第2章 09-2.3.3 直线与圆的位置关系（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教B版）

该高中数学课件聚焦“直线与圆的位置关系”，涵盖位置关系判断、切线问题、弦长计算等核心知识点，通过基础题组导入，衔接圆的方程知识，搭建从概念理解到综合应用的学习支架。 其亮点在于融入实际应用案例（如手机信号监测、公园摄像头监控），培养学生用数学眼光观察现实世界，通过几何法与代数法对比、二级结论总结，发展数学思维与表达能力。题组分层设计帮助学生提升解题逻辑，教师可借助系统题组与方法总结优化教学效率。

第二章 平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 2.3 圆及其方程 2.3.3 直线与圆的位置关系 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　直线与圆的位置关系 1.[2026江西赣州全南中学月考]直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0的位置关系是 ( ) A.相交　　    B.相切 C.相离　　    D.无法判断     C     解析　圆的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=1, ∴圆心为(1,-2),半径r=1. 圆心(1,-2)到直线4x-3y-2=0的距离d= = >r,∴直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0相离. 第1讲　描述运动的基本概念 2.直线x- y+m=0与圆x2+y2=1有两个不同的交点,则实数m的取值范围是 ( ) A.-2≤m≤2　　     B.-2<m<2 C.m<-2或m>2　　    D.m≤-2或m≥2     B     解析　因为圆x2+y2=1与直线x- y+m=0有两个不同的交点,圆心为(0,0),半径为1, 所以圆心到直线的距离小于1,即 <1, 整理得|m|<2,解得-2<m<2. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026吉林四平第一高级中学期中]若直线l:y=kx+1(k<0)与圆C:(x+2)2+(y-1)2=2相切,则直线l与圆D:(x- 2)2+y2=3的位置关系是( ) A.相交　　    B.相切　　    C.相离　　    D.不确定     A     解析 圆C的圆心为(-2,1),半径为 . 因为直线l:y=kx+1(k<0)与圆C:(x+2)2+(y-1)2=2相切,所以 = ,解得k=±1,因为k<0,所以k=-1,所 以直线l的方程为x+y-1=0. 圆D的圆心为(2,0),半径为 ,其圆心到直线l的距离d= = <  ,所以直线l与圆D相交. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2024黑龙江五市联考]已知直线l:x+ky-3k-1=0,若无论k取何值,直线l与圆(x+2)2+(y+1)2=r2(r>0)恒有公 共点,则r的取值范围是( ) A.[5,+∞)　　    B.(3,+∞)　　    C.[4,6)　　    D.[3,5]     A     解析　由x+ky-3k-1=0得(x-1)+k(y-3)=0,故直线l恒过点(1,3). 若直线l与圆(x+2)2+(y+1)2=r2(r>0)恒有公共点,则点(1,3)在圆上或圆内,即(1+2)2+(3+1)2≤r2,又r>0,所以r ≥5. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025福建莆田第十六中学期中]若点M(a,b)在圆x2+y2=r2外,则直线ax+by=r2与圆的位置关系是___ ____. 　相交 解析　因为点M(a,b)在圆x2+y2=r2外,所以a2+b2>r2,所以圆心(0,0)到直线ax+by=r2的距离d= <r,故 直线ax+by=r2与圆相交. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026河北石家庄第四十三中学月考]若圆x2+y2=r2上有且仅有2个点到直线x- y+2=0的距离等于1,则 半径r的取值范围为_____________.     (0,2)     解析　圆x2+y2=r2的圆心为(0,0),半径为r. 易得圆心(0,0)到直线x- y+2=0的距离d= =1,由题意知|r-d|<1,即|r-1|<1,解得0<r<2. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[教材习题改编]已知直线mx-y-m-1=0,圆x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,圆与直线: (1)有两个公共点? (2)只有一个公共点? (3)没有公共点? 第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:将直线方程mx-y-m-1=0代入圆的方程,化简并整理,得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0. 易知Δ=4m(3m+4). (1)当Δ>0,即m>0或m<- 时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点. (2)当Δ=0,即m=0或m=- 时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点. (3)当Δ<0,即- <m<0时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点. 解法二:圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4, 故圆心为(2,1),半径r=2. 设圆心(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离为d, 则d= = . 第1讲　描述运动的基本概念 (1)当d<2,即m>0或m<- 时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点. (2)当d=2,即m=0或m=- 时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点. (3)当d>2,即- <m<0时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026北京第二中学朝阳学校期中]在平面直角坐标系xOy中,已知点M(-2,0),N(1,0),动点P满足 =2. (1)求动点P的轨迹方程; (2)若直线l过点M,且点N到l的距离为1,求l的方程,并判断l与动点P的轨迹的位置关系. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设P(x,y),由 =2得 =2 ,整理得(x-2)2+y2=4. 故动点P的轨迹方程为(x-2)2+y2=4. (2)显然直线l的斜率存在,设其方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0,所以点N到l的距离为 =1,解得k=±  ,所以l的方程为y=± (x+2),即x±2 y+2=0. 圆(x-2)2+y2=4的半径r=2,圆心坐标为(2,0),设为C,则圆心C到l的距离为 = , 因为 <r,所以直线l与动点P的轨迹相交. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　圆的切线问题 9.[多选题][2026江苏泰州靖江斜桥中学月考]已知圆O:x2+y2=4,P(x0,y0)是圆O上的点,直线l:x-y+ =0,则  ( ) A.圆O上恰有3个点到直线l的距离等于1 B.直线l与圆O相交所得弦的长为2  C.过点P的圆O的切线方程是x0x+y0y=2 D.过点P向圆M:(x-3)2+(y-4)2=1引切线,A为切点,则|PA|的最小值为2      ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析    A中,由圆O:x2+y2=4,知圆心为O(0,0),半径r=2, 圆心O到直线l:x-y+ =0的距离d= =1,则d+r=3,|d-r|=1,所以圆O上恰有3个点到直线l的距离等 于1,A正确; B中,结合A可知弦长为2 =2× =2 ,B正确; C中,当直线OP的斜率存在且不为0时,斜率为 ,则切线斜率为- ,此时切线方程为y-y0=- (x-x0),即xx0+ yy0= + =4, 当直线OP的斜率不存在或为0时,切线方程为y=2或x=2,均适合上式, 故过点P的圆O的切线方程是x0x+y0y=4,C错误; D中,由圆M:(x-3)2+(y-4)2=1可知圆心为M(3,4),半径rM=1,则|PA|= = , 所以当|PM|取得最小值时,|PA|取得最小值, 第1讲　描述运动的基本概念 又|PM|≥|OM|-r= -2=3,即|PM|的最小值为3, 当且仅当O,P,M三点共线,且P在O,M之间时取等号,所以|PA|的最小值为2 ,D正确.   第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025吉林通化梅河口第五中学月考]已知点P是直线l:x-2y+6=0上一动点,过点P作圆C:x2+y2-4x=0的 两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB的外接圆的面积的最小值为( ) A.5π　　    B.6π　　    C. 　　    D.      D     解析　易得圆C的圆心为C(2,0),半径为2. 连接PC(图略),易知四边形PACB的外接圆的直径为PC,所以当|PC|最小时,四边形PACB的外接圆的面 积最小,显然,|PC|的最小值为圆心C到直线l:x-2y+6=0的距离,为 = ,所以四边形PACB的外接 圆的半径的最小值为 ,所以四边形PACB的外接圆的面积的最小值为π× = . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2025河北沧州第一中学等校联考]已知点A(-2,0),B(0,-2),点P在圆C:(x-2)2+y2=2上运动,∠PAB的最大 值为α,最小值为β,则sin α+sin β= ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      D     解析　如图,过点A作圆C的两条切线,切点分别为P1,P2,连接CP1,则α=∠P1AB,β=∠P2AB.   易知圆C的圆心为C(2,0),半径为 , 所以|AC|=4,|CP1|= , 第1讲　描述运动的基本概念 设∠P1AC=θ,所以sin θ= ,cos θ= . 易得∠BAC=45°,所以sin α+sin β=sin(45°+θ)+sin(45°-θ)= cos θ= . 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2025河北唐山迁安期中]过点P(2,2)作圆C:x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为_ ___________. x+y-2=0     解析　易知两切点分别为(0,2),(2,0),所以直线AB的方程为 + =1,即x+y-2=0. 考场速决　过圆外一点P(x0,y0)作圆x2+y2=r2的两条切线,则切点弦所在直线的方程为x0x+y0y=r2.由此结论 可知所求直线方程为2x+2y=4,即x+y-2=0. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　圆的弦长问题 13.[2026北京日坛中学月考]直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4交于M,N两点,若|MN|≥2 ,则k的取值范围 为 ( ) A. 　　     B. ∪  C. 　　    D. ∪      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由圆的方程知,圆心为(2,3),半径r=2, 圆心到直线y=kx+3即kx-y+3=0的距离d= , ∵|MN|≥2 ,∴2 =2 ≥2 , (解题关键:利用垂径定理及勾股定理表示出弦长|MN|) 变形整理得4k2+4-4k2≥3k2+3,即k2≤ ,解得- ≤k≤ ,∴k的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 方法点拨　直线与圆相交时的弦长求法 几何 法 利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的 关系:r2=d2+ 解题 代数 法 求出直线与圆的交点坐标,利用两点间的距离公式 计算弦长 弦长 公式 法 设直线y=kx+b与圆的两交点为(x1,y1),(x2,y2),将直线 方程代入圆的方程,消元后得到一个关于x的一元 二次方程,然后利用根与系数的关系得弦长l=  ·|x1-x2|=  第1讲　描述运动的基本概念 14.[2025湖北市级示范高中智学联盟联考]已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=8,直线l:mx+y-m-3=0,若直线l被圆C截 得的弦长的最大值为a,最小值为b,则a+b= ( ) A.4 +2 　　    B.2 +4  C.2 +2 　　    D.2 +      A     解析　直线l的方程可化为m(x-1)+y-3=0,所以直线l过定点(1,3)(记为A).因为(1-3)2+(3-4)2<8,所以点A在 圆C内. 圆C的圆心为C(3,4),半径为2 ,所以当AC⊥l时,直线l被圆C截得的弦长最短,故b=2· =2 ;当 直线l过圆心C时,直线l被圆C截得的弦长最长,故a=4 .所以a+b=4 +2 . 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2025重庆期中]某手机信号检测设备的监测范围是半径为200 m的圆形区域,一名工作人员持手机 以每分钟50 m的速度从设备正东200  m的A处沿西偏北30°方向走向位于设备正北方向的B处,则这 名工作人员被持续监测的时长为 ( ) A.2分钟　　    B.3分钟　　    C.4分钟　　    D.5分钟     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　以设备的位置为坐标原点O,正东、正北方向分别为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则 A(200 ,0),B(0,200),所以直线AB:y=- (x-200 ),即x+ y-200 =0,圆O:x2+y2=40 000,故B在圆上. 记从N处开始被监测,到B处监测结束. 作OO'⊥AB,交AB于点O',所以|OO'|= =100 , 所以|BN|=2 =200, 所以被监测的时长为 =4(分钟). 第1讲　描述运动的基本概念 16.[多选题][2026江西赣州阶段检测]已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=9,直线l:y-1=k(x-3).下列命题正确的有  ( ) A.直线l与圆C可能相切 B.x轴被圆C截得的弦长为2  C.直线l被圆C截得的最短弦长为4 D.若直线l与圆相交于A,B两点,则△ACB的面积的最大值为  BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　直线l:y-1=k(x-3)过定点D(3,1), 因为(3-1)2+(1-2)2<9,所以点D在圆C的内部,所以直线l与圆C相交,故A错误; 令y=0,得(x-1)2=5,解得x=1± ,故x轴被圆C截得的弦长为2 ,故B正确; 圆C的圆心C(1,2),半径为3,|CD|= ,当l⊥CD时,直线l被圆C截得的弦长最小,此时弦长为2 =4,故C 正确; 当l⊥CD,即|AB|最小时,sin∠ACD取得最小值,为 ,因为 < < ,即sin <sin∠ACD<sin ,所以 <∠ ACD< ,故 <∠ACB< ,当直线l过圆心C时,∠ACB=π,因此∠ACB可以取得 ,所以△ACB的面积S= | CA|2sin∠ACB= sin∠ACB≤ ,当且仅当∠ACB= 时取等号,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 二级结论    已知弦AB恒过定点P,且定点P在圆C内,当CP⊥AB时,∠ACB(弦所对的圆心角)最小.若∠ ACB∈[α,π),则当α> 时,(S△ACB)max= R2sin α;当α≤ 时,(S△ACB)max= R2. 第1讲　描述运动的基本概念 17.[2026黑龙江哈尔滨第三中学校月考]已知△ABC的顶点A(-1,1),C(-4,0),线段AB的垂直平分线方程为 2x-y-2=0. (1)求△ABC的外接圆E的标准方程; (2)若直线l过点P(2,0),且与圆E相交所得弦的长为8,求直线l的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题知线段AC的垂直平分线方程为(x+1)2+(y-1)2=(x+4)2+y2,(点拨:垂直平分线上的点到两端 点的距离相等)即3x+y+7=0. 由 得 即E(-1,-4). 又|AE|2=(-1+1)2+(1+4)2=25, 所以△ABC的外接圆E的标准方程为(x+1)2+(y+4)2=25. (2)思路点拨:先用几何法确定圆心到直线l的距离,再分直线l的斜率不存在和存在两种情况,利用点到直 线的距离公式求直线的斜率. 因为直线l与圆E相交所得弦的长为8,所以圆心E到直线l的距离d= =3. 若直线l的斜率不存在,则l的方程为x=2,点E(-1,-4)到直线l的距离为3,故x=2满足题意; 若直线l的斜率存在,可设直线l的方程为y=k(x-2),即kx-y-2k=0. 第1讲　描述运动的基本概念 由 =3⇒k= ,此时直线l的方程为7x-24y-14=0. 综上,直线l的方程为x=2或7x-24y-14=0. 第1讲　描述运动的基本概念 18.[2026江苏盐城东台中学期中]如图,圆x2+y2=8内有一点M(-1,2),AB为过点M的弦,且其所在直线的倾 斜角为α. (1)当α= 时,求AB的长; (2)是否存在弦AB被点M平分?若存在,写出直线AB的方程;若不存在,请说明理由; (3)CD是过点M的另一条弦,当AB与CD始终保持垂直时,求|AB|·|CD|的最大值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当α= 时,kAB=-1,则直线AB的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0, 由圆x2+y2=8的圆心为原点且半径为2 ,得圆心到直线AB:x+y-1=0的距离为 , 所以|AB|=2 = . (2)假设存在弦AB被点M平分. 当弦AB被点M平分时,点M是AB的中点,   连接OA,OB,OM,则|OA|=|OB|,OM⊥AB, 第1讲　描述运动的基本概念 又kOM=-2,所以kAB= ,所以直线AB的方程为y-2= (x+1),即x-2y+5=0. (3)记点O到AB,CD的距离分别为d1,d2,则 + =|OM|2=5,又|AB|=2 ,|CD|=2 , 所以|AB|·|CD|=4 ≤4× =22,当且仅当d1=d2= 时等号成立, 所以|AB|·|CD|的最大值为22. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 2.3 圆及其方程 2.3.3 直线与圆的位置关系 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　直线与圆的位置关系 1.[多选题][2026四川成都新津为明学校期中]已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y+4=0,则下列说法正确的是  ( ) A. 的最大值为  B.x+y的最大值为3+  C.x2+y2的最大值为 +1 D. 的取值范围是[2,4]     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析 方程x2+y2-4x-2y+4=0可化为(x-2)2+(y-1)2=1,其表示的曲线是圆心为(2,1),半径为1的圆. 对于A,设 =k,则直线y=kx(x≠0)与圆有公共点,所以 ≤1,解得0≤k≤ ,所以 的最大值为 ,故A 正确. 对于B,设x+y=a,则直线x+y-a=0与圆有公共点,所以 ≤1,解得3- ≤a≤3+ ,所以x+y的最大值 为3+ ,故B正确. 对于C,x2+y2表示圆上的点(x,y)与点(0,0)的距离的平方,又点(0,0)到圆心(2,1)的距离为 = ,所以  ∈[ -1,  +1],所以6-2 ≤x2+y2≤6+2 ,所以x2+y2的最大值为6+2 ,故C错误. 对于D, 表示圆上的点(x,y)到直线3x+4y+5=0的距离,又圆心(2,1)到直线3x+4y+5=0的距离为  =3,所以3-1≤ ≤3+1,即2≤ ≤4,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026辽宁省实验中学期中]若直线l:y=m(x-1)+2与曲线y= 有且仅有两个不同的交点,则实数m的 取值范围是 ( ) A.(-∞,0)∪  B. ∪(0,+∞) C. ∪  D. ∪      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　易知直线y=m(x-1)+2过定点(1,2)(记为P),y= 可化为x2+y2=4(y≥0).   由图可得,直线l在l1与l2之间(包括l1但不包括l2)或l3与l4之间(包括l3但不包括l4)时满足题意. 设直线l1,l2,l3,l4的斜率分别为k1,k2,k3,k4, 则k1= = ,k2=0,k3= =-2. 易知直线l4的方程为y-2=k4(x-1),则圆心(0,0)到直线l4的距离为 =2,解得k4=0(舍去)或k4=- . 所以实数m的取值范围为 ∪ . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025四川遂宁大英中学月考]已知直线l1:mx-y-3m+1=0(m∈R)与直线l2:x+my-3m-1=0(m∈R)相交于点 P,则P到直线x+y=0的距离d的取值范围是 ( ) A.[  ,3 )　　    B.[ ,2 ) C.[  ,3 )　　    D.[  ,2 )     A     解析 解法一:mx-y-3m+1=0(m∈R)可化为m(x-3)-(y-1)=0,故直线l1恒过点(3,1). 同理,得l2:x+my-3m-1=0(m∈R)恒过点(1,3). 因为m×1+(-1)×m=0,所以直线l1和l2互相垂直,所以两条直线的交点P在以(1,3),(3,1)为直径端点的圆上,故 点P的轨迹方程为(x-2)2+(y-2)2=2(x≠3且y≠3). (提示:直线l1不能表示直线x=3,直线l2不能表示直线y=3) 设圆心为M,则M(2,2). 第1讲　描述运动的基本概念   由于MO垂直于直线x+y=0,故M到直线x+y=0的距离为|MO|=2 ,所以|MO|- ≤d<|MO|+ , 即 ≤d<3 ,故d的取值范围是[ ,3 ). 解法二:由 得  所以P , 第1讲　描述运动的基本概念 所以d= × = × =  .易知 ∈(0,4],所以d∈[ ,3 ). 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2025福建福州联考]若曲线(x+ )·( x-y-2)=0与圆x2+(y-m)2=m2恰有4个公共点,则实数m的 值可能是 ( ) A.- 　　    B.- 　　     C.-2　　     D.2     AC     解析　曲线(x+ )( x-y-2)=0表示直线x+ =0和 x-y-2=0. 由 得  所以两直线的交点为(- ,-5). 因为曲线(x+ )( x-y-2)=0与圆x2+(y-m)2=m2恰有4个公共点,所以直线x+ =0, x-y-2=0均与圆x2+(y- m)2=m2相交,且点(- ,-5)不在圆上. 第1讲　描述运动的基本概念 易知圆x2+(y-m)2=m2的圆心为(0,m),半径为|m|,所以  解得m∈ ∪ ∪(2,+∞). 结合选项,实数m的值可能为- ,-2. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　圆的切线与弦长问题 5.[2025山东菏泽月考]一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在 直线的斜率为 ( ) A.- 或 　　    B.- 或-  C.- 或 　　    D.- 或-      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设点(-2,-3)为A,则点A关于y轴的对称点A'的坐标为(2,-3).易知反射光线所在直线的斜率存在,故 可设反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0. ∵反射光线所在直线与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切, ∴圆心(-3,2)到反射光线所在直线的距离d= =1,化简得12k2+25k+12=0, ∴k=- 或k=- . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2024浙江杭州重点中学期中]已知圆C:(x-1)2+y2=4,直线l:x-my+2m=0与圆C相交于A,B两点,若圆C上存 在点P,使得△ABP为正三角形,则实数m的值为 ( ) A.- 　　     B.  C.- 或0　　    D. 或0     C     解析　圆C:(x-1)2+y2=4的圆心为C(1,0),半径r=2.圆心C到直线l的距离d= = ,所以|AB|=2  =2 .由△ABP为等边三角形,可得P到直线AB的距离为 |AB|= .过P作直线n ∥l,设直线n:x-my+t=0,t≠2m,可得直线n与圆C相切,即有 =2,解得t=-1±2 ,则直线l,n间的距 离为 = .由|AB|>0,得m< ,所以m=0或m=- . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026安徽皖南八校期中]若过圆C:x2+y2-6x=0内不同于圆心的点P恰好可以作5条长度为正整数的弦, 则所有符合条件的点P所围成的区域的面积为 ( ) A. 　　    B. 　　     C. 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由x2+y2-6x=0得(x-3)2+y2=9,所以圆C的圆心为C(3,0),半径r=3, 易知过点P的弦中,直径是最长的弦,长度为2r=6. 下面分析过点P的最短的弦: 不妨设过P所作的弦为AB,由垂径定理知,|AB|=2 =2 ,其中d为圆心C到弦AB所在直线的距 离,要使得弦AB最短,则d最大, 易知d≤|CP|,当CP与弦AB垂直时取等号,所以当CP与弦AB垂直时,d最大,弦AB最短. 根据圆的对称性,可知这5条长度为正整数的弦的长度分别是4,5,6,5,4, 要使得长度为4的弦有两条,则最短弦的长小于4;要使得长度为3的弦不存在,则最短弦的长大于3, 因此过点P的最短弦的长在(3,4)内, 不妨设最短弦的长为l,则|AB|=l时由上述分析知|CP|2+ =r2,则|CP|2=r2- =9- ∈ ,则|CP|∈ 第1讲　描述运动的基本概念  ,所以点P落在以C(3,0)为圆心, 和 分别为半径的圆所夹的圆环内, 所以该区域的面积为π = π. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026湖北武汉华中师范大学第一附属中学月考]已知直线x+ay- a+2=0与圆O:x2+y2=r2(r>0)交于不 同的两点A,B,若∠AOB存在最小值且最小值不大于90°,则r的取值范围为 ( ) A.( ,2]　　     B.(3,2 ]　　     C.(3,3 ]　　    D.(3,6]     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　将直线方程x+ay- a+2=0变形为x+2+a(y- )=0,可知该直线恒过定点(-2, ),记P(-2, ), 则|OP|= =3. 当r≤3时,如图1,直线可与圆O相切,此时A,B重合,与题意不符,直线也可与圆O交于不同的两点A,B,此时 ∠AOB的大小可不断趋近于0,不存在最小值,与题意不符,        所以r>3,即P在圆O内,如图2,直线与圆O一定交于两点A,B,此时对于任意给定的半径r,根据圆的性质,可 知当OP⊥AB时,弦AB最短,∠AOB最小,此时|AB|=2 =2 , 第1讲　描述运动的基本概念 在△AOB中,当∠AOB=90°时,|AB|= r, 因为∠AOB的最小值不大于90°,所以∠AOB最小时,对应的弦AB的长满足|AB|≤ r,即2 ≤ r, 所以3<r≤3 ,即r的取值范围为(3,3 ]. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025广东东莞光明中学期中]已知点P(x,y)为直线l:2x+y+4=0上的动点,过P点作圆C:x2+(y-1)2=1的切 线PA,PB,切点分别为A,B,则△PAB的周长的最小值为___________.     4+      第1讲　描述运动的基本概念 解析　易得圆C的圆心为C(0,1),半径r=1. 连接PC(图略),由题意得|PC|≥ = , 令t=|PC|,t≥ . 因为PA,PB所在直线是圆C的切线,所以|PA|=|PB|= . 连接AC,BC.因为AB是圆C的弦,且△PAC≌△PBC,所以∠ACP=∠BCP, 所以S△PAC= |PA|×r= |PC|× ,所以 = ,所以|AB|= , 所以△PAB的周长为|PA|+|PB|+|AB|=2 + =2 +2 (t≥ ). 因为y=2 与y=2 均在[ ,+∞)上单调递增,所以当t= 时,△PAB的周长取得最小值,为2 +  =4+ . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026湖南长沙雅礼中学月考]过动点P向圆C:x2+y2=16作两条相互垂直的切线,记动点P的轨迹为曲 线C1,过定点D(-2,-2)作两条相互垂直的射线分别交C于点M,N,线段MN的中点为Q,则动点Q的轨迹曲线 C2的方程为__________________;过点P作曲线C2的两条切线,切点分别为S,T,则 · 的最小值为_____ ____.     4     x2+y2+2x+2y-4=0     第1讲　描述运动的基本概念 解析　根据题意,可作出如下示意图:   连接OM,OQ,设Q(x,y),则|DQ|= |MN|, 又 |MN|=|MQ|= , 所以|DQ|= , 即 = , 化简得x2+2x+y2+2y-4=0,此方程即为动点Q的轨迹曲线C2的方程. 易知曲线C2为圆,其圆心为(-1,-1),半径为 . 第1讲　描述运动的基本概念 由数量积的定义知 · =| |·| |·cos< , >,如图:   当P在圆C2外,PS与PT的长度大于圆C2的半径时,两切线的夹角为锐角,此时点P距离圆心C2越近,PS与PT 的长度越小,两切线的夹角越大,两个向量的数量积越小. 由题意知点P和原点以及切线与圆C的两个切点构成一个以4为边长的正方形的四个顶点,可得P到原点 的距离恒为4 ,设P(x,y),则曲线C1:x2+y2=32,所以点P(x,y)到C2(-1,-1)的距离为 =  ≥ =3 , 当且仅当x=-4且y=-4时等号成立,此时切线PS(或PT),圆C2的半径和点P与C2所连线段围成直角三角形, 第1讲　描述运动的基本概念 又圆C2的半径为 , 所以|PS|=|PT|= =2 , 所以切点弦的长度为|ST|=2× =4. 在△PTS中,由余弦定理可得cos< , >= = ,所以 · 的最小值为2 ×2 × =4. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026重庆渝西中学期中]在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2-2x-2 y-12=0,M1,M2是圆C上的动 点,且|M1M2|=4 ,M1M2的中点为M. (1)求点M的轨迹方程; (2)设A是直线l: x-y+4 =0上的动点,直线AP,AQ是M的轨迹的两条切线,P,Q为切点,求四边形APCQ 面积的最小值; (3)若垂直于y轴的直线l1过点C且与M的轨迹交于两点D,E,点N为直线x=-3上的动点,直线ND,NE与M的 轨迹的另一个交点分别为F,G(FG与DE不重合),试探究直线FG是否过定点,若过定点,求出定点坐标;若 不过定点,请说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)将圆C的方程x2+y2-2x-2 y-12=0化为标准方程,为(x-1)2+ =16, 所以圆心为C(1, ),半径r=4. 因为M是M1M2的中点,M1,M2在圆C上,所以CM⊥M1M2.又|M1M2|=4 ,所以 |M1M2|=2 . 在Rt△CM1M中,由勾股定理得|CM|= = =2, 所以点M在以C(1, )为圆心,2为半径的圆上, 所以点M的轨迹方程为(x-1)2+(y- )2=4. (2)如图,因为直线AP,AQ是M的轨迹的切线,所以CP⊥AP,CQ⊥AQ.   第1讲　描述运动的基本概念 又因为|CP|=|CQ|=2,所以四边形APCQ的面积S=2S△APC=2× ×|CP|×|AP|=2|AP|, 在Rt△APC中,由勾股定理得|AP|= = ,所以S=2 , 所以求S的最小值即求|AC|的最小值,易知当AC⊥l时,|AC|最小. 根据点到直线的距离公式,得圆心C到直线l的距离d= =2 , 即|AC|min=2 . 当|AC|取最小值2 时,Smin=2× =2× =4 ,所以四边形APCQ面积的最小值为4 . (3)由题意可知直线l1:y= ,其与M的轨迹的两个交点分别是(-1, ),(3, ),不妨令D(-1, ),E(3, ),如 图, 第1讲　描述运动的基本概念   先探究如下问题:若点P0(-4,y0)为直线x=-4上的动点,A1(-2,0),A2(2,0),直线P0A1,P0A2与圆O:x2+y2=4的另一 个交点分别为R(x1,y1),T(x2,y2)(RT与A1A2不重合),则直线RT过定点.   易知直线P0R,P0T的斜率均存在,且 = = , = = ,则 =3 ,所以 = ,可得 第1讲　描述运动的基本概念  = , 又因为R,T均在圆O上,所以 + =4, + =4, 可得 =4- =(2+x1)(2-x1), =4- =(2+x2)·(2-x2), 则 = ,即 =- ,整理可得2x1x2+5(x1+x2)+8=0. 若直线RT的斜率存在,设其方程为y=kx+b, 联立 消去y可得(k2+1)x2+2kbx+b2-4=0,则Δ>0,且x1+x2=- ,x1·x2= , 则 - +8=0,整理可得b2-5kb+4k2=0,解得b=k或b=4k, 若b=k,则直线RT:y=k(x+1),过定点(-1,0); 若b=4k,则直线RT:y=k(x+4),过定点(-4,0),由RT与A1A2不重合,知此时不符合题意, 第1讲　描述运动的基本概念 所以直线RT过定点(-1,0). 若直线RT的斜率不存在,则x1=x2,可得2 +10x1+8=0,即 +5x1+4=0,解得x1=-1或x1=-4(舍去),此时直线RT 过定点(-1,0), 又(-1,0)在圆O内部,所以直线RT与圆O必相交,符合题意. 综上所述,直线RT过定点(-1,0). 将上述问题中的所有直线与圆整体向右平移1个单位长度,再向上平移 个单位长度,即可得到本题涉 及的直线与圆,结合图形平移可知,直线FG过定点(0, ). 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　直线与圆的位置关系的综合应用 12.[2026山东泰安新泰中学测试]在平面直角坐标系xOy中,已知点P(2,4),圆O:x2+y2=4与x轴正半轴的交 点是Q,过点P的直线l与圆O交于不同的两点A,B. (1)设直线QA,QB的斜率分别是k1,k2,求k1+k2的值; (2)设AB的中点为M,点N ,若|MN|= |OM|,求△QAB的面积. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)易知点Q(2,0),直线l的斜率一定存在,设其方程为y-4=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2). 由 得(1+k2)x2-4k(k-2)x+(2k-4)2-4=0,所以x1+x2= ,x1x2= . 易得k1= = =k+ ,k2= = =k+ , 所以k1+k2=k+ +k+ =2k+  =2k+ =2k- =2k-2k-1=-1. (2)设M(x0,y0), 则由(1)可知  第1讲　描述运动的基本概念 由|MN|= |OM|得 + = ( + ),整理得 + +6x0-4=0,即 + +6× -4 =0,解得k=3,所以直线l的方程为3x-y-2=0. 易得圆心(0,0)到直线l的距离d= = ,所以|AB|=2 = . 又Q到直线l的距离h= = , 所以S△QAB= |AB|·h= . 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2025吉林八校期中]古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点的距离的比值 为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中,N(1,0),M (4,0),动点Q满足 =2,设动点Q的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的轨迹方程; (2)若直线x-y+1=0与曲线C交于A,B两点,求|AB|; (3)若曲线C与x轴的交点为E,F,直线l:x=my-1与曲线C交于G,H两点,直线EG与直线FH交于点D,证明:点 D在定直线上. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设Q(x,y). 因为 =2,所以|QM|2=4|QN|2,即(x-4)2+y2=4[(x-1)2+y2],整理,得x2+y2=4,所以曲线C的轨迹方程为x2+y2=4. (2)易得圆C的半径r=2,其圆心(0,0)到直线x-y+1=0的距离d= = , 所以|AB|=2 =2× = . (3)证明:设G(x1,y1),H(x2,y2),D(x0,y0). 由 得(m2+1)y2-2my-3=0,所以Δ=4m2+12(m2+1)>0,y1+y2= ,y1y2=- . 不妨令E(-2,0),F(2,0),G在H上方,则直线EG的方程为y= (x+2),直线FH的方程为y= (x-2). 因为直线EG与直线FH交于点D, 第1讲　描述运动的基本概念 所以 所以 = · = = = =  = ,解得x0=-4, 所以点D在直线x=-4上. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　直线与圆的位置关系的实际应用 14.如图,某公园内有一底面半径为2米的圆柱形建筑物,在其南面有一条东西走向的观景直道(图中用实 线表示),建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道(图中用虚线表示),观景直道与辅道相距5米.在建 筑物底面中心O的北偏东45°方向且相距10 米的点A处,有一台360°全景摄像头,其安装高度低于建筑 物高度.请建立恰当的平面直角坐标系,并解决问题: (1)在西辅道上与建筑物底面中心O相距4米处有一游客,他是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 第1讲　描述运动的基本概念 第1讲　描述运动的基本概念 解析　以O为原点,正东方向为x轴的正方向,建立如图所示的平面直角坐标系,则O(0,0).   (1)由题知|OA|=10 ,∠AOx=45°,则A(10,10), 游客所在位置的坐标为(-4,0),记B(-4,0), 则直线AB的方程为y= (x+4),即5x-7y+20=0,所以圆心O到直线AB的距离d= = > =2, 第1讲　描述运动的基本概念 所以直线AB与圆O相离, 所以游客在该摄像头的监控范围内. (2)由图知,当过A的直线与圆O相切或相离时,摄像头不会被建筑物挡住, 不妨设直线l过点A且和圆O相切, 若直线l垂直于x轴,则直线l不会和圆相切; 若直线l不垂直于x轴,设l:y-10=k(x-10),整理得kx-y+10-10k=0,所以圆心O到直线l的距离为 =2,解 得k= 或k= , 所以l:y-10= (x-10)或y-10= (x-10), 即3x-4y+10=0或4x-3y-10=0, 易知观景直道所在直线的方程为y=-5, 第1讲　描述运动的基本概念 设两条过点A且与圆O相切的直线与直线y=-5的交点分别为D,E,且D在E左侧, 由 解得x=-10, 由 解得x=- , 所以|DE|= = =8.75,因此观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为8.75米. 第1讲　描述运动的基本概念 $