第1章 03-1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量的坐标与空间直角坐标系，从平面向量坐标运算过渡，通过题组一坐标概念、题组二坐标运算等构建知识支架，帮助学生逐步掌握空间向量的表示、运算及应用。 其亮点在于分层设计基础与提升题组，结合多地检测实例，以数学思维中的推理能力分析共线共面问题，用数学语言精准表达坐标关系，助力学生提升空间观念与应用意识，也为教师提供系统教学资源。

第一章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 1.1 空间向量及其运算 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　空间向量的坐标 1.[教材习题改编]已知{e1,e2,e3}是单位正交基底,下列说法正确的是 ( ) A.若p=2e1-e2+3e3,则p=(2,1,3) B.若q=-e1+2e2,则q=(-1,2) C.若r=e1+3e2-e3,则r=(1,3,-1) D.若s=-3e2,则s=(0,0,-3)     C     解析　由空间向量的坐标的概念可知p=(2,-1,3),q=(-1,2,0),r=(1,3,-1),s=(0,-3,0). 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025山东青岛第五十八中学检测]已知{a,b,c}是空间向量的一组基底,{a+b,a-b,c}是空间向量的另外 一组基底,若一向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为 ( ) A. 　　    B.  C. 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　依题意可知p=a+2b+3c. 设向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z), 则p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc, 由空间向量基本定理可得 解得  故p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　空间向量坐标的运算 3.[2025湖北孝感高中协作体期中]已知向量 =( ,0,1), = ,则 -3 =( ) A.(0,6,5)　　     B.(0,6,-5) C.(2 ,5,-5)　　    D.(-2 ,5,-5)     B     解析     -3 =( ,0,1)-3 =(0,6,-5). 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026河北保定部分高中联考]已知向量a=(-1,2,-3),b=(2,1,2),则向量a在向量b上的投影向量的坐标是  ( ) A.(-4,-2,-4)　　     B.(2,-4,6)　　     C. 　　    D.      D     解析　因为a=(-1,2,-3),b=(2,1,2),所以a·b=-2+2-6=-6,|b|= =3, 则向量a在向量b上的投影向量为 ·b=- b,其坐标为 . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025山东滨州邹平第二中学质量检测]已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(4,5,λ),若a,b,c共面,则实数λ的值 为 ( ) A.6　　    B.5　　     C.4　　    D.3     B     解析　若a,b,c共面,则存在实数x,y,使c=xa+yb,即(4,5,λ)=x(2,-1,3)+y(-1,4,-2)=(2x-y,-x+4y,3x-2y),所以  解得  第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026山西晋中部分学校月考]在空间直角坐标系中,A(1,-2,3),B(0,2,4),若点M在线段AB上,且AM=2MB, 则点M的坐标为_________. 解析　由A(1,-2,3),B(0,2,4),得 =(-1,4,1).设M(x,y,z),由AM=2MB,得 =  ,即(x-1,y+2,z-3)= (-1,4,1), 则 解得  即M . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题 7.[2026辽宁抚顺期中]若在△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k的值为 ( ) A. 　　    B.- 　　    C.2 　　    D.±      D     解析　由题意得 =(-6,1,2k), =(-3,2,-k). ∵∠C=90°,∴ ⊥ ,∴ · =-6×(-3)+1×2+2k×(-k)=-2k2+20=0,∴k=± . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026河南青桐鸣大联考]已知空间向量a=(2,m,1),b=(2,4,n)共线,m,n∈R,则m+n= ( ) A.3　　    B.4　　    C.5　　    D.6     C     解析　由题意知,存在实数λ,使得b=λa,故  故 故m+n=5. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026辽宁大连滨城高中联盟月考]已知空间中三点A(2,1,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),设a= ,b= . (1)若|c|=3,且c∥ ,求向量c的坐标; (2)已知向量ka+b与b互相垂直,求实数k的值. 解析    (1)由题意得 =(2,1,-2). ∵c∥ ,∴设c=m =(2m,m,-2m),m∈R, ∴|c|= =3|m|=3,∴m=±1, 故c=(2,1,-2)或c=(-2,-1,2). (2)由题意得a= =(-1,-2,0),b= =(1,-1,-2), ∴ka+b=(1-k,-1-2k,-2).∵向量ka+b与b互相垂直, ∴(ka+b)·b=1-k+1+2k+4=0,解得k=-6. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　利用空间向量的坐标运算解决夹角、模(长度)的问题 10.[2026山东济宁第三中学质量检测]设x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-2,2),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=  ( ) A.2 　　    B. 　　    C.3　　    D.4     B     解析　因为a⊥c,所以a·c=0,即2x-2+2=0,解得x=0,所以a=(0,1,1). 因为b∥c,所以 = ,解得y=-1,所以b=(1,-1,1),所以a+b=(1,0,2),所以|a+b|= = . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026辽宁朝阳建平高级中学月考]若a=(x,2,0),b=(3,2-x,x2),且a与b的夹角为钝角,则实数x的取值范围 是 ( ) A.x>4　　    B.x<-4　　    C.0<x<4　　    D.-4<x<0     B     解析　由题意可知,a·b=3x+2(2-x)<0,且a,b不共线,所以x<-4. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2025四川遂宁大英中学月考]已知空间中三点A(-2,0,8),P(m,m,m),B(4,-4,6),若向量 与 的夹角为 60°,则实数m= ( ) A.1　　    B.2　　    C.-1　　    D.-2     B     解析　∵A(-2,0,8),P(m,m,m),B(4,-4,6), ∴ =(-2-m,-m,8-m), =(4-m,-4-m,6-m). 由题意得cos 60°=  = = , ∴m2-4m+4=0,∴m=2. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2025广东汕头河溪中学期中]已知空间中三点A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1). (1)求向量 与 的夹角; (2)若( -k )⊥( +k ),求实数k的值; (3)求△ABC的面积. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)易得 =(0,3,3), =(-1,1,0), 所以cos< , >=  = = , 所以向量 与 的夹角为60°. (2)易得 -k =(k,3-k,3), +k =(-k,3+k,3). ∵( -k )⊥( +k ), ∴( -k )·( +k )=0,即k×(-k)+(3-k)×(3+k)+3×3=0,解得k=3或k=-3. (3)由(1)得| |=3 ,| |= ,A=60°, ∴S△ABC= | || |sin A= ×3 × × = . 第1讲　描述运动的基本概念 题组五　空间直角坐标系及其应用 14.[2025安徽阜阳太和中学月考]在空间直角坐标系中,已知点A(2,-1,1),B(1,1,2),若点C与点B关于zOx平 面对称,则| |= ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      A     解析　因为点C与点B关于zOx平面对称, 所以C(1,-1,2),所以 =(-1,0,1), 所以| |= = . 第1讲　描述运动的基本概念 15.[多选题][2026山东日照实验高级中学阶段性考试]在空间直角坐标系中,O为坐标原点,点P的坐标为 (2,-2,1),则 ( ) A.点P到点O的距离是3 B.点P关于x轴对称的点的坐标是(-2,-2,1) C.点P关于点(1,1,1)对称的点的坐标是(2,1,3) D.点P关于xOy平面对称的点的坐标是(2,-2,-1)     AD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,OP= =3,故A正确; 对于B,点P关于x轴对称的点的坐标是(2,2,-1),故B错误; 对于C,设点P关于点(1,1,1)对称的点的坐标是(x,y,z),则 解得 即对称点的坐标为(0,4,1), 故C错误; 对于D,点P关于xOy平面对称的点的坐标是(2,-2,-1),故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 16.[2026福建厦门大学附属科技中学月考]空间一点P在xOy平面上的射影为M(2,4,0),在zOx平面上的射 影为N(2,0,7),则点P关于x轴对称的点的坐标为_________________.     (2,-4,-7)     解析　由题意可得点M与点P的横、纵坐标相同,点N与点P的横、竖坐标相同,则点P的坐标为(2,4,7), 所以点P关于x轴对称的点的坐标为(2,-4,-7). 第1讲　描述运动的基本概念 17.在三棱锥P-ABC中,∠ABC=90°,PB⊥平面ABC,AB=BC=PB=2,M,N分别是PC,AC的中点,建立如图所 示的空间直角坐标系,则线段MN的中点的坐标为_________.   解析　由题意可得A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),因为M,N分别是PC,AC的中点,所以M(0,1,1),N(1,1,0),所以 线段MN的中点的坐标为 . 第1讲　描述运动的基本概念 18.[2026辽宁本溪高级中学期中]已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AB1⊥BC1,点O,O1分别是AC,A1C1的 中点,建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求正三棱柱的侧棱长; (2)求 与 夹角的余弦值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设正三棱柱的侧棱长为h(h>0). 由题意得A(0,-1,0),B( ,0,0),C(0,1,0),B1( ,0,h),C1(0,1,h),则 =( ,1,h), =(- ,1,h).因为AB1⊥BC1, 所以 · =-3+1+h2=0,解得h= (负值舍去),故正三棱柱的侧棱长为 . (2)由(1)可知 =( ,1, ), =(- ,1,0), 所以 · =-3+1=-2,| |= ,| |=2, 所以cos< , >= =- . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 1.1 空间向量及其运算 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　空间向量坐标的应用 1.[多选题][2026安徽A10联盟月考]已知空间向量a=(2,-1,3),b=(-6,λ,μ),c=(1,2,v),其中a∥b,a⊥c,则  ( ) A.|a|= 　　    B.λ-μ=12 C.v=1　　     D.(a+b)·c=-2 AB     解析　由a=(2,-1,3)得|a|= = ,故A正确; 因为a∥b,a=(2,-1,3),b=(-6,λ,μ),所以 = = ,解得λ=3,μ=-9,所以λ-μ=12,故B正确; 因为a=(2,-1,3),c=(1,2,v),且a⊥c,所以2-2+3v=0,解得v=0,故C错误; 由B可知b=(-6,3,-9),则a+b=(-4,2,-6),又c=(1,2,0),故(a+b)·c=(-4,2,-6)·(1,2,0)=0,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025山东泰安期中]已知点P(1,2,3)沿着向量v=(-1,2,2)的方向移动到点Q,且PQ=6,则点Q的坐标为  ( ) A.(0,0,-1)　　    B.(3,-2,-1) C.(-1,6,7)　　    D.(-2,4,4)     C     解析　设Q(x,y,z), =λv(λ>0),则(x-1,y-2,z-3)=λ(-1,2,2)=(-λ,2λ,2λ). 因为PQ=6,所以 =6,解得λ=2或λ=-2(舍去), 所以(x-1,y-2,z-3)=(-2,4,4),解得x=-1,y=6,z=7,所以点Q的坐标为(-1,6,7). 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026山东济南第三中学质量检测]设O为坐标原点,向量 =(1,2,3), =(2,1,2), =(1,1,2),点Q在直线 AP上运动,则当 · 取得最小值时,| |= ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     解析　∵点Q在直线AP上运动,∴可设 =λ ,λ∈R,即 =λ( - )=(0,λ,λ), ∴ = + =(0,λ,λ)+(1,-1,-1)=(1,λ-1,λ-1), ∴ · =0×1+λ×(λ-1)+λ×(λ-1)=2λ2-2λ= - , ∴当λ= 时, · 取得最小值- ,此时 = , ∴| |= = . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025浙江9+1高中联盟期中]设空间两个单位向量 =(m,n,0), =(0,n,p)与向量 =(1,1,1)的夹角都 等于 ,则cos∠AOB= ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为向量 为单位向量,所以 =1,所以m2+n2=1①. 因为向量 与向量 的夹角为 ,所以cos = ,即 = ,所以m+n=  ②. 联立①②,得m= ,n= 或m= ,n= . 同理,由单位向量 与向量 的夹角为 ,得n= ,p= 或n= ,p= . 易得cos∠AOB= = =n2, 当n= 时,n2= ;当n= 时,n2= ,所以cos∠AOB= . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025辽宁锦州期末质量检测]记空间中的一些点构成的集合为A,原点为O,且对任意P1,P2,P3∈A,都存 在不全为零的实数x,y,z,使得x +y +z =0,若(1,1,1)∈A,则下列结论可能成立的是 ( ) A.(1,0,1)∈A,且(1,0,-1)∈A B.(0,0,1)∈A,且(2,2,3)∈A C.(1,2,1)∈A,且(2,2,3)∈A D.(3,2,1)∈A,且(1,0,1)∈A     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,设P1(1,1,1),P2(1,0,1),P3(1,0,-1), 假设存在不全为零的实数x,y,z,使得x +y +z =0, 即x(1,1,1)+y(1,0,1)+z(1,0,-1)=(0,0,0), 则 解得 与假设矛盾,故A错误; 对于B,设P1(1,1,1),P2(0,0,1),P3(2,2,3), 假设存在不全为零的实数x,y,z,使得x +y +z =0,即x(1,1,1)+y(0,0,1)+z(2,2,3)=(0,0,0), 则 令z=-1,则x=2,y=1,满足假设,故B正确; 对于C,设P1(1,1,1),P2(1,2,1),P3(2,2,3), 假设存在不全为零的实数x,y,z,使得x +y +z =0,即x(1,1,1)+y(1,2,1)+z(2,2,3)=(0,0,0), 第1讲　描述运动的基本概念 则 解得 与假设矛盾,故C错误; 对于D,设P1(1,1,1),P2(3,2,1),P3(1,0,1), 假设存在不全为零的实数x,y,z,使得x +y +z =0,即x(1,1,1)+y(3,2,1)+z(1,0,1)=(0,0,0), 则 解得 与假设矛盾,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[易错题][2026天津滨海新区大港一中检测]已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),若向量a+kb与2a+b所成的角 为锐角,则实数k的取值范围为_________________. 解析　易得a+kb=(1-k,1,2k),2a+b=(1,2,2). 由题意得(a+kb)·(2a+b)>0且a+kb,2a+b不共线, ∴1-k+2+4k>0,且 = = 不成立,解得k>-1且k≠ ,∴实数k的取值范围为 . 易错警示　注意不要忘记排除两向量同向共线的情形. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025安徽合肥第一中学期中]已知空间内四点A(0,2,3),B(1,4,6),C(1,5,5),D(0,3,n). (1)若向量k - 与 互相垂直,求实数k的值; (2)求以AB,AC为邻边的平行四边形的面积; (3)若点D在平面ABC上,求实数n的值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)易得 =(1,2,3), =(1,3,2),所以k - =(k-1,2k-3,3k-2). 因为向量k - 与 互相垂直,所以k-1+3(2k-3)+2(3k-2)=0,解得k= . (2)由(1)得 =(1,2,3), =(1,3,2). 设向量 , 的夹角为θ,则cos θ= = ,所以sin θ= , 所以平行四边形的面积为2× | |×| |×sin θ= × × =3 . (3)因为点D在平面ABC上,所以A,B,C,D四点共面,所以 , , 共面,所以存在λ,μ∈R,使得 =λ + μ . 由(1)得 =(1,2,3), =(1,3,2),又 =(0,1,n-3),所以(0,1,n-3)=λ(1,2,3)+μ(1,3,2)=(λ+μ,2λ+3μ,3λ+2μ),即  解得  第1讲　描述运动的基本概念 题组二　空间直角坐标系的应用 8.[2026辽宁省实验中学月考]在△ABC中,AB=4,BC=AC=2 ,P为空间中一动点,则( + )· 的最小 值是 ( ) A.-2　　    B.-2 　　    C.-3　　    D.-4     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为在△ABC中,AB=4,BC=AC=2 ,所以AC2+BC2=AB2,所以△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°. 以C为原点,CA所在直线为x轴,CB所在直线为y轴,过C点且垂直于△ABC所在平面的直线为z轴,建立如 图所示的空间直角坐标系, 所以A(2 ,0,0),B(0,2 ,0),C(0,0,0).设P(x,y,z),则 =(2 -x,-y,-z), =(-x,2 -y,-z), =(-x,-y,-z),故(  + )· =(2 -2x,2 -2y,-2z)·(-x,-y,-z)=(2 -2x)·(-x)+(2 -2y)·(-y)+(-2z)·(-z)=2x2-2 x+2y2-2 y+2z2= 2 +2 +2z2-2, 所以当且仅当x= ,y= ,z=0时,( + )· 取得最小值,为-2. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025重庆实验外国语学校期中]如图所示的几何体由半圆柱体与直三棱柱构成,半圆柱体底面直径 BC=4,AB=AC,∠BAC=90°,D为半圆弧的中点,若cos< , >= ,则该几何体的体积为( )   A.16+8π　　    B.32+16π C.32+8π　　    D.16+16π     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,设D在底面半圆上的射影为D1,连接AD1,交BC于点O,连接A1D,交B1C1于点O1. 依题意知AD1⊥BC,A1D⊥B1C1,O,O1分别是下底面、上底面半圆的圆心,则OA⊥OB,连接OO1,则OO1与 上、下底面垂直,所以OO1⊥OB,OO1⊥OA. 以O为原点,OB,OA,OO1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设该几何体的高为h(h>0),则B (2,0,0),D(0,-2,h),A(0,2,0),B1(2,0,h),所以 =(-2,-2,h), =(2,-2,h). 所以cos< , >= = = ,即 = ,所以h=4(负值舍去).所以该几何体的体积 为 ×π×22×4+ ×4×2×4=16+8π. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026山东青岛超银高级中学月考]在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC= ,AB=AC=AA1=1,G,E分别为A1 B1,CC1的中点,D,F分别为线段AC,AB上的动点(不包括端点),若 ⊥ ,则| |的取值范围为 ( ) A. 　　     B.  C. 　　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　根据题意,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,   ∵AB=AC=AA1=1,G,E分别为A1B1,CC1的中点, ∴G ,E . 设D(0,y,0),F(x,0,0),其中x,y∈(0,1), 则 = , = . 第1讲　描述运动的基本概念 ∵ ⊥ ,∴ · =0,即- x-y+ =0,即x=1-2y,又∵0<x<1,∴0<1-2y<1,∴0<y< . 易得 =(x,-y,0),∴| |= = =  ,∴当y= 时,| |min=  = ;当y=0时,| |=1;当y= 时,| |= ,故| |的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[多选题][2026河北廊坊八中月考]如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,点P在侧面BCC1B1上 运动,并且总是保持AP⊥BD1,则下列结论正确的是( )   A. =  B.点P必在线段B1C上 C.AP⊥BC1 D.AP∥平面A1C1D     BD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　∵点P在侧面BCC1B1上运动,平面BCC1B1∥平面AA1D1D,∴点P到平面AA1D1D的距离即为点C到 平面AA1D1D的距离,即为正方体的棱长,∴ =  ·CD= × ×1×1×1= ,故A中结论错误. 以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,   则A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),C(0,1,0),∴ =(-1,-1,1), =(-1,0,-1). 设P(x,1,z)(0≤x≤1,0≤z≤1),则 =(x-1,1,z). 第1讲　描述运动的基本概念 ∵AP⊥BD1,∴ · =1-x-1+z=0,∴x=z, ∴P(x,1,x),∴ =(x,0,x),∴ =-x ,即B1,P,C共线,∴点P必在线段B1C上,故B中结论正确. 易知C1(0,1,1),∴ =(-1,0,1),又 =(x-1,1,x),∴ · =1-x+x=1≠0,∴AP与BC1不垂直,故C中结论错误. 易知A1(1,0,1),D(0,0,0),∴ =(-1,1,0), =(1,0,1),又 =(x-1,1,x),∴ =x +  (0≤x≤1),∴ , ,  共面,又AP⊄平面A1C1D,∴AP∥平面A1C1D,故D中结论正确. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2025重庆永川中学月考]在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,侧棱AA1⊥底面ABCD,AB =1,AA1= ,E为线段AB上的一个动点,则D1E+CE的最小值为( ) A.2 　　    B. 　　     C. +1　　    D.2+      B     解析　根据题意,建立如图1所示的空间直角坐标系Axyz,则D1(0,1, ),C(1,1,0). ∵E为线段AB上的一个动点,∴设E(t,0,0)(0≤t≤1), 则D1E= = ,CE= , 故问题转化为求y= + (0≤t≤1)的最小值,即转化为求平面直角坐标系tOy中的一个动点 (t,0)(记为P)与两定点(0,-2)(记为M),(1,1)(记为N)的距离之和的最小值问题,如图2所示: 第1讲　描述运动的基本概念 由图2可知,当M,P,N三点共线时,  =MN= = , 故 = . 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026河南南阳四校联考]已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1,其内部或表面上存在一点P满足 ·  = · =0,则∠ABP的取值范围为 ( ) A. 　　    B. 　　     C. 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　第一步:建系,确定点P的坐标满足的条件. 依题意,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),   设P(x,y,z),x,y,z∈[0,2],AB的中点为O1,AA1的中点为O2,则O1(2,1,0),O2(2,0,1),连接O1P,O2P,由 · =0得 AP⊥BP,则PO1= AB=1,即(x-2)2+(y-1)2+z2=1①, 同理由 · =0,可得PO2=1, 即(x-2)2+y2+(z-1)2=1②, 联立①②,整理得  第1讲　描述运动的基本概念 故有y=z,则x2+2y2-4x-2y+4=0. 第二步:计算向量夹角的余弦值. 易得 =(x-2,y-2,z), =(0,-2,0),  =(x-2)2+(y-2)2+z2=x2+2y2-4x-4y+8=-2y+4, 故cos< , >= = = = · , 第三步:结合参数的范围得到余弦值的范围,从而得到角的范围. 由②可得y∈[0,1], 故cos< , >= · ∈ , 故∠ABP∈ . 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　空间直角坐标系的类比转化 14.[2026广东佛山南海桂城中学段考]空间中,两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系, 如果坐标系中有两条坐标轴不垂直,那么这样的坐标系称为“空间斜坐标系”.现有一种空间斜坐标 系,其中任意两条数轴的夹角均为60°,我们将这种坐标系称为“空间斜60°坐标系”.类比空间直角坐标 系,定义:在“空间斜60°坐标系”下,i,j,k分别为三条坐标轴(x轴、y轴、z轴)正方向上的单位向量,若向 量n=xi+yj+zk,则n与有序实数组(x,y,z)相对应,称向量n的斜60°坐标为[x,y,z],记作n=[x,y,z]. (1)若a=[1,2,3],b=[-1,1,2],求a+b的斜60°坐标; (2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=3,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,如图,以{ , ,  }为基底建立“空间斜60°坐标系”. ①若 = ,求向量 的斜60°坐标; 第1讲　描述运动的基本概念 ②若 =[2,t,0],且 ⊥ ,求| |. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵a=[1,2,3],b=[-1,1,2], ∴a+b=(i+2j+3k)+(-i+j+2k)=3j+5k=[0,3,5], ∴a+b的斜60°坐标为[0,3,5]. (2)设i,j,k分别为与 , , 同方向的单位向量,则 =2i, =2j, =3k,cos<i,j>=cos<j,k>=cos<i,k>= cos 60°= . ①由题意得E为BB1的中点. 连接AD1,AE,则 = - =( + )- =- + +  =-2i+2j+ k= , ∴ 的斜60°坐标为 . ②由题意得 = + + =2i+2j+3k, ∵ =[2,t,0],∴ =2i+tj, 第1讲　描述运动的基本概念 由 ⊥ 得 · =(2i+tj)·(2i+2j+3k)=0, ∴4i2+2tj2+(4+2t)i·j+6k·i+3tk·j=0, ∴4+2t+ (4+2t)+3+ =0,解得t=-2, 则| |=|2i-2j|= = = =2. 第1讲　描述运动的基本概念 $