第1章 05 利用空间向量的坐标运算解决夹角问题（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量坐标运算解决夹角问题，涵盖异面直线、线面、面面角的向量求法。课堂导入从回顾空间向量夹角公式切入，衔接向量坐标运算基础，通过表格对比不同空间角的范围与求法，搭建从公式到应用的学习支架。 其亮点是知识辨析与直观类比结合，如用“打开的书”类比法向量夹角与二面角关系，培养数学眼光。典例解析以正三棱柱为例，分步演示坐标法求三种角，体现数学思维的逻辑性。表格化呈现求法，语言精确，助力学生系统掌握，教师可高效开展教学。

第一章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 05 利用空间向量的坐标运算解决夹角问题 高频考点 第1讲　描述运动的基本概念 1.空间向量夹角的坐标表示:若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则cos<a,b>= = (a≠0, b≠0). 2.空间角的向量求法:设直线l1,l2的方向向量分别为u,v,平面α,β的法向量分别为n1,n2,则 第1讲　描述运动的基本概念 空间角 图形表示 范围 向量求法 异面直线l1,l2所成的角θ   0°<θ≤90° cos θ=|cos<u,v>|=  直线l1与平面α所成的角 θ   0°≤θ≤90° sin θ=|cos<u,n1>| =  第1讲　描述运动的基本概念 平面α与平面β所成的角 θ   0°≤θ≤90° cos θ=|cos<n1,n2>| =  第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析     1.两平面所成的角与这两平面形成的二面角有什么关系? 2.两平面所成的角与两平面的法向量的夹角有何关系? 答案    1.两平面相交会形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于 的二面角称为平面与平面所 成的角.两平面所成的角的取值范围为 ,而这两平面形成的二面角的取值范围为[0,π]. 2.两平面所成的角等于两平面的法向量的夹角或其补角. 特别提醒    若题目要求的是平面α与平面β形成的二面角θ,则用cos θ=cos<n1,n2>或cos θ=cos(π-<n1,n2>) 求解. 第1讲　描述运动的基本概念 1.利用空间向量求两异面直线夹角的方法 (1)基底法.在一些不适合建立坐标系的题目中,我们经常采用取定基底的方法.在由公式cos<a,b>=  求向量a与b的夹角时,一般是把a,b用同一组基底表示出来,再根据运算性质求解. (2)坐标法.用坐标法求异面直线夹角的一般步骤如下: ①建立恰当的空间直角坐标系; ②用坐标表示异面直线的方向向量; ③利用向量的夹角公式计算两条异面直线的方向向量的夹角; ④结合异面直线的夹角的范围得到异面直线的夹角. 第1讲　描述运动的基本概念 2.利用空间向量求直线与平面所成的角的方法与步骤 (1)求出直线的方向向量及其在平面内的投影的方向向量,将直线与平面的夹角转化为两个方向向量的 夹角(或其补角)进行计算. (2)利用坐标法求直线与平面所成的角θ的一般步骤:   第1讲　描述运动的基本概念 3.利用空间向量计算平面与平面所成的角的常用方法 (1)找法向量:分别找出或求出两个平面的法向量,然后通过求两个平面的法向量的夹角得到平面与平 面所成的角. (2)找与棱垂直的直线的方向向量:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直的两条直线的方向向 量,然后通过求这两个方向向量的夹角得到平面与平面所成的角. 第1讲　描述运动的基本概念 名师点睛     求空间角的关注点: 1.原理:空间向量的夹角公式. 2.方法:基底法、坐标法. 3.注意点: (1)由于两异面直线所成的角θ的范围是 ,而两直线方向向量的夹角α的范围是[0,π],所以cos θ=|cos α|. (2)要注意线面角与平面的法向量和直线的方向向量的夹角间的关系,记准线面角用正弦,直线方向向 量与平面法向量的夹角用余弦. (3)二面角的范围与两平面所成的角的范围不同. 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 法向量夹角与二面角“谁是谁”分不清时,记住二面角是“面与面形成的角或其补角”,法向量夹角是 “向量与向量形成的角”,二者要么相等,要么互补,可拿“打开的书”和两支笔作类比,直观感知是锐 角还是钝角,从而进行对应. 第1讲　描述运动的基本概念 典例　如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为a,M是A1B1的中点,求: (1)直线A1C1与AM所成角的余弦值; (2)直线B1B与平面AMC1所成角的正弦值; (3)二面角M-AC1-A1的余弦值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    如图,过点A1在平面A1B1C1内作A1P⊥A1C1, 因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱, 所以A1P,A1A,A1C1两两互相垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,   则A1(0,0,0),B1 ,C1(0,a,0),M ,A(0,0,a), 所以 =(0,a,-a), = , =(0,a,0), = . (1)设直线A1C1与AM所成的角为α, 第1讲　描述运动的基本概念 则cos α=|cos< , >|= = , 故直线A1C1与AM所成角的余弦值为 . (2)设平面AMC1的法向量为n1=(u,v,w), 则 即 取v=1,得n1=( ,1,1), 直线B1B的一个方向向量为 = =(0,0,a), 设直线B1B与平面AMC1所成的角为θ, 则sin θ=|cos< ,n1>|= = ,所以直线B1B与平面AMC1所成角的正弦值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 (3)易知平面AA1C1的一个法向量为(1,0,0)(记为n2),则cos<n1,n2>= = = , 由图可知二面角M-AC1-A1是锐二面角, 所以二面角M-AC1-A1的余弦值为 . 名师指导　若两个法向量都指向二面角的外部或内部,则该二面角等于两法向量的夹角的补角;若两个 法向量中一个指向二面角的外部,另一个指向二面角的内部,则该二面角等于两法向量的夹角. 第1讲　描述运动的基本概念 $