第1章 03 空间向量基本定理的应用（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量基本定理的应用，先回顾定理及基底概念，通过“定基底-找目标”步骤构建学习支架，衔接向量表示与立体几何中线面关系、夹角距离等问题的解决。 其亮点是以正四面体典例为载体，用基底法将空间向量运算转化为基向量运算，体现数学思维与数学语言。解析详细，助学生形成逻辑推理能力，教师可借结构化内容提升教学效率。

第一章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 03 空间向量基本定理的应用 高频考点 第1讲　描述运动的基本概念 1.空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a,b,c不共面,那么对空间中的任意一个向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得 p=xa+yb+zc. 2.基底 如果空间中的三个向量a,b,c不共面,则它们的线性组合xa+yb+zc能生成所有的空间向量,这时a,b,c组成 空间向量的一组基底,记为{a,b,c},其中a,b,c都称为基向量;表达式xa+yb+zc称为向量a,b,c的线性组合或 线性表达式. 3.注意: (1)空间向量的基底不唯一,任意三个不共面的向量都可以构成空间向量的一组基底,但是当基底选定 第1讲　描述运动的基本概念 之后,空间中的所有向量均由该基底唯一表示. (2)因为0与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以若三个向量不共面,则隐含着它们都 不为0,所以基底要选不共面、非零的向量来组成,共面、零向量全排除. (3)一组基底是指一个向量组,而一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念. (4)对于某一空间向量,选用的基底不同时它的表达式通常是不同的. 第1讲　描述运动的基本概念 1.用基底表示空间向量 (1)定基底: 根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底,一般选共起点的三个向量,有时也选首尾 相接的三个向量,选择时尽量考虑长度与夹角已知的向量. (2)找目标: 用所确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则(目标向量与已知 向量不共线)、数乘运算(目标向量与已知向量共线),结合相等向量的代换等进行变形、化简,最后求出 结果. 2.用基底法解决立体几何问题 应用空间向量基本定理把目标向量用确定的基底表示出来,然后通过向量运算解决立体几何中的线面 第1讲　描述运动的基本概念 关系及与夹角、距离(长度)有关的问题,其中证明线面(或面面)垂直、线面(或面面)平行的关键是转化 为证明线线垂直、线线平行. (1)若证明线线垂直,则只需证明两方向向量的数量积为0. (2)若证明线线平行,则只需证明两方向向量共线. (3)若要求两异面直线所成的角,则转化为求两方向向量的夹角(或其补角). (4)若要求距离(长度),则转化为求向量的模. 第1讲　描述运动的基本概念 特别提醒 1.做题时若没有给出基底,则要合理选择基底来表示目标向量,一般选共起点的向量作基底. 2.利用空间向量的一组基底{a,b,c}表示空间中的所有向量时,表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含 有其他形式的向量. 勘破疑难 1.利用基底法解决距离(长度)问题,实质是求目标向量的模,可对目标向量进行自乘再开方,自乘时可类 比多项式的平方公式进行,参考公式:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c. 2.利用基底法解决线线垂直和异面直线所成角的问题,需要计算两向量的数量积,类比多项式乘多项式 进行展开即可. 第1讲　描述运动的基本概念 典例　如图,在棱长为1的正四面体A-BCD中,E是线段CD的中点,O在线段BE上,且 =2 .设 =a,  =b, =c,以{a,b,c}为基底,用向量法解决下列问题: (1)用基底表示向量 ; (2)证明:AO⊥平面BCD.   思路点拨    (1)利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则运算即可. (2)要证AO⊥平面BCD,只需证明AO垂直于平面BCD内的两条相交直线BC,BD即可.先用基底表示出  , ,再计算 · , · . 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)连接AE.  = + = +   = + ( - )=  +   =  + × ( + ) =  +  +   = a+ b+ c. (2)证明:由题意知,a2=b2=c2=1,a·b=b·c=c·a= , =b-a, =c-a. ∵ · = (a+b+c)·(b-a) = (a·b-a2+b2-b·a+c·b-c·a)=0, 第1讲　描述运动的基本概念 ∴AO⊥BC. ∵ · = (a+b+c)·(c-a) = (a·c-a2+b·c-b·a+c2-c·a)=0, ∴AO⊥BD. ∵BC,BD⊂平面BCD,且BC∩BD=B, ∴AO⊥平面BCD.(利用线面垂直的判定定理证明线面垂直) 解后反思　所有空间向量的运算都可以转化为基向量的运算,因此利用基底法解决立体几何中的线面 关系问题的本质是用基向量表示线线对应的目标向量,然后转化为基向量间的运算. 第1讲　描述运动的基本概念 $