2.3.3 直线与圆的位置关系（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线与圆的位置关系，涵盖判定方法、切线方程及弦长计算。通过太阳升起情境导入，结合初中几何知识回顾，搭建从直观作图到代数几何方法的学习支架，衔接前后知识。 亮点在于以数形结合为主线，通过几何法与代数法的双向探究培养数学思维，生活情境导入发展数学眼光。典例分类清晰，总结系统，助力学生用数学语言表达，提升解题能力，也为教师提供高效教学资源。

第二章 平面解析几何 2.3.3 直线与圆的位置关系 2.3圆及其方程 【新教材】人教B版·高二选修第一册 学 习 目 标 1 2 3 明确位置关系：理解直线与圆的三种位置关系——相离、相切、相交，及其对应的公共点个数 掌握两种判定方法： 几何法：比较圆心到直线的距离 d 与半径 r（d>r 相离；d=r 相切；d<r 相交）。 代数法：联立方程，消元后由判别式 Δ 判定（Δ<0 相离；Δ=0 相切；Δ>0 相交）。 经历”几何直观（看图）→ 代数运算（联立）“的双向探究，体会数形结合与化归转化思想。 生活情境 思考在太阳升起的过程中,太阳和海平线会有几种位置关系?如果我们 把太阳看作一个圆,把海平线看作一条直线,由此你能得出直线和圆的位 置关系吗? 相切 相交 相离 温故知新 初中几何中曾介绍过：如图（1）所示，直线与圆有两个公共点时，称直线与圆相交，且称直线为圆的割线；如图（2）所示，直线与圆只有一个公共点时，称直线与圆相切，且称直线为圆的切线，称公共点为切点；如图（3）所示，直线与圆没有公共点时，称直线与圆相离． 目标一：直线与圆位置关系 作图观察法 知识讲解 互动探究 新课引入 在平面直角坐标系中作出直线 𝑙 与圆 𝐶, 如图所示, 可以看出它们没有公共点, 因此直线 𝑙 与圆 𝐶 相离. 作图的方法虽然直观, 但是借助计算机作图才会比较精确. 考虑到直线的方程、圆的方程的意义, 不难想到, 可以借助直线与圆的方程组成的方程组来探讨它们的位置关系. 思考: 判断直线 𝑙:𝑦=−𝑥+5 与圆 𝐶:的位置关系, 并说明理由. 6 联立法 知识讲解 互动探究 新课引入 因为从方程组 中消去 𝑦 可得 =12, 即 2−10𝑥+13=0, ① 又因为 −4×2×13=−4<0, 所以 方程 ① 无实数解, 这说明方程组也无实数解, 因此直线 𝑙:𝑦=−��+5 与 圆 𝐶:+=12 没有公共点, 从而也就说明了它们相离. 思考: 判断直线 𝑙:𝑦=−𝑥+5 与圆 𝐶:的位置关系, 并说明理由. 7 几何法 知识讲解 互动探究 新课引入 初中几何中，大家根据归纳与试验，曾经总结出下述结论：如图所示， 如果 ⊙𝐶 的半径为 𝑟，圆心 𝐶 到直线 𝑙 的距离为 𝑑，则 直线 𝑙 与 ⊙𝐶 相交 ⇔𝑑<𝑟; 直线 𝑙 与 ⊙𝐶 相切 ⇔𝑑=𝑟; 直线 𝑙 与 ⊙𝐶 相离 ⇔𝑑>𝑟. 思考: 判断直线 𝑙:𝑦=−𝑥+5 与圆 𝐶:的位置关系, 并说明理由. 8 几何法 知识讲解 互动探究 新课引入 因为根据圆的方程与直线的方程能方便地算出圆心到直线的距离，所以我们也可利用这个结论来快速地得到直线与圆的位置关系． 思考: 判断直线 𝑙:𝑦=−𝑥+5 与圆 𝐶:的位置关系, 并说明理由. 例如，前面思考中的圆心(0,0) 到直线 𝑦=−𝑥+5 的距离 𝑑，而圆的半径为 ，因为 ，所以直线 𝑦=−𝑥+5 与圆 相离． 9 判断直线与圆的位置关系的两种方法 方法一(代数法):判断直线 𝑙 的方程与圆 𝐶 的方程组成的方程组是否有实数解。如果有实数解,那么直线 𝑙 与圆 𝐶 有公共点;如果没有实数解,那么直线 𝑙 与圆 𝐶 没有公共点。当有两组不同的实数解时,直线 𝑙 与圆 𝐶 相交; 当只有一组实数解时,直线 𝑙 与圆 𝐶 相切; 当无实数解时,直线 𝑙 与圆 𝐶 相离。 方法二(几何法):判断圆𝐶的圆心到直线𝑙的距离𝑑与圆𝐶的半径𝑟的关系。 如果𝑑<𝑟,那么直线𝑙与圆𝐶相交； 如果𝑑=𝑟,那么直线𝑙与圆𝐶相切； 如果𝑑>𝑟,那么直线𝑙与圆𝐶相离。 两种方法的关联 给定平面中的一条直线 与 , 以 的圆心为原点, 以不垂直于直线 的直线为 轴, 建立平面直角坐标系, 如图所示. 设直线 的方程为 的方程为 . 从方程组 中消去 可得, 即 , ②因为方程 ② 的判别式 ，所以 ，注意到 表示 的正好是圆心 到直线 的距离。 两种方法的关联 而 说明方程 ② 有 两个不同的实数解，此时说明原方程组也有两组不同的实数解，因此当且仅 当圆的半径大于圆心到直线的距离时，直线与圆相交． 通常优先选择用几何方法判断直线与圆的位置 关系。 题型1直线与圆的位置关系求参 代数法 例1 已知直线 𝑦=𝑥+𝑏，圆 =2，分别求直线与圆相交、相切、 相离时 𝑏 的取值范围 典例分析 牛刀小试 解: 联立直线的方程与圆的方程, 得方程组 , 从方程组 中消去 , 整理得 , ③ 这个方程的判别式 . 当且仅当 时, , 方程 ③ 有两个不相等的实数解, 题型1直线与圆的位置关系求参 代数法 例1 已知直线 𝑦=𝑥+𝑏，圆 =2，分别求直线与圆相交、相切、 相离时 𝑏 的取值范围 典例分析 牛刀小试 此时直线与圆有两个公共点, 直线与圆相交; 当且仅当 或 时, , 方程 ③ 有两个相等的实数解, 此时直线与圆只 有一个公共点, 直线与圆相切; 当且仅当 或 时, , 方程 ③没有实数解, 此时直线与圆没有公共点, 直线与圆相离. 题型1直线与圆的位置关系求参 几何法 例1 已知直线 𝑦=𝑥+𝑏，圆 =2，分别求直线与圆相交、相切、 相离时 𝑏 的取值范围 典例分析 牛刀小试 解: (方法二) 因为圆的半径 , 圆心 到直线 的距离为 . 当且仅当 , 即 时, 直线与圆相交; 当且仅当 , 即 或 时, 直线与圆相切; 当且仅当 , 即 或 时, 直线与圆相离. 题型1直线与圆的位置关系求参 代数法 例2 已知直线方程 𝑚𝑥−𝑦−𝑚−1=0，圆的方程 −4𝑥−2𝑦+1=0。当 𝑚 为何值时，圆 与直线： (1)有两个公共点？ (2)只有一个公共点？ (3)没有公共点？ 典例分析 牛刀小试 将直线方程 代入圆的方程消去 并化简整理,得。 (1)当 ,即 或 时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点。 (2)当 ,即 或 时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点。 (3)当 ,即 时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点。 题型1直线与圆的位置关系求参 代数法 例2 已知直线方程 𝑚𝑥−𝑦−𝑚−1=0，圆的方程 −4𝑥−2𝑦+1=0。当 𝑚 为何值时，圆 与直线： (1)有两个公共点？ (2)只有一个公共点？ (3)没有公共点？ 典例分析 牛刀小试 将直线方程 代入圆的方程消去 并化简整理,得。 (1)当 ,即 或 时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点。 (2)当 ,即 或 时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点。 (3)当 ,即 时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点。 题型1直线与圆的位置关系求参 几何法 例2 已知直线方程 𝑚𝑥−𝑦−𝑚−1=0，圆的方程 −4𝑥−2𝑦+1=0。当 𝑚 为何值时，圆 与直线： (1)有两个公共点？ (2)只有一个公共点？ (3)没有公共点？ 典例分析 牛刀小试 已知圆的方程可化为,即圆心为,半径为。圆心到直线的距离 (1)当 ,即 或 时,直线与 圆相交,即直线与圆有两个公共点。 (2)当 ,即 或 时,直线与 圆相切,即直线与圆只有一个公共点。 (3)当 ,即 时,直线与圆相 离,即直线与圆没有公共点。 目标二：圆的切线方程 题型2 过圆上一点的切线方程 待定系㶼法 例3 已知 𝑀(1,2) 是圆 上一点, 求圆的过点 𝑀 的切线方程. 典例分析 牛刀小试 如果切线的斜率不存在, 则切线方程为 , 但圆心 到 的距离为 1, 不等于圆的半径 , 矛盾. 因此切线的斜率一定存在, 设为 , 从而切线方程为 , 即 , 从而由 圆心到切线的距离等于圆的半径可知 , 解得 , 所以切线 的点斜式方程为 , 因此所求方程为 . 设切线方程前，要考查斜率是否存在。 题型2 过圆上一点的切线方程 几何法 例3 已知 𝑀(1,2) 是圆 上一点, 求圆的过点 𝑀 的切线方程. 典例分析 牛刀小试 圆的圆心为 ，而且 是与切线垂直的，如图所示. 因为 ，所以切线的斜率为 ，从而可知切线的点斜式方程为 ，因此所求方程为 利用切线性质，求切线斜率，再点斜式得方程。 题型3 过圆外一点的切线方程 法一 例4 经过点 𝑃(4,5)，且与圆 =4 相切的直线的方程为__________。 典例分析 牛刀小试 解 因为 ，所以点 在圆 外。 方法一:若直线的斜率存在,依题意,设直线的方程为 ,即 。又圆心为，半径为，且圆心到切线的距离等于半径，所以 所以直线的方程为。若直线的斜率不存在，则直线的方程为，显然满足题意。 综上可知，与圆相切的直线的方程为和。 要判断点在圆外，必有两条切线。按斜率 是否存在，分类讨论。 题型3 过圆外一点的切线方程 法二 例4 经过点 𝑃(4,5)，且与圆 =4 相切的直线的方程为__________。 典例分析 牛刀小试 方法二:设所求切线方程为,其中是圆上的切点,将代入切线方程,得。 由解得或 故所求切线方程为和。 新设法的依据，随后总结 过圆上一点的切线方程 求过圆上一点 𝑃() 的圆的切线方程,先求切点与 圆心的连线的斜率 𝑘,则由垂点斜式方程可得切线方程。如果 𝑘=0 或 𝑘 不存在,那么由图形可直接得切线方程为 𝑦=或 𝑥= 经过圆 上一点 𝑃(𝑥_0,𝑦_0) 的切线方程。 经过上一点 𝑃() 的切线方程为 (。 经过圆 +𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝐹=0 上一点 𝑃() 的切线方程为 𝑦+𝐷⋅+𝐸⋅+𝐹=0。 过圆上一点的切线方程 求过圆外一点 的圆的切线方程,先假设切线斜率存在。 ①几何法:设切线方程为 即 。由圆心到直线的距离等于半径,可得 ,切线方程即可求出。 ②代数法:设切线方程为 ,即 ,代入圆的方程,得到一个关于 的 一元二次方程,由 求得 ,切线方程即可求出。 也可设切点，用【过圆上一点切线方程设法】（见上一版），把切线经过的点代入所设切线方程，把切点代入圆方程，联立求得切点坐标，随即求出切线方程。 目标三：圆的切线段长与弦长 切线段长公式 从圆外一点 引圆 的切线，则点到切点的切线长为 。 从圆外一点 引圆 的切线，则点到切点的切线长为 。 也可以构造直角三角形，用勾股定理计算 题型4 圆的切线段长问题 例5 （1）已知圆C，点P(3,4)在圆外，求从点P引圆C的切线长。 典例分析 牛刀小试 解（1）：圆心，半径 答：勾股定理得切线长为也可以直接把切点坐标代入公式。） 勾股定理法或公式法 （2）已知圆-2x+4y-4=0，圆外一点P(4,0)，求点P到圆的切线长 解（2）：配方：，圆心 答:由勾股定理得切线长为 也可以直接把切点坐标代入公式。） 题型4 圆的切线段长问题 例5 （3）从点P(2,-1)向圆+mx-2y+1=0引切线，切线长等于2，求实数m的值。 典例分析 牛刀小试 解：配方：，圆心，半径 平方化简：检验：时圆方程为即，半径，成立。 答： 题型6 圆的弦长问题 几何法 例5 已知直线 与圆 相交于 两点.求线段 的长 典例分析 牛刀小试 如图所示, 设 的中点为 , 根据垂径定理可知 , 因此 是个直角三角形. 由点到直线的距离公式可知 , 又 是圆的半径, 因此 , 从而在 中, 有 . 因此 勾股定理（几何法）求圆的弦长最简单 题型4 圆的弦长问题 代数法 例5 已知直线 与圆 相交于 两点.求线段 的长 典例分析 牛刀小试 设 , 则 . 因为 都是直线 上的点, 所以 , 第二式减去第一式可得 , 因此 , 从而. 又因为从方程组 ,中消去 ，整理可得 ，而且 是这个方程的两个根，因此由韦达定理可知 把两点间距离公式通过坐标代换，转化为只含横坐标或纵坐标的表达式，配成可使用韦达定理的表达式。 题型4 圆的弦长问题 代数法 例5 已知直线 与圆 相交于 两点.求线段 的长 典例分析 牛刀小试 . 所以 因此 ，从而可知 . 把两点间距离公式通过坐标代换，转化为只含横坐标或纵坐标的表达式，配成可使用韦达定理的表达式。 圆的弦长求法 (1)几何法 如,过圆心 𝑂 作 𝑙 的垂线,由圆的性质知垂足 𝐺 为线段 𝐸𝐹 的中点。相交于𝐴,𝐵两点,截得的弦长为4 方程。 答 若直线𝑙的斜率不存在,则𝑙 𝐶相切,不合题意,所以直线𝑙的 设直线𝑙的方程为 𝑦−5=𝑘(𝑥− 相交于 𝐴(), 𝐵(△𝑂𝐺𝐹 中, 则弦长 |𝐸𝐹|=2|𝐺𝐹|= 圆的弦长求法 （2）代数法 设直线 的方程为 , 圆 的方程为 。 将方程组 消元后由一元二次方程中根与系数的关系可得关于 或 的关系式, 则 题型4 圆的弦长问题 例6 直线 𝑙 经过点 𝑃(5,5),且和圆 𝐶:相交于 𝐴,𝐵 两点,截得的弦长为 4求 𝑙 的 方程。 典例分析 牛刀小试 答 若直线的斜率不存在,则l:x=5,与圆 C相切,不合题意,所以直线的斜率存在。 设直线的方程为y-5=k(x-5),且与圆 相交于A(x1, y1), B(X2,Y2),由 , 消去y,得(k²+ 1 ) x² + 10k(1k) x + 25k (k-2) = 0,所以∆ = [10k(1-k)]²-4(k²+1)·25k(k-2)>0,, 由斜率公式,得 , 所以 题型4 圆的弦长问题 例6 直线 𝑙 经过点 𝑃(5,5),且和圆 𝐶:相交于 𝐴,𝐵 两点,截得的弦长为 4求 𝑙 的 方程。 典例分析 牛刀小试 。 解得 或 , 均符合题意。故直线 的方程为 或 。 目标四：针对训练 举一反三 1.已知直线过点(-2,0),当直线与圆x²+y²=2x有两个交点时,其斜 率的取值范围是( ) A.(-) B.(-,) C. c. D. 解得k>0。又因为x1 + x2 = - 答案:C 解析:易知圆心坐标是(1,0),半径是1,直线的斜率存在,设直线的方程 为y=k(x+2),即kx-y+2k=0,由点到直线的距离公式,得 |k+2k| <1, 即k²<,解得-. 举一反三 2.对任意的实数 ，直线 与圆 的位置关系一定是( ) A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心 答案：C 解析：直线 恒过定点 ，由定点 在圆 内，知直线 与圆 一定相交.因为直线 不过圆心 ，所以位置关系是相交但直线不过圆心. 举一反三 3.若点M(x0,y0)在圆x² + y² = R²外,则直线xox+y0y = R² 与圆的位置关 系是() A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 答案: B 解析: 因为点在圆外，所以，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相交. 举一反三 4.直线被圆截得的弦长为，则直线的斜率为( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为直线被圆截得的弦长 心到直线的距离为，所以 得 举一反三 5.若过点有两条直线与圆相切，则 的取值范围是__________. 答案： 解析：易知点在圆外，由于方程表示圆，所以 解得.所以实数的取值(-1,1) 目标五：小结 学海拾贝 直线和圆的位置关系是初中几何的核心知识点，主要围绕位置判定、性质定理、切线应用三大核心内容展开，整体知识点逻辑清晰、题型固定，以下是全面系统的归纳总结。 一、核心判定方法（两种通用判定方式） 判定直线与圆的位置关系，有几何法和代数法两种方法，初中阶段以几何法为主要解题方法。 1. 几何法（距离判定法，首选方法） 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，通过d与r的大小关系判定位置关系，直观简洁： 相离：d>r，直线与圆没有公共点 相切：d=r，直线与圆有唯一公共点（切线） 相交：d<r，直线与圆有两个公共点（割线） 学海拾贝 2. 代数法（方程联立判定） 将直线解析式与圆的方程联立，消元后得到一元二次方程，通过判别式Δ判定： Δ<0：方程无实数根，直线与圆相离 Δ=0：方程有唯一实数根，直线与圆相切 Δ>0：方程有两个不相等实数根，直线与圆相交 适用场景：坐标系中解析几何题型，纯几何证明优先用几何法。 学海拾贝 二、三种位置关系详细性质 1. 直线与圆相离 无公共点，圆心到直线的距离大于半径，无特殊线段、角度性质，常结合最值问题考查（圆上点到直线的最短距离为d-r，最长距离为d+r）。 2. 直线与圆相切（重点、高频考点） 有且只有一个公共点，这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点，核心性质与判定定理是考试核心。 （1）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 推论：过圆心且垂直于切线的直线必过切点；过切点且垂直于切线的直线必过圆心。 （2）切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 学海拾贝 3. 直线与圆相交 【新教材】人教B版·高二选修第一册 感谢聆听! $