第2章 17-2.6.1 双曲线的标准方程（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教B版）

该高中数学课件聚焦“双曲线及其方程”，涵盖定义、标准方程及应用，通过圆与圆外切问题导入双曲线定义，衔接椭圆知识，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于结合高考真题与实际问题，如单叶双曲面建筑、焦点三角形计算，以数学眼光观察现实，用数学思维推理（如定义与余弦定理结合），用数学语言表达（方程推导）。创新题型如旁切圆结合，助学生提升解题与应用能力，教师教学更高效。

第二章 平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 2.6 双曲线及其方程 2.6.1 双曲线的标准方程 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　双曲线的定义及其应用 1.[2026广东八校联盟质检]与圆x2+y2=4及圆x2+y2-8x-6y+24=0都外切的圆的圆心在 ( ) A.一个椭圆上　　    B.双曲线的一支上 C.一条直线上　　    D.一个圆上     B     解析　圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径r1=2,记O1(0,0).圆x2+y2-8x-6y+24=0可化为(x-4)2+(y-3)2=1,其圆心为 (4,3),半径r2=1,记O2(4,3). 设所求圆的圆心为P,半径为r,由题意可知|PO1|=r+2,|PO2|=r+1,则|PO1|-|PO2|=1<|O1O2|,故由双曲线的定义 可知,所求圆的圆心的轨迹为双曲线的一支. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025河南驻马店环际大联考期中]已知双曲线C: - =1的左焦点为F,点P在双曲线C的右支上,M为 线段FP的中点,若M到坐标原点O的距离为6,则|PF|= ( ) A.6或18　　    B.18　　    C.8或20　　    D.22     B     解析　设双曲线的右焦点为F',连接PF'.   ∵M为线段FP的中点,O为线段FF'的中点,∴|PF'|=2|OM|=12. 由双曲线的定义得|PF|-|PF'|=2a=6,所以|PF|=18. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025江苏泰州期中]已知双曲线C: -y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l与双曲线C的右支交 于A,B两点,若|AB|=2,则△ABF1的周长为 ( ) A.12　　    B.14　　    C.10　　    D.8     A     解析　由双曲线的定义得|AF1|-|AF2|=|BF1|-|BF2|=4, 又|AF2|+|BF2|=|AB|=2, 所以△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|-|AF2|+|BF1|-|BF2|+2|AB|=4+4+4=12. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025山东多校期中]已知F1,F2分别是双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为C上一点,PF1⊥PF 2,且△F1PF2的面积为4,则b= ( ) A. 　　    B.2　　    C.2 　　    D.4     B     解析　由题意得 = |PF1|·|PF2|=4,所以|PF1|·|PF2|=8.因为PF1⊥PF2,所以|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,所以(|PF1|-| PF2|)2+2|PF1|·|PF2|=4c2,所以4a2+16=4c2,即a2+4=c2,又c2=a2+b2,所以b2=4,所以b=2. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026山西天一大联考期中]已知双曲线 - =1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上且 位于第一象限,若直线PF2的斜率为 ,则△PF1F2的内切圆的面积为 ( ) A.4π　　    B.6π　　    C.12π　　    D.16π     C     解析　由题意知F1(-5,0),F2(5,0),|PF1|-|PF2|=6. 如图,设△PF1F2的内切圆为圆C,且与线段PF1,PF2,F1F2分别相切于点D,E,G,   则|PD|=|PE|,|F1D|=|F1G|,|F2G|=|F2E|, 第1讲　描述运动的基本概念 所以|F1G|-|F2G|=|F1D|-|F2E|=(|F1D|+|PD|)-(|F2E|+|PE|)=|PF1|-|PF2|=6,所以G(3,0), 从而可知内切圆的圆心C在直线x=3上. 因为直线PF2的斜率为 ,所以其倾斜角为60°, 又CF2平分∠PF2F1,所以直线CF2的倾斜角为120°,所以其方程为y=- (x-5), 将x=3代入,得y=2 ,即C(3,2 ),所以|CG|=2 ,即圆C的半径为2 ,可得圆C的面积为12π. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　双曲线的标准方程 6.[2026广东深圳期中]若方程 - =1表示双曲线,则m的取值范围为 ( ) A.-3<m<2　　    B.m<-3或m>2　　     C.m<-3　　     D.m>2     A     解析　由方程 - =1表示双曲线,得(2-m)(3+m)>0,解得-3<m<2,所以m的取值范围为-3<m<2. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025吉林通化辉南第六中学月考]以椭圆 + =1的长轴的端点为焦点,且过椭圆的焦点的双曲线的 标准方程为 ( ) A. - =1　　    B. - =1 C. - =1　　    D. - =1     C     解析　易得椭圆 + =1的长轴的两个端点为(5,0),(-5,0),两个焦点为(4,0),(-4,0),所以双曲线的两个焦 点为(5,0),(-5,0),与坐标轴的交点为(4,0),(-4,0), 所以双曲线的焦点在x轴上,且c=5,a=4,所以b2=c2-a2=9,所以双曲线的标准方程为 - =1. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026陕西宝鸡金台质检]与椭圆C: + =1共焦点且过点P(2, )的双曲线的标准方程为 ( ) A. - =1　　    B. - =1　　     C. - =1　　    D. - =1     C     解析　因为椭圆C的焦点为(± ,0),即(±3,0),所以c=3,记F1(-3,0),F2(3,0), 所以||PF1|-|PF2||=| - |=2 =2a, 所以a= ,所以b= = , 所以双曲线的标准方程为 - =1. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2024辽宁锦州渤海大学附属高级中学月考,]已知双曲线的一个焦点为F1(- ,0),点P在该双曲线上,线 段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的标准方程是 ( ) A. - =1　　    B.x2- =1 C. - =1　　    D. -y2=1     B     解析　设双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0),易知c= ,又c2=a2+b2,所以b2=5-a2,所以 - =1.因 为线段PF1的中点坐标为(0,2),F1(- ,0),所以点P的坐标为( ,4).将( ,4)代入双曲线方程,得 - = 1,解得a2=1或a2=25(舍去),所以双曲线的标准方程为x2- =1. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[易错题][2026河北衡水中学期中]已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2 相外切,则动圆圆心M的轨迹方程是( ) A. -x2=1　　     B.x2- =1 C. -y2=1(x≥1)　　    D.x2- =1(x≤-1)     D     解析　设动圆M的半径为r,则|MC1|=r+1,|MC2|=r+3. 又|C1C2|=6,所以|MC2|-|MC1|=2<|C1C2|, 所以动圆圆心M的轨迹是以C1(-3,0),C2(3,0)为焦点的双曲线的左支. 易得c=3,a=1,所以b=2 ,所以动圆圆心M的轨迹方程是x2- =1(x≤-1). 易错警示　如果定义表达式不带绝对值,那么表示的是双曲线的一支,写方程时要注明自变量的取值范 围. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026江苏常州高级中学期中] - =4表示的曲线的标准方程为 ( ) A. - =1(x≤-2)　　    B. - =1(x≥2) C. - =1(y≤-2)　　    D. - =1(y≥2]     C     解析　易知 - =4表示动点(x,y)(记为P)到(0,3)与(0,-3)两点的距离之差等于4,又 两个定点(0,3),(0,-3)间的距离大于4,所以根据双曲线的定义可知,动点P在双曲线上,且a=2,c=3,所以b2=3 2-22=5,由焦点在y轴上,得双曲线的方程为 - =1,又因为P(x,y)到点(0,3)的距离比到点(0,-3)的距离大, 所以y≤-2,即曲线的标准方程为 - =1(y≤-2). 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026山东潍坊期中]已知圆A:(x+2)2+y2=r2,P(x,y)在圆A上运动,点B(2,0),线段PB的垂直平分线l与直线 AP相交于点C.当r=6时,点C的轨迹方程为_____________;当r=2时,点C的轨迹方程为______________.     x2- =1          + =1     解析　当r=6时,如图1所示, |CA|+|CB|=|CA|+|CP|=|AP|=6>|AB|=4, 所以点C的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,且2a1=6,2c1=4,则a1=3,c1=2,b1= = , 所以其标准方程为 + =1.  　      第1讲　描述运动的基本概念 当r=2时,如图2所示, ||CA|-|CB||=||CA|-|CP||=|AP|=2<|AB|=4, 所以点C的轨迹是以A,B为焦点的双曲线,且2a2=2,2c2=4,则a2=1,c2=2,b2= = , 所以其标准方程为x2- =1. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[教材习题改编]根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)与双曲线 - =1有相同的焦点,且经过点(3 ,2); (2)过点P ,Q 且焦点在坐标轴上. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)解法一:由题可设所求双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0), 则c2=16+4=20,即a2+b2=20①, ∵双曲线经过点(3 ,2),∴ - =1②. 由①②得a2=12,b2=8, ∴双曲线的标准方程为 - =1. 解法二:设所求双曲线的方程为 - =1(-4<λ<16).∵双曲线经过点(3 ,2), ∴ - =1,解得λ=4或λ=-14(舍去). ∴双曲线的标准方程为 - =1. 第1讲　描述运动的基本概念 (2)解法一:当焦点在x轴上时,设双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0). ∵点P,Q在双曲线上,∴ 此方程组无解. 当焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0). ∵点P,Q在双曲线上,∴ 解得  ∴双曲线的标准方程为 - =1. 解法二:设双曲线的方程为 + =1,mn<0. 第1讲　描述运动的基本概念 ∵点P,Q在双曲线上,∴  解得 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　双曲线的标准方程的应用 14.[多选题][2026河北邢台质检联盟期中]已知α∈ ∪ ,曲线C: + =1,则下列判断正确 的是 ( ) A.C可能为圆 B.C可能为焦点在y轴上的双曲线 C.若C为双曲线,则α∈  D.若C为焦点在x轴上的椭圆,则C的焦距的取值范围为(0,2)     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　当α= 时,sin α=cos α= ,曲线C的方程为x2+y2= ,即曲线C为圆,故A正确. 由α∈ ∪ ,得sin α>0,所以C不可能为焦点在y轴上的双曲线,故B错误. 若C为双曲线,因为sin α>0,所以须使cos α<0,故α∈ ,故C正确. 若C为焦点在x轴上的椭圆,则C的焦距为2 =2 ,sin α>cos α>0,得tan α>1,得α∈  , 所以α- ∈ ,所以sin ∈ , 所以2 ∈(0,2),故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2025江苏南京第二十九中学检测]图1是单叶双曲面(由双曲线旋转形成的立体图形)型建筑,图2是 其中截面最细附近处的部分图形,上、下底面与地面平行.现测得下底面直径|AB|=20 米,上底面直径 |CD|=20 米,AB与CD间的距离为80米,与上、下底面等距离的G处的直径等于CD,则最细部分处的直 径为 ( )        A.10米　　    B.20米　　         B     C.10 米　　    D.10 米 第1讲　描述运动的基本概念 解析　取DC的中点E,EG的中点为O,以O为坐标原点,EG所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示.   易知D(10 ,20),B(10 ,-60). 设双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0), 则 解得 所以  所以最细部分处的直径为2a=20(米). 第1讲　描述运动的基本概念 16.已知A(0,4),双曲线 - =1的左、右焦点分别为F1,F2,点P是双曲线右支上一点,则|PA|+|PF1|的最小 值为 ( ) A.5　　    B.7　　    C.9　　    D.11     C     解析　由双曲线方程得a2=4,b2=5,所以c2=a2+b2=9,所以F1(-3,0),F2(3,0).连接PF2,AF2,如图.   则|PA|+|PF1|=|PA|+2a+|PF2|≥|AF2|+2a= +4=9,当且仅当A,P,F2三点共线且P在A,F2之间 时,等号成立.故|PA|+|PF1|的最小值为9. 第1讲　描述运动的基本概念 17.[2025重庆鲁能巴蜀中学校、育才中学校联考]已知F1,F2分别为双曲线x2- =1的左、右焦点,P为双 曲线上一点,3|PF1|=5|PF2|,则△PF1F2的面积为 ( ) A.8　　    B.6　　    C.3 　　    D.      B     解析　由双曲线的方程,得c2=1+3=4,所以c=2. 因为P为双曲线上一点,3|PF1|=5|PF2|,所以P为双曲线右支上一点. 由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a=2,又|PF2|= |PF1|,所以|PF1|- |PF1|=2,所以|PF1|=5,|PF2|=3.又|F1F2|=4,所 以|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,所以PF2⊥F1F2,所以 = ×3×4=6. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 2.6 双曲线及其方程 2.6.1 双曲线的标准方程 第1讲　描述运动的基本概念 题组　双曲线的方程及其应用 1.[2024辽宁六校协作体联考]双曲线C: - =1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A为双曲线C左支上一 点,直线AF2与双曲线C的右支交于点B,且|AB|=15,∠F1AF2= ,则|AF1|+|AF2|=( ) A. 　　    B.26　　     C.25　　     D.23     B     解析    连接BF1,则|AF2|-|AF1|=|BF1|-|BF2|=2a=10. 令|BF2|=x,则|AF1|=x+15-10=x+5,|BF1|=x+10. 在△ABF1中,cos∠F1AB= = ,即 = ,解得x=3,故|AF1|=8,则|AF2| =18,所以|AF1|+|AF2|=26. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025黑龙江省实验中学期中]已知椭圆C1: + =1(m>2)与双曲线C2: - =1(n>0)有公共的焦点F1, F2,P是C1和C2的一个公共点,则| + |= ( ) A.2 　　     B.2 　　     C.2 　　    D.2      D     解析    由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2 ,∴(|PF1|+|PF2|)2=4m,即|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=4m①. 由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2 ,∴(|PF1|-|PF2|)2=4n,即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4n②. 联立①②,得|PF1|2+|PF2|2=2(m+n). 由椭圆C1的方程得c2=m-2,由双曲线C2的方程得c2=n+2,∴2c2=m+n, ∴|PF1|2+|PF2|2=4c2,又|F1F2|2=4c2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以PF1⊥PF2. ∵原点O为F1F2的中点,∴| + |=|2 |=2| |=2× |F1F2|=2c=2 =2 . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2026重庆大足期中]已知点P是双曲线E: - =1的左支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右 焦点,△PF1F2的面积为20,则下列说法正确的是 ( ) A.点P的横坐标为-  B.△PF1F2的周长为  C.∠F1PF2大于  D.△PF1F2的内切圆半径为      ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由E: - =1可得a=4,b=3,c=5,则双曲线的离心率e= . 对于A,△PF1F2的面积为 ×|F1F2|×|yP|=5|yP|=20,解得|yP|=4,代入 - =1,得|xP|= ,又P在左支上,所以xP< 0,则xP=- ,故A正确; 对于B,由A知P ,又F1(-5,0),故|PF1|= = ,则|PF2|=|PF1|+2a= +8= ,所以△ PF1F2的周长为|F1F2|+|PF1|+|PF2|=10+|PF1|+|PF2|=10+ + = ,故B正确; 对于C,在△PF1F2中,由余弦定理可得,cos∠F1PF2= = = > ,因 为0<∠F1PF2<π,y=cos x在(0,π)上单调递减,所以0<∠F1PF2< ,故C错误; 对于D,设△PF1F2的内切圆半径为r,则 = ×(|F1F2|+|PF1|+|PF2|)r=20,解得r= ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2025重庆鲁能巴蜀中学校期中]已知双曲线C: - =1(b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2 (c,0),直线y=-2(x-c)与双曲线C的右支交于点A,B(其中A位于第一象限),若|AF1|=|AB|,则下列说法正确的 是 ( ) A.cos∠F1F2B=- 　　    B.b=3 C.|AB|= 　　     D.△ABF1的面积为15     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　易得kAB=tan∠AF2x=-2,∠AF2x=∠F1F2B, ∴cos∠F1F2B=cos∠AF2x=- ,故A正确. ∵|AF1|=|AB|,由双曲线的定义得|AF1|-|AF2|=2a, ∴|BF2|=2a=2 ,∴|BF1|=4 . |F1F2|=2c=2 . 在△BF1F2中,由余弦定理得 =- ,解得b2=20(舍去)或b2=4,∴b=2,故B错误. 设|AF2|=x,则|AF1|=x+2 ,在△AF1F2中,由余弦定理得cos∠AF2F1=cos(π-∠AF2x)=-cos∠AF2x= =  ,∴|AF2|=x= , ∴|AB|=|AF2|+|BF2|= +2 = ,故C正确. 第1讲　描述运动的基本概念 ∵cos∠AF2F1= ,∴sin∠AF2F1= , 又|F1F2|=6,∴ = ·|F1F2|·|AF2|·sin∠AF2F1= ×6× × =3, = ·|F1F2|·|BF2|·sin(π-∠AF2F1)= ·|F1 F2|·|BF2|·sin∠AF2F1= ×6×2 × =12, ∴ = + =3+12=15,故D正确.   第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026北京八一学校期末]双曲线具有光学性质:从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射,其 反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.设a>0,若双曲线E: - =1的左、右焦点分别为F1,F 2,从点F2发出的光线经过图中的A,B两点反射后,分别经过点C,D,cos∠BAC=- ,AB⊥BD,则实数a的值为 _________.       3     第1讲　描述运动的基本概念 解析　连接AF1,BF1(图略). 因为cos∠BAC=- ,所以cos∠BAF1= . 因为AB⊥BD, 所以∠ABF1= . 设|AF1|=5t,t>0,则|AB|=3t,|BF1|=4t. 由双曲线的定义得|AF2|=5t-2a,|BF2|=4t-2a,所以5t-2a+4t-2a=3t,解得t= a, 所以|BF1|= a,|BF2|= a. 在Rt△BF1F2中,|BF1|2+|BF2|2=|F1F2|2, 所以 a2+ a2=4c2, 第1讲　描述运动的基本概念 即17a2=9c2, 又b2=8,∴17a2=9(a2+8), 所以a=3. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　三角形的旁切圆与双曲线的结合 6.[2025福建泉州质检]与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切 圆,旁切圆的圆心被称为三角形的旁心,每个三角形都有三个旁心,如图1所示.已知F1,F2分别是双曲线  - =1的左、右焦点,P是双曲线右支上一点,Q是△PF1F2的一个旁心,直线PQ与x轴交于点M,如图2所示, 则 =_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　连接F1Q,F2Q.由三角形旁切圆的定义易知F1Q,F2Q分别平分∠PF1M,∠PF2M, 由角平分线的性质可得 = = , 结合比例的性质及双曲线的定义,得 = = = . 第1讲　描述运动的基本概念 $