第1章 02 数量积在求长度和夹角中的应用（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量数量积在求长度和夹角中的应用，从空间向量的模、夹角定义切入，通过向量化、拆解向量等方法构建解题步骤，结合典例衔接前后知识，形成完整学习支架。 其亮点在于以“特别提醒”“名师点睛”强化概念辨析，通过二面角、平行六面体等典例培养数学思维，公式推导与结论呈现体现数学语言表达。助力学生提升推理与运算能力，为教师提供清晰教学路径与实例支撑。

第一章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 02 数量积在求长度和夹角中的应用 重难点 第1讲　描述运动的基本概念 1.与空间向量有关的长度和夹角 (1)空间向量的模:空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. (2)空间向量的夹角:已知两个非零向量a,b,在空间内任取一点O,作 =a, =b,则大小在[0,π]内的∠ AOB叫做向量a,b的夹角,记作<a,b>. (3)两异面直线的夹角:两异面直线的夹角常转化为两直线方向向量的夹角来求,注意异面直线所成的 角为锐角或直角,与向量夹角的范围不同. 第1讲　描述运动的基本概念 2.空间向量的数量积 数量积 a·b=|a||b|cos<a,b> 运算律 (λa)·b=λ(a·b),λ∈R;a·b=b·a(交换律);(a+b)·c=a·c+b·c(分配律) 性质和 应用 若a,b为非零向量,则 a⊥b⇔a·b=0;a·a=|a||a|cos <a,a>=|a|2,即|a|= ;cos<a,b>= ;|a·b|≤|a||b| 第1讲　描述运动的基本概念 特别提醒    对于向量的夹角:向量方向别搞反,箭头指向很关键.起点不同先平移,共点才能算夹角.牢记 范围0到π,钝角锐角要辨对:夹角最小0同向,夹角最大π反向,钝角数量积为负,且余弦值不等-1. 名师点睛     1.数量积是标量,计算结果是数字而不是向量. 2.两个向量数量积的运算不满足消去律(a·b=a·c⇒/b=c)和乘法的结合律((a·b)·c≠a·(b·c)). 第1讲　描述运动的基本概念 1.利用数量积求长度 用向量法求两点间的距离或线段的长度的步骤如下: (1)向量化:找出两点连线(或此线段)的对应向量a; (2)拆解:用其他已知夹角和模的向量表示向量a; (3)先自乘再开方:计算a2,利用|a|= 可得所求距离或长度. 2.利用数量积求向量的夹角或异面直线所成的角 (1)求两个空间向量的夹角的两种方法 ①定义法:结合图形平移向量,利用空间向量夹角的定义来求,但要注意向量夹角的范围为[0,π]. ②公式法:不妨假设两个空间向量分别为a,b,先求a·b,再利用公式cos<a,b>= 求cos<a,b>,最后确定< 第1讲　描述运动的基本概念 a,b>. (2)用向量法求两异面直线的夹角 ①取向量:在两直线上分别取方向向量a,b; ②运算:求向量a,b夹角的余弦值,即cos<a,b>= ; ③结论:设两异面直线的夹角为θ,则cos θ=|cos<a,b>|,进而得到θ. 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 做题时一般都需要将目标向量进行拆解,拆解时优先考虑已知条件中涉及的向量.拆解后计算长度时一 般是先自乘(平方)再开方,参考公式:|a±b|= = ;拆解后计算数量积时,参考公式:(a +b)·(c+d)=a·c+a·d+b·c+b·d.这些复杂的向量数量积的运算可类比“多项式乘法”进行展开,但要注意向 量之间的“·”不要忘写. 第1讲　描述运动的基本概念 典例1　如图,二面角α-l-β等于120°,A,B是棱l上两点,BD,AC分别在半平面α,β内,AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC= BD=2,则CD= ( )   A.2 　    B.2 　    C.4　    D.2     C     思路点拨　分析题干信息→拆解 →平方再开方. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　由二面角的平面角的定义知< , >=60°,∴ · =| || |cos< , >=2×2×cos 60°=2, 由AC⊥l,BD⊥l,A,B是棱l上两点,得 · =0, · =0, 又 = + + ,∴ =( + + )2= + + +2 · +2 · +2 · =22+22+22+2×0 +2×2+2×0=16, 因此| |=4,即CD=4. 名师点睛　利用向量法求解空间中的两点之间的距离或线段的长度,“向量化”后合理拆解向量是关 键步骤,进行正确的数量积运算是保障. 第1讲　描述运动的基本概念 典例2　如图,在棱长均为2的平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,设 =e1, =e2, =e3.点P,Q分别为线段AD '与线段CC'的中点. (1)用e1,e2,e3表示向量 与 ; (2)设e1与e3,e2与e3的夹角均为60°,且 在 上的投影向量的模为3 . (i)求e1与e2的夹角θ的正弦值; (ii)求直线AQ与直线BP所成角的余弦值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中, = , = = . 连接AC,易知 = + = + =e1+e2, =  =  = e3,故 = + =e1+e2+ e3.  = + =- +  =- + ( + )=- + ( + )=-e1+ e2+ e3. (2)(i)根据题意,可得|e1|=|e2|=|e3|=2,e1·e3=|e1||e3|cos 60°=2×2× =2,e2·e3=|e2||e3|·cos 60°=2×2× =2. 由 在 上的投影向量的模为3 , 可得 =3 . 又 · =(e1+e2+e3)·(e1+e2)= +e1·e3+e2·e3= +e1·e3+e2·e3= +2+2= +4,(关键点:将所得 条件式表示为只含有| |的等式) 第1讲　描述运动的基本概念 所以 =3 ,解得| |=2 或| |= . 由于 =e1+e2,所以 = = + +2|e1||e2|cos θ=8+8cos θ, 当| |=2 时,解得cos θ=0,此时sin θ= =1; 当| |= 时,解得cos θ=- ,此时sin θ= = . 综上,e1与e2的夹角θ的正弦值为1或 . (ii)由(1)得 =e1+e2+ e3, =-e1+ e2+ e3,则 · = · -e1+ e2+ e3 = - e1·e2+  + e2·e 3+  = -2cos θ,  = = +(e1+e2)·e3+  = +e1·e3+e2·e3+  = +5, 第1讲　描述运动的基本概念  = = +  +  -e1·e2-e1·e3+ e2·e3=5-4cos θ. 设直线AQ与BP所成的角为φ. 当| |=2 时,cos θ=0, · = ,| |= ,| |= , 此时cos φ= = = ; 当| |= 时,cos θ=- , · =2,| |= ,| |=2 , 此时cos φ= = = . 综上,直线AQ与直线BP所成角的余弦值为 或 . 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示　异面直线所成角的范围为 ,其余弦值恒为非负值.利用向量夹角求解异面直线所成的 角时,若结果为非负值则直接下结论,若为负值则要取相反数. 第1讲　描述运动的基本概念 $