第2章 05-2.2.4 点到直线的距离（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教B版）

该高中数学课件聚焦平面解析几何中的“点到直线的距离”，涵盖距离公式及平行直线间距离的应用，通过具体例题（如经过点P且到A、B距离相等的直线方程）导入，衔接直线方程知识，以斜率分类讨论搭建从公式到综合应用的学习支架。 其亮点是分层练习（基础到能力提升）、一题多解（如“考场速决”提供平行或中点思路）及创新题型（如“共轭线对”），结合数学思维（逻辑推理、运算能力）与数学语言（符号表达），例如第2题分类讨论培养推理意识，帮助学生深化理解，教师可丰富教学资源。

第二章 平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 2.2 直线及其方程 2.2.4 点到直线的距离 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　点到直线的距离公式及其应用 1.[2025广东清远四校联考]若点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为 ,则点P的坐标为 ( ) A.(1,2)　　     B.(2,1) C.(1,2)或(2,-1)　　    D.(2,1)或(-1,2)     C     解析　设点P的坐标为(x,5-3x),则由点到直线的距离公式,得 = ,即|4x-6|=2,所以4x-6=±2, 所以x=1或x=2,所以点P的坐标为(1,2)或(2,-1). 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026天津滨海新区塘沽紫云中学月考]已知直线l经过点P(3,2),且点A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等,则l 的方程为 ( ) A.4x+y+14=0 B.4x+y-14=0 C.x=3或4x+y+14=0 D.x=3或4x+y-14=0     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　若直线l的斜率不存在,则l:x=3, 此时点A到l的距离为|2-3|=1,点B到l的距离为|4-3|=1,符合要求; 若直线l的斜率存在,设l:y=k(x-3)+2,即kx-y-3k+2=0,则有 = ,化简得|k+1|=|k+7|, 所以k=-4,即l:4x+y-14=0. 故l的方程为x=3或4x+y-14=0. 考场速决　实际上,经过点P(3,2),且点A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等的直线有两条,分别为经过AB的中 点的直线以及与直线AB平行的直线,由此可得l的方程为x=3或4x+y-14=0. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2024辽宁抚顺德才高级中学期中]已知点P(-2,3),点Q是直线l:3x+4y+3=0上的动点,则|PQ|的最小值为  ( ) A.2　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     解析　易知点P不在直线l上,则|PQ|的最小值为点P到直线l的距离,∴|PQ|min= = . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[教材习题改编][2026四川成都嘉祥外国语高级中学月考]点A(2,-4)到直线l:(1-3m)x+(1-m)y+4+4m=0 (m为任意实数)的距离的取值范围是 ( ) A.[0,5]　　    B.[0,2 ]　　    C.[0,4]　　    D.[0, ]     B     解析　直线方程(1-3m)x+(1-m)y+4+4m=0可变形为(x+y+4)+m(-3x-y+4)=0, 令 解得 由此可得直线l恒过点(4,-8),记Q(4,-8),易知A到直线l的距离的最大值为| AQ|,此时直线l垂直于AQ; A到直线l的距离的最小值为0,此时直线l经过点A. 又|AQ|= =2 ,所以点A到直线l的距离的取值范围是[0,2 ]. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026安徽蚌埠第二中学月考]若点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中 点M与原点间的距离的最小值为( ) A.3 　　    B.2 　　    C.3 　　    D.4      A     解析　由题意知l1∥l2,点M在直线l1与l2之间且在与直线l1,l2距离相等的直线上,设该直线的方程为x+y+c =0(c≠-7且c≠-5),则 = ,解得c=-6,所以点M在直线x+y-6=0上,所以点M与原点间的距离的最 小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,为 =3 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　两条平行直线间的距离公式及其应用 6.[2025河北保定曲阳第一高级中学月考]两条平行直线2x-y+3=0和ax-3y+6=0间的距离为d,则a,d的值分 别为 ( ) A.6, 　　    B.6, 　　    C.-6, 　　    D.-6,      B     解析　由题意得2×(-3)-(-1)×a=0,解得a=6. 将其代入ax-3y+6=0,化简得2x-y+2=0. 所以d= = . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2024湖北部分省级示范高中期中]设P,Q分别为直线3x+4y-12=0与3x+4y+3=0上任意一点,则|PQ|的最 小值为 ( ) A.3　　    B.4　　    C.5　　    D.6     A     解析　易知直线3x+4y-12=0与3x+4y+3=0平行, 所以|PQ|的最小值就是两条平行直线间的距离,为 =3. 第1讲　描述运动的基本概念 8.若两条平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是2 ,则直线l1关于直线l2对称的直线方 程为 ( ) A.x-2y-13=0　　    B.x-2y+2=0 C.x-2y+4=0　　     D.x-2y-6=0     A     解析　因为l1与l2平行,所以n=-2×2=-4,所以l2:x-2y-3=0,又l1与l2之间的距离是2 ,所以 =2 ,又m> 0,所以m=7,即直线l1:x-2y+7=0.设直线l1关于直线l2对称的直线方程为x-2y+c=0(c≠7,且c≠-3),则2 =  ,解得c=-13或c=7(舍去),故所求直线方程为x-2y-13=0. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026河南安阳第一中学周测]若直线l被两平行线l1: x-y+1=0与l2: x-y+3=0所截得的线段的长为  ,则直线l的倾斜角大小为( ) A.15°　　    B.15°或105° C.60°　　    D.15°或45°     B     解析　因为直线l1: x-y+1=0与l2: x-y+3=0平行,所以两直线之间的距离d= =1, 设直线l与两平行线l1,l2的夹角为θ,则sin θ= ,即θ=45°,又l1,l2的斜率为 ,故其倾斜角为60°,所以直线l 的倾斜角为15°或105°. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025上海师范大学附属中学月考]一条与直线x-2y+3=0平行且距离大于 的直线方程为___________ ___________________________________________. 0(c<-2或c>8)(写出符合条件的一条直线的方程即可)         x-2y+c= 解析　因为所求直线与直线x-2y+3=0平行,所以设所求直线方程为x-2y+c=0(c≠3).因为所求直线与直 线x-2y+3=0间的距离大于 ,所以 > ,解得c<-2或c>8.故与直线x-2y+3=0平行且距离大于 的直 线方程为x-2y+c=0(c<-2或c>8). 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2024广东茂名期中]已知直线l1:2x+3y+18=0,l2:2x+3y-8=0,在l1上任取一点A,在l2上任取一点B,过线段 AB的中点作l2的平行线l3. (1)求直线l1与l2间的距离; (2)求直线l3的方程. 解析    (1)易知l1与l2平行,所以直线l1与l2间的距离d= =2 . (2)因为l3与l2平行,所以可设l3的方程为2x+3y+C=0(-8<C<18). 由题意及(1)知l3与l1间的距离为 , 所以 = ,解得C=5或C=31(舍去), 所以l3的方程为2x+3y+5=0. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 2.2 直线及其方程 2.2.4 点到直线的距离 第1讲　描述运动的基本概念 题组　距离公式的综合应用 1.[2025北京顺义期中]已知直线l1:x+2y+t2=0和直线l2:2x+4y+4t-7=0,则l1与l2间的最短距离为 ( ) A.1　　    B. 　　    C. 　　    D.2     C     解析　直线l1:x+2y+t2=0,即2x+4y+2t2=0,所以l1∥l2, 故l1与l2间的距离d= = ≥ ,当且仅当t=1时,等号成立, 所以l1与l2间的最短距离为 . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026辽宁沈阳东北育才学校月考]已知实数a,b,c,d满足 = = ,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为  ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B 解析　由实数a,b,c,d满足 = = ,可得3a-4b=0,3c-4d+9=0, 故点(a,b)在直线3x-4y=0上,点(c,d)在直线3x-4y+9=0上,且这两条直线平行. 又(a-c)2+(b-d)2表示点(a,b)和点(c,d)之间的距离的平方,故其最小值为两平行线3x-4y=0和3x-4y+9=0间距 离的平方,即为 = . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2024重庆南开中学月考]已知直线l1:x-y+2=0,l2:x-y-2=0,直线l3垂直于l1,l2,垂足分别为A,B,若C(-4,0),D (4,0),则|CA|+|AB|+|BD|的最小值为 ( ) A. +2 　　    B.8+  C.2 +2 　　    D.8     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由两条平行直线间的距离公式得|AB|=2 . 设直线l3的方程为x+y=2m(m∈R). 由 得 所以A(m-1,m+1). 同理,得B(m+1,m-1). 所以|CA|+|AB|+|BD|= +2 + . 易知 + 表示动点(m,m)(记为M)到定点(-3,-1)(记为E)与(3,1)(记为F)的 距离的和. 显然动点M(m,m)在直线y=x上,点E(-3,-1)与F(3,1)在直线y=x的两侧,所以|ME|+|MF|≥|EF|=2 ,即  + 的最小值为2 ,故|CA|+|AB|+|BD|的最小值为2 +2 . 第1讲　描述运动的基本概念 4.已知直线l1:2x-y+2=0与l2:x+2y+1=0相交于点P,过点Q(1,1)的直线l与l1,l2分别交于点M,N,写出一个使 “ = ”成立的直线l的方程:_______________________.     x=1(或3x-4y+1=0)     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由 得 所以P(-1,0),所以kPQ= = ,所以直线PQ的方程为y= (x+1),即x-2y+1 =0.设点M,N到直线PQ的距离分别为d1,d2. 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,则M(1,4),N(1,-1),所以d1= = ,d2=  = ,所以 = = ,符合题意. 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-1=k(x-1) . 由 得 所以M , 第1讲　描述运动的基本概念 所以d1= = . 同理,得N , 所以d2= = . 所以 = = = ,解得k= , 所以直线l的方程为y-1= (x-1),即3x-4y+1=0. 综上,直线l的方程为x=1或3x-4y+1=0. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026辽宁大连第八中学期中]已知三条直线l1:2x-y+a=0,l2:4x-2y-1=0,l3:x+y-1=0,且原点到直线l1的距离 是 . (1)求实数a的值; (2)若a>0,能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:①点P位于第一象限;②点P到l2的距离是点P到l1 的距离的2倍;③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是 ∶ ?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理 由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得 = ,解得a=±3. (2)由题意及(1)得a=3,所以l1:2x-y+3=0. 假设能找到满足题意的点P(x0,y0)(x0>0,y0>0). 若点P满足条件②,则 ×2= ,化简得4x0-2y0+13=0或12x0-6y0+11=0. 若点P满足条件③,则 = · ,化简得x0-2y0+4=0或3x0+2=0. ∵P是第一象限内的点,∴3x0+2=0不符合题意,舍去. 由 解得 不符合题意,舍去. 第1讲　描述运动的基本概念 由 解得  ∴满足题意的点P的坐标为 . 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　结合“共轭线对”考查点线距问题 6.[2026浙江嘉兴海宁静安高级中学月考]已知点P和非零实数λ,若两条不同的直线l1,l2均过点P,且斜率 之积为λ,则称直线l1,l2是一组“Pλ共轭线对”,如直线l1:y=2x和l2:y=- x是一组“O-1共轭线对”,其中O是 坐标原点. (1)已知l1,l2是一组“O-3共轭线对”,且直线l1:y=2x,求直线l2的方程; (2)已知点H(-1,- ),直线l3,l4是“H-2共轭线对”,当l3的斜率变化时,求原点O到直线l3,l4的距离之积的取 值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由已知得直线l2过原点,且  =-3, 又 =2,所以 =- ,所以直线l2的方程为y=- x. (2)由题可设l3:y+ =k(x+1)(k≠0),l4:y+ = (x+1),原点O到直线l3,l4的距离分别为d1,d2, 则d1d2= · = · = · = · = · . 由于k2+ +5≥9(等号成立的条件是k2=2),所以1- ∈[0,1),则d1d2∈[0, ). 第1讲　描述运动的基本概念 $