第1章 06 利用空间向量的坐标运算解决距离问题（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量坐标运算解决距离问题，涵盖点到直线、点到平面等多种距离求法。课堂导入先回顾空间向量长度公式，再通过要点回顾构建从基础到应用的知识支架，衔接前后内容。 其亮点是结合防错口诀强化公式记忆，知识辨析深化距离转化关系，典例解析示范坐标法与公式法应用。通过数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）培养，帮助学生形成转化思想，提升解题规范性，教师可借助结构化内容提高教学效率。

第一章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 06 利用空间向量的坐标运算解决距离问题 方法技巧 第1讲　描述运动的基本概念 1.空间向量长度的坐标表示 (1)设a=(a1,a2,a3),则|a|= = . (2)若A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则|AB|=| |= . 2.空间距离的向量求法 (1)直线外一点到直线的距离:如图①,u为直线l的单位方向向量,P∉l,A∈l, =a, 在直线l上的投影向 量为 ,则 =(a·u)u,在Rt△APQ中,由勾股定理,得PQ= = . (2)平面外一点到平面的距离:如图②,设平面α的法向量为n,P∉α,A∈α,PQ⊥α, 在直线l上的投影向量 为 ,则点P到平面α的距离即为PQ= . 第1讲　描述运动的基本概念 (3)其他距离 ①两平行直线之间的距离:在其中一条直线上取定一点,将所求转化为直线外一点到直线的距离. ②两异面直线a,b之间的距离:如图③,在a,b上分别取点A,B,求出与a,b的方向向量都垂直的向量n,则  在向量n上的投影向量的长度即为异面直线a,b之间的距离d,即d= . ③平行的线面、面面间的距离:转化为平面外一点到平面的距离.             第1讲　描述运动的基本概念 防错口诀    平方和,要开方,缺少根号不是长. 知识剖析     投影向量的方向 向量a在向量b上的投影向量可能与向量b同向,可能与向量b反向,也可能为0,它的方向取决于<a,b>的取 值范围. 知识辨析     若平面α∥平面β,平面α,β间的距离为d1,平面α内某条直线到平面β的距离为d2,平面α内某点到平面β的距 离为d3,则d1,d2,d3有何关系? 答案    d1=d2=d3. 提示    平行平面间的距离可以转化为平面内一条直线到另一平面的距离,也可转化为平面内一点到另 一平面的距离. 第1讲　描述运动的基本概念 1.用向量法求距离问题的两种思路 (1)转化为求向量模的问题: 过已知点作已知直线或已知平面的垂线段,利用待定系数法求出垂足的坐标,然后通过已知点坐标及垂 足坐标求出表示此距离的向量的模,这是求各种距离的通法. (2)直接套用相关公式求解: 根据【要点回顾】中的公式进行求解. 2.用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立恰当的空间直角坐标系; (2)求直线的单位方向向量u的坐标,计算所求点与直线上某一点所构成的向量a的坐标; (3)利用公式d= 计算点到直线的距离. 第1讲　描述运动的基本概念 3.用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立恰当的空间直角坐标系,写出(求出)相关点的坐标; (2)求出平面的一个法向量n,找出从已知点出发的平面的任意一条斜线段对应的向量u; (3)由d= 计算可得点到平面的距离. 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 1.将求距离问题转化为求向量模的问题,在实际解题时可能有一定的转化难度,所以还是要熟记【要点 回顾】中最基本的求解公式. 2.公式像“快捷电梯”,公式一摆,坐标往里一代,可快速出结果,需注意记清公式,活学活用. 3.求直线到平面(或两平面之间)的距离的前提是线面(或面面)平行,求解时可在直线上(或其中一个平 面上)找到一点,然后将问题转化为求该点到平面的距离.点要选取适当,以方便求解为主. 名师支招     在三棱锥中可用等体积法求点到平面的距离. 第1讲　描述运动的基本概念 典例　已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点. (1)求点D到平面PEF的距离; (2)求直线AC到平面PEF的距离. 思路点拨　第(2)问中涉及的线与面平行,可转化为求点到平面的距离,故两问都是求平面外一点到平 面的距离,有两种思路.思路一:作点到平面的垂线段DH,AH',利用空间向量基本定理,结合垂线段对应向 量与平面PEF内两不共线向量的数量积为零求得 , 的坐标,求模即可;思路二:分别求出 , 及 平面PEF的法向量的坐标,然后代入距离公式求解. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:(1)依题意建立如图所示的空间直角坐标系,  　　　     则D(0,0,0),P(0,0,1),A(1,0,0),E ,F , ∴ = , = , =(0,0,1), = , = . 作DH⊥平面PEF,垂足为H,连接DE,DF,则由空间向量基本定理可得 =x +y +z =  ,其中x+y+z=1.① 第1讲　描述运动的基本概念 易知 · =x+ y+  -z= x+y-z=0,②  · =  + x+y-z=x+ y-z=0.③ 由①②③解得x=y= ,z= . ∴ = ,∴| |= . ∴点D到平面PEF的距离为 . (2)易知AC∥平面PEF,∴直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离. 设AH'⊥平面PEF,垂足为H',则 ∥ . 由(1)知 = ,∴可设 =λ(2,2,3)=(2λ,2λ,3λ)(λ≠0),连接EH',则 = + = +(2λ, 第1讲　描述运动的基本概念 2λ,3λ)= . 易知 · =4λ2+4λ2-λ+9λ2=0,∴λ= . ∴ = ,∴| |= . ∴直线AC到平面PEF的距离为 . 解法二:(1)由解法一建立的空间直角坐标系知 = , = , = . 设平面PEF的法向量为n=(x,y,z), 则 即  第1讲　描述运动的基本概念 令x=2,则y=2,z=3,∴n=(2,2,3). ∴点D到平面PEF的距离为 = = . (2)易知AC∥平面PEF,∴直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离. 由解法一建立的空间直角坐标系知 = . 由(1)知平面PEF的一个法向量为n=(2,2,3). ∴点A到平面PEF的距离为 = = .∴直线AC到平面PEF的距离为 . 解后反思　建立空间直角坐标系是利用空间向量解决距离问题的关键,实际解题时若垂直关系不明显 或不易找到时,可根据几何体的特征来作垂直. 第1讲　描述运动的基本概念 $