第1章 09-专题专项练-专题强化练2 利用空间向量研究空间中的角（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何，核心内容为利用空间向量研究空间角，通过折叠、旋转体等问题导入，连接平面几何与立体几何，搭建从向量基础到空间角计算的学习支架。 其亮点是以各地检测题为例，通过建立空间直角坐标系和向量运算，培养学生用数学眼光观察空间形式、用数学思维推理逻辑关系，用数学语言表达空间关系。如第1题分析折叠中角的变化，提升学生空间观念和运算能力，教师可借助丰富例题高效教学。

第一章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 专题专项练 专题强化练2 利用空间向量研究空间中的角 第1讲　描述运动的基本概念 1.[2026广东佛山顺德检测]如图,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,BC上的动点,且AE=BF,AC与EF交 于点G,EF从AB向CD滑动,但与AB和CD均不重合.在EF任一确定位置,将四边形EFCD沿直线EF折起,使 平面EFCD⊥平面ABFE,则随着EF的滑动,下列说法中错误的是( ) A.∠AGC的大小不会发生变化     D     B.AC与EF所成的角先变小后变大 C.AC与平面ABFG所成的角变小 D.二面角G-AC-B先变大后变小 第1讲　描述运动的基本概念 解析　以E为原点,EA,EF,ED所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,   设AB=1,AE=a(0<a<1),则E(0,0,0),A(a,0,0),C(0,1,1-a),G(0,a,0),F(0,1,0),B(a,1,0). 对于A, =(-a,a,0), =(0,a-1,a-1), 则|cos∠AGC|= = = , 故∠AGC的大小不会发生变化,所以A中说法正确. 第1讲　描述运动的基本概念 对于B, =(-a,1,1-a), =(0,1,0), 设AC与EF所成的角为θ,则cos θ= = = , 易知当a∈(0,1)时,2a2-2a+2的值随a的变大先变小后变大,所以cos θ先变大后变小,所以AC与EF所成的 角先变小后变大,故B中说法正确. 对于C,易知平面ABFG的一个法向量m=(0,0,1), 设AC与平面ABFG所成的角为β,则sin β=|cos< ,m>|= = =  =  = . 第1讲　描述运动的基本概念 当a∈(0,1)时,a+ 的值随a的变大而变小,所以sin β随a的变大而变小,所以AC与平面ABFG所成的角随a 的变大而变小,故C中说法正确. 对于D,设平面AGC的法向量为n=(x1,y1,z1), 则  令x1=1,则n=(1,1,-1). 设平面ACB的法向量为p=(x2,y2,z2), 又 =(0,1,0), =(a,0,a-1), 故  第1讲　描述运动的基本概念 令z2=a,则p=(1-a,0,a), 所以|cos<n,p>|= =  = × = × , 设二面角G-AC-B的平面角为α,则α为钝角, 所以cos α=- × . 因为当a∈(0,1)时,2a2-2a+1的值随a的变大先变小后变大,所以cos α随a的变大先变大后变小,故二面角G -AC-B先变小后变大,故D中说法错误. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026辽宁大连滨城高中联盟月考]如图,该几何体是由正方形ABCD沿直线AB旋转90°得到 的,已知点G是圆弧CE的中点,点H是圆弧DF上的动点(含端点),则 ( )   A.存在点H,使得CH⊥平面BDG B.存在点H,使得平面AHE∥平面BDG C.存在点H,使得直线EH与平面BDG所成角的余弦值为  D.存在点H,使得平面BDG与平面CEH所成的锐二面角的余弦值为      ABC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　根据题意,可将该几何体补全为一个正方体ADMF-BCNE,建立如图所示的空间直角坐标系,   设正方体的棱长为2,则A(0,0,0),B(0,0,2),C(2,0,2),D(2,0,0),E(0,2,2),F(0,2,0),G( , ,2). 设H(2cos α,2sin α,0) . 对于A,假设存在点H,使得CH⊥平面BDG. 易得 =(2cos α-2,2sin α,-2), =(-2,0,2), =( , ,0), 第1讲　描述运动的基本概念 所以  所以 因为0≤α≤ ,所以α= ,即当点H与点F重合时,CH⊥平面BDG,故A正确. 对于B,由A可知,CF⊥平面BDG,所以平面BDG的一个法向量为 =(2,-2,2). 假设存在点H,使得平面AHE∥平面BDG,则CF⊥平面AHE,又AH,AE⊂平面AHE,所以CF⊥AH,CF⊥AE. 易得 =(2cos α,2sin α,0), =(0,2,2), 所以 所以tan α=1, 因为0≤α≤ ,所以α= ,即当点H为 的中点时,平面AHE∥平面BDG,故B正确. 对于C,由A可知,平面BDG的一个法向量为 =(2,-2,2). 第1讲　描述运动的基本概念 假设存在点H,使得直线EH与平面BDG所成角的余弦值为 ,则直线EH与平面BDG所成角的正弦值为  = ,又 =(2cos α,2sin α-2,-2), 所以|cos< , >|=  = = = , 整理可得3sin 2α-4sin α+3=0. 因为函数f(α)=3sin 2α-4sin α+3在α∈ 时的图象是连续的,且f(0)=3>0,f =-4+3=-1<0,所以存在α0 ∈ ,使得f(α0)=0, 第1讲　描述运动的基本概念 所以存在点H,使得直线EH与平面BDG所成角的余弦值为 ,故C正确. 对于D,设平面CEH的法向量为n=(x,y,z), 易得 =(-2,2,0), =(2cos α-2,2sin α,-2), 所以  取x=1,得n=(1,1,sin α+cos α-1). 假设存在点H,使得平面BDG与平面CEH所成的锐二面角的余弦值为 ,由A可知,平面BDG的一个法向 量为 =(2,-2,2),则|cos<n, >|= = = , 所以(sin α+cos α-1)2=1,即sin α+cos α-1=±1,所以sin α+cos α=0或sin α+cos α=2. 第1讲　描述运动的基本概念 因为α∈ ,所以 ≤α+ ≤ ,所以 ≤sin ≤1,所以sin α+cos α= sin ∈[1, ],故当 α∈ 时,方程sin α+cos α=0和sin α+cos α=2均无解. 综上所述,不存在点H,使得平面BDG与平面CEH所成的锐二面角的余弦值为 ,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025山西大学附属中学校月考]在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为棱BB1上一点,且B1P=2PB, Q为正方形BB1C1C内一动点(含边界),则D1Q= 且D1Q与平面A1PD所成的角最大时,线段A1Q的长度为 _________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　以D1为原点,D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则A1(1,0,0),D (0,0,1),C1(0,1,0),D1(0,0,0),P ,所以 =(-1,0,1), = .   设平面A1PD的法向量为m=(a,b,c), 则 取c=3,得m=(3,-2,3). 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,D1C1⊥平面BCC1B1,又C1Q⊂平面BCC1B1,所以D1C1⊥C1Q, 第1讲　描述运动的基本概念 所以C1Q= = = , 所以点Q的轨迹是以C1为圆心, 为半径的圆弧,其圆心角为 . 设Q(x,1,z) ,则 =(x,0,z),所以| |= = ,即x2+z2= . 设D1Q与平面A1PD所成的角为θ,又 =(x,1,z), 所以sin θ=|cos<m, >|= = = , 又(x+z)2≤2(x2+z2)=1,当且仅当x=z= 时,等号成立,所以x+z≤1,即x=z= 时,D1Q与平面A1PD所成的角最 大,此时Q , 所以A1Q= = . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026北京第一六一中学期中]羡除是《九章算术》中记载的一种五面体.如图,五面体ABCDEF中,四 边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形,其中EF∥AD∥BC,AD=4,EF=BC=AB=2,ED= ,M为AD的中 点,平面BCEF与平面ADEF交于EF.从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知,使得羡除 ABCDEF能够确定,然后解答下列问题. 条件①:平面CDE⊥平面ABCD; 条件②:平面ADEF⊥平面ABCD; 条件③:EC=2 . (1)求证:BM∥平面CDE; (2)求二面角B-AE-F的余弦值; (3)在线段AE上是否存在点Q,使得MQ与平面ABE所成角的正弦值为 ?若存在,求出 的值;若不存 第1讲　描述运动的基本概念 在,请说明理由.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:因为M是AD的中点,AD=4,所以MD=2,所以MD=BC.又MD∥BC,所以四边形BCDM为平 行四边形,所以BM∥CD.又BM⊄平面CDE,CD⊂平面CDE,所以BM∥平面CDE. (2)选①:连接AC,作CS⊥AD于点S,则DS=1,AS=3,CS= ,AC=2 .连接ES,同理可得AE=3 . 因为AC2+CD2=AD2,所以AC⊥CD. 因为平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE∩平面ABCD=CD,AC⊂平面ABCD,所以AC⊥平面CDE. 又EC⊂平面CDE,所以AC⊥EC, 所以EC2=AE2-AC2=6,故EC= ,所以ED2=EC2+DC2,所以EC⊥DC. 以C为坐标原点,CD,CA,CE所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图1所示的空间直角坐标系, 第1讲　描述运动的基本概念   则A(0,2 ,0),B(-1, ,0),E(0,0, ),F(-1, , ),M(1, ,0),所以 =(-1,- ,0), =(0,-2 , ), =(-1,-  , ), =(1,- ,0). 设平面BAE的法向量为p=(a,b,c), 则  第1讲　描述运动的基本概念 取c=1,得p= . 设平面AEF的法向量为q=(x,y,z), 则  取y=1,得q=( ,1, ). 因为p·q=- + + =0, 所以二面角B-AE-F的余弦值为0. 选②:取BC的中点N,EF的中点P,连接MP,MN,则MN⊥AD,PM⊥AD. 因为平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,PM⊂平面ADEF,所以PM⊥平面ABCD. 以点M为坐标原点,MN,MD,MP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图2所示的空间直角坐标系, 第1讲　描述运动的基本概念   则A(0,-2,0),B( ,-1,0),E(0,1,3),M(0,0,0), 所以 =(- ,-1,0), =(0,3,3). 设平面BAE的法向量为n=(d,e, f), 则  令d= ,则e=-3, f=3,所以n=( ,-3,3). 第1讲　描述运动的基本概念 易知平面AEF的法向量m=(-1,0,0). 所以cos<m,n>= =- . 由图可知,二面角B-AE-F为钝二面角, 所以二面角B-AE-F的余弦值为- . 选③:取MD的中点G,连接CG,EG,则EG⊥AD,CG⊥AD. 因为EC=2 ,EG=3,CG= ,所以EC2=EG2+CG2,所以EG⊥CG,易得平面ADEF⊥平面ABCD. 以下解法同选②. (3)选①:设 =λ =(0,-2 λ, λ),λ∈[0,1],则 = + =(-1,-2 λ+ , λ). 由题意得|cos< ,p>|= = = ,解得λ= ,均不满足题意,故 第1讲　描述运动的基本概念 不存在满足题意的点Q. 选②或③:设 =λ =(0,3λ,3λ),λ∈[0,1],则 = + =(0,3λ-2,3λ). 由题意得|cos< ,n>|= = = ,解得λ= ,均不满足题意,故不存在满足 题意的点Q. 第1讲　描述运动的基本概念 $