斜于投影面 与它本身不等长的线段（长度变小） 垂直于投影面 一个点 平面图形的正投影规律: 平面图形与投影面的位置关系 正投影 平行于投影面 形状大小不变（全等）的平面图形 倾斜于投影面 与它本身不全等的平面图形（形状大小改变） 垂直于投影面 一条线段 5. 平行投影与中心投影的区分 ⭐ 高频考点: 比较项 平行投影 中心投影 光线来源 平行光线（如太阳光） 从一点发出的光线（如灯光） 投影线 互相平行 相交于一点 影子大小 与物体和光源距离无关（同一时刻） 与物体和光源距离有关 物高与影长 同一时刻成比例 不成固定比例 能否反映真实形状 能（正投影时） 不能反映真实形状和大小 区分方法： 观察光源：光源是点光源还是平行光源？ 观察影子：各物体的影子方向是否一致？影长与物高是否成比例？ 6. 易错点总结: 易错点 说明与预防 ① 混淆平行投影与中心投影 平行投影光线平行（太阳光），中心投影光线交于一点（灯光），注意区分光源特征 ② 误认为所有投影都成比例 只有平行投影（同一时刻）物高与影长成比例，中心投影不成固定比例 ③ 忽略影子方向的变化 太阳光下不同时刻，影子的方向和长短都在变化，不能只看长度 ④ 中心投影中距离与影长的关系记反 等高物体垂直放置：离光源越近，影子越短；离光源越远，影子越长 ⑤ 正投影与一般平行投影混淆 正投影是投影线垂直于投影面的平行投影，是特殊情形 ⑥ 作图中对应点找错 确定光源位置时，必须找物体上的点与其影子上的对应点连线，不能随意连线 题型01正投影 【典例】如图，直线l同侧有两点A，B，在直线l上找一点P，使得的值最小．若点A到直线l的距离是4，点B到直线l的距离是2，A，B在直线l上的正投影间距为5，则的最小值为______． 【变式】如图，将一块含角的三角板ABC的直角顶点C放置于直线m上，点A，B在直线m上的正投影分别为点D，E．若，求AB在直线m上的正投影的长． 题型02平行投影 【典例】如图，阳光下一根长的木棒在地面上的影子长为，此时旗杆的影子有一部分落在距离旗杆的墙上，旗杆的影子落在墙上的高度为，则旗杆的高度为___________． 【变式】陕西省渭南市渭华起义纪念馆旁，巍然耸立着一座雄伟的标志性建筑物——渭华起义纪念碑．某综合与实践小组开展测量该纪念碑高度的活动，如图，纪念碑的顶端在阳光下的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆的顶端在阳光下的影子落在点处，在纪念碑另一侧点处测出纪念碑的顶端的仰角，测得，，，已知，，点、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你帮助该实践小组求纪念碑的高度． 题型03中心投影 【典例】为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 【变式】如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上． (1)请你确定灯泡P所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子线段（请将线段用铅笔加粗）； (2)如果灯泡到地面距离为，小亮的身高，小亮与灯杆的距离，请求出小亮影子的长度． 题型04视点、视角和盲区 【典例】某地创新大厦是当地重要的科技创新基地．数学实践小组计划利用所学知识测量该大厦的高度． 活动主题 测量大厦的高度 示意图 测量步骤1 在太阳光下，在大厦顶端的影子处竖直放置标杆，测量标杆和其影长． 测量步骤2 同一时刻，大厦的顶端的影子落在点处，在离不远的处放置了一个小镜子，竖直站在点处观察者的眼睛恰好从小镜子中看到大厦的顶端的像．点B，M，F，H在一条直线上． 测量数据 ，，，， 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子和标杆的长度，可得，请说明理由． (2)求大厦的高度． (3)查阅资料得知，该大厦的高度为，请判断该小组测量产生误差的原因（写出一条即可） 【变式】如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区． （1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？ （2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由． 【巩固训练】 1．在阳光的照射下，矩形卡纸在平整的地面上的投影不可能是（     ） A．线段 B．矩形 C．菱形 D．梯形 2．下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（     ） A． B． C． D． 3．下列判断正确的是（     ） A．两点之间垂线段最短 B．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形 C．点关于y轴的对称点在第一象限 D．同一时刻下，两个身高相同的人在阳光下的影长相等 4．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（     ） A．3 B．6 C．8 D．9 5．如图，用发光的手电筒垂直照射吊在空中静止的不透明小球，小球落在竖直墙面上影子的形状是（    ） A．圆 B．矩形 C．球 D．三角形 6．数学实验课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形是矩形的是（     ） A． B． C． D． 7．如图，棱长为的正方体箱子平放在空旷的地面上，是棱的中点．当平行光线分别沿射线，方向射入时，箱子在地面上形成的投影是（    ） A．边长分别为，的正方形 B．边长分别为，的正方形 C．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 D．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 8．某校数学小组在测量校园内一棵古树高度时，采用了如下方法：如图，在阳光下，一名身高1.6米的同学站在距古树8米处，树的影子恰好落在地面和一座高3米的墙上，该同学的影子顶端恰好落在墙角下，测得该同学的影长为2米，墙上树影高为1.5米，则古树的高度为（   ） A．9米 B．9.2米 C．9.5米 D．11米 9．一个正在装修的房间里，有一个靠墙竖立的梯子（梯子顶端靠在墙上，底端在地面）．离梯子底端1米处（）有一把垂直于地面的椅子，椅子的影长米（影子投射在地面上）．为了测量椅子的高度，小明在梯子的另一侧离梯子底端4米处（）竖起一根1米高的竹竿，测得竹竿的影长米，则椅子的高度为（   ） A．2米 B．1.5米 C．3米 D．2.5米 10．如图，小明用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片的周长为4，则影子的周长为__________． 11．如图，在直角坐标系中，点是一个点光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为_______． 12．某店铺在窗户上方安装一个遮阳棚，如图所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角为．在某一时刻，一位身高的顾客在太阳光下的影长，则此时遮阳棚在地面上的影长为______m． 13．如图，乐乐将高为米的标杆竖立在地面上，某一时刻高为米的小树在太阳光下的投影为，此时标杆在太阳光下的投影为，米．已知，，点、、、在同一直线上，则投影的长为______米． 14．如图，点光源射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为_____． 15．如图，在传统皮影戏表演中，若表演的艺人操控的皮影与幕布平行，背后的油灯（点光源）皮影的垂直距离为，皮影到幕布的垂直距离为．则幕布上皮影影子面积与原皮影面积的比值为______． 16．小明家的客厅有一张直径为，高 的圆桌 ，在距地面 的 A 处有一盏灯，圆桌的影子为 ．如图，根据题意，以 为 1 个单位长度建立平面直角坐标系，其中点 D的坐标为 ，则点 E 的坐标是_________． 17．如图，小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1的竹竿的影长是1.5，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），她先测得留在墙壁上的影高为2，又测得地面的影长为6，请你帮她算一下，树高______． 18．综合与实践：投影中的数学． (1)如图①，当太阳光线与水平地面成时，将木杆水平放置、木杆竖直放置． ①画出木杆，在太阳的照射下，在水平地面形成的投影，（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，则影长 m， m； (2)如图②，水平放置的木杆在路灯灯泡的照射下，在水平地面形成投影． ①画出路灯灯泡的位置（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，其距离地面的高度为，影长，求路灯灯泡距离地面的高度． 19．古树名木是保护物种资源、维护自然界生态平衡的主角，也是民族文化的重要标志物．小君利用假期测量了被列为全国仅存的5株5000岁古柏之一的老君柏（如图1）的高度．如图2，小君在地面上的点C处测得老君柏顶端A的仰角；小君在地面上的点D处竖立一根高为2米的标杆（即米），在同一时刻的阳光下，老君柏和标杆在地面上的影子长度分别为、，米，米．已知，，点B、C、D、F在一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你求出老君柏的高度． 20．综合与实践 主题：利用投影生成轴对称图形． 素材：一根5米长的木棍倾斜固定在半空，点A离地面高度为4米，点A，B之间的水平宽度为4米．如图（1），白天的某一时刻，阳光下（图中虚线为太阳光线）木棍在地面上投影为．如图（2），点B的正上方有一路灯P，夜晚在路灯P的照射下木棍在地面上的投影为． 【问题解决】 (1)如图（1），测得米，为验证木棍，投影线，投影线，影长组成的四边形是轴对称图形，请你帮助证明：． (2)如图（2），发现木棍，投影线，投影线，影长组成的四边形也是轴对称图形，请求出路灯P距地面的高度． 21．【数学思考】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息： (1)太阳光下形成的投影属于 ；（填“平行投影”或“中心投影”）； (2)在图中画出在阳光下的投影； (3)求立柱的长． 22．阅读材料，解决问题． 通常，路灯、手电筒……的光线可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所形成的影子称为中心投影．某学习小组利用竹竿开展“投影”为主题的综合实践活动． 如图，在同一平面内，线段，表示两根垂直于水平地面的竹竿，它们在点光源下的影子分别为线段和，线段表示平行于地面并可移动的水平竹竿． (1)在所给的图形中，确定光源的位置，用点表示；画出水平竹竿在地面的影子，用线段表示． (2)在光源的照射范围内，移动竹竿，其影长的变化情况是：向左平移时的影长___________，向下平移时的影长___________．（填“变小”“变大”或“不变”） (3)已知竹竿的长度为2米，光源到地面的距离为5米．设与地面的距离为米，影长为米，求关于的函数关系式． 23．在乡村道路建设中，为了方便村民夜间出行，市政部门在道路边安装了路灯．如图，某条道路上安装路灯的路面比旁边农田的地面高（即），在路灯的照射下，路基在农田地面上留下的影长为，已知点E、P、Q在同一直线上，于点B，于点P，． (1)此光源下形成的投影属于_______；（填“平行投影”或“中心投影”） (2)求路灯的高度． 【强化训练】 1．如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知图片长为，若点光源O到胶片的距离长为，点光源O与屏幕的距离的长为，则影像长为（    ） A．36 B．12 C．9 D．6 2．小华拿着两根长度相等的圆柱形木棍在阳光下做投影实验，这两根木棍在地面形成的投影可能是（    ）． A． B． C． D． 3．如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为（    ） A．①③②④ B．④②①③ C．④②③① D．②④①③ 4．如图所示，小颖由点处径直走到路灯正下方点处，她在灯光照射下的影长与行走路程之间的变化关系用图象表示大致是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在灯光的正下方，它在地面上形成的影子是，平行于地面，且到的距离和与地面的距离相等，已知在中，，下面关于的说法，其中正确的是（   ） A．的面积为 B．的周长为 C． D． 6．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，在一次手影游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为4米，在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应减少______米． 7．如图，点O为正方体的中心，点E为面的中心，点F为的中点，则空间四边形在该正方体的面上的正投影可能是__________________（填出所有可能的序号）． 8．一个圆锥的旋转轴垂直于投影面时，其正投影的面积为．若当旋转轴平行于投影面时，其正投影的面积为，则圆锥的侧面积为_______． 9．【问题情境】通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影子称为中心投影． (1)画图操作：如图①，三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为．确定光源O的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． (2)【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为______； (3)【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 10．学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿、、，垂足分别为、、，两根竹竿之间的距离均为米（米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿、的影子分别为、，如图和图的示意图．请解决下列问题： （）反映平行投影的情形图是______，反映中心投影的情形图是______；（填“图”或“图”） 【画图操作】 （）结合图中的影子、画出表示竹竿的影子及光源； 【数学思考】 （）在（）中，小明从点向右沿地面走，经过光源的正下方沿直线走到点，小明的影长随小明与点之间的距离的变化而变化，那么表示与之间函数关系的图象大致为______． A． B． . C． D． 【解决问题】 （）在图中，学习小组经测量：竹竿米，竹竿米，竹竿米，竹竿、的影长米，求竹竿的影长． 11．【问题情境】学习了投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如下图，在同一时刻，身高为1.6m的小明（AB）的影子BC的长是3m，而小颖（EH）刚好在路灯灯泡的正下方点H处，并测量． (1)【实践探究】 请确定路灯灯泡所在的位置G． (2)【问题解决】 求路灯灯泡的垂直高度GH． (3)【拓展探究】 ①如果小明沿线段BH向小颖（点H）走去，当小明走到BH的中点处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处时，求其影子的长； ②按①中的规律继续走下去，当小明走剩下路程的到处时，其影子的长为________m（直接用含n的代数式表示）． 12．为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决： (1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $