第2章 04-2.2.3 两条直线的位置关系（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教B版）

该高中数学课件聚焦“两条直线的位置关系”，涵盖交点坐标、平行、垂直等核心知识点。通过基础题组、能力提升练到创新题型的递进设计，搭建学习支架，帮助学生衔接平面解析几何前后知识，逐步深化理解。 其亮点在于融入实际情境（如四点共圆、光线反射）和逻辑推理（分类讨论斜率、二倍角公式应用），体现数学眼光、思维与语言。实例丰富，如用垂直关系解决共圆问题，培养学生探究能力，教师可借助分层练习提升教学效率。

第二章 平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 2.2 直线及其方程 2.2.3 两条直线的位置关系 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　直线的交点坐标及其应用 1.直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2,-1),则m+n的值为 ( ) A.12　　    B.10　　     C.-8　　    D.-6     B     解析　将(2,-1)代入3x+my-1=0可得m=5,将(2,-1)代入4x+3y-n=0可得n=5,所以m+n=10. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026北京第三十五中学期中]直线kx-y+2k+1=0与x+2y-4=0的交点在第四象限内,则实数k的取值范围 为 ( ) A.(-6,2)　　     B.  C. 　　    D.      C     解析　解方程组 得  由两直线的交点在第四象限内可得 解得- <k<- ,故实数k的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江苏连云港灌南高级中学检测]经过直线l1:y=-2x-1和l2:y=2x+3的交点,且倾斜角是直线l2的倾斜 角的两倍的直线l的方程为 ( ) A.2x+y+1=0　　     B.x-4y+3=0 C.4x+3y+1=0　　    D.3x+4y-1=0     C     解析　由 解得 即直线l过点(-1,1). 设直线l2:y=2x+3的倾斜角为α,则tan α=2.由题可知直线l的斜率为tan 2α= = =- ,所以直线l的 方程为y-1=- (x+1),即4x+3y+1=0. 知识拓展　经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线方程可设为(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+ B2y+C2)=0(不包括l2,其中 + ≠0, + ≠0). 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026天津西青月考]直线l1:3x-y+12=0和l2:3x+2y-6=0及y轴所围成的三角形的面积为_________.     9     解析　易知直线l1,l2与y轴的交点坐标分别为(0,12),(0,3).由 解得  故所求三角形的面积S= ×(12-3)×|-2|=9. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　两条直线的平行、重合 5.[2025浙江台州十校联盟期中]已知直线l1的一个方向向量为(-1,2),直线l2的一个方向向量为(m,6),若l1 ∥l2,则m= ( ) A.-3　　    B.3　　    C.6　　    D.9 解析　记a=(-1,2),b=(m,6), 由于l1∥l2,所以a∥b,因此可得2m=-6,解得m=-3.     A     第1讲　描述运动的基本概念 6.[易错题][2026吉林延吉第三高级中学期中]若直线l1的倾斜角为135°,直线l2经过点P(-2,-1),Q(3,-6),则 直线l1与l2的位置关系是( ) A.垂直　　    B.平行 C.重合　　    D.平行或重合     D     解析　由题意得,直线l1的斜率为tan 135°=-1,直线l2的斜率为 =-1,∴直线l1与l2平行或重合. 易错警示　当两直线的斜率都存在时,由两直线平行可以推出两直线的斜率相等;但由两直线的斜率相 等推不出两直线平行,此时还有可能重合.解题时要注意验证. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[教材习题改编]已知直线l过点(0,3),且与直线x+y+1=0平行,则l的方程是( ) A.x+y-2=0　　    B.x-y+2=0 C.x+y-3=0　　    D.x-y+3=0     C     解析　设直线l的方程为x+y+t=0(t≠1).由点(0,3)在直线x+y+t=0上,得0+3+t=0,解得t=-3,因此直线l的方 程为x+y-3=0. 方法点拨　与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C). 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2024辽宁葫芦岛第一高级中学月考]设a∈R,则“a= ”是“直线l1:x+2ay-1=0和直线l2:(a-1)x+ay+1=0 平行”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件     C     解析　若l1∥l2,则1×a=2a(a-1),所以a=0或a= . 当a=0时,l1:x-1=0,l2:-x+1=0,此时l1,l2重合;当a= 时,l1:x+3y-1=0,l2: x+ y+1=0,此时l1∥l2. 所以“a= ”是“直线l1:x+2ay-1=0和直线l2:(a-1)x+ay+1=0平行”的充要条件. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　两条直线的垂直 9.[2025福建泉州四校联考]已知直线l1:3x- y+15=0,若直线l2与l1垂直,则l2的倾斜角为( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      A     解析　易得l1的斜率为 .因为l2⊥l1,所以l2的斜率为- =- .设l2的倾斜角为θ,则tan θ=- ,又0≤θ<π, 所以θ= . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025湖北鄂州部分高中教科研协作体期中]已知直线l1:2x-y+1=0,l2:3x+ay+7=0,l3:bx+2y-1=0,若l1⊥l2 且l2∥l3,则a+b的值为 ( ) A.-5　　    B.5　　     C.-7　　    D.7     D     解析    因为l1⊥l2,所以2×3+(-1)×a=0,解得a=6,则l2:3x+6y+7=0,又l2∥l3,所以 = ≠- ,解得b=1,故a+b=7. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026广东惠州华罗庚中学月考]已知直线l1经过A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过C(2,3),D(1,a-2).若l1⊥l2,则 a= ( ) A.3　　    B.5　　     C.2　　    D.2或5     D     解析　当a-2=3,即a=5时,直线l1的斜率不存在,此时直线l2的斜率为 =0,所以直线l1与直线l2垂直,满足 条件;当a-2≠3时,直线l1的斜率存在,为 ,又直线l2的斜率为 ,且l1⊥l2,所以 · =-1,解得a=2. 综上,a的值为5或2. 易错警示　利用斜率解决平行、垂直问题时,要注意考虑斜率不存在的情况. 第1讲　描述运动的基本概念 12.已知两点A(2,0),B(3,4),直线l过点B,且交y轴于点C(0,y),O是坐标原点,O,A,B,C四点共圆,则y的值是  ( ) A.19　　　B. 　　     C.5　　 　D.4     B     解析　由O,A,B,C四点共圆可得四边形OABC的对角互补.又由题意得∠COA=90°, 所以∠CBA=90°, 所以AB⊥BC,所以kAB·kBC=-1, 即 · =-1, 解得y= . 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026江苏无锡江阴第二中学月考]已知a>0,b>0,直线l1:(a-1)x+y-1=0,l2:x+2by+1=0,且l1⊥l2,则 + 的 最小值为_________.     8     解析　因为l1⊥l2,所以(a-1)×1+1×2b=0, 即a+2b=1, 又a>0,b>0,所以 + = (a+2b) =2+2+ + ≥4+2 =8, 当且仅当 = ,a+2b=1,即a= ,b= 时等号成立,所以 + 的最小值为8. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2025江苏盐城月考]点A(1,2)关于直线l:x+2y-1=0对称的点的坐标为_________. 解析　设对称点的坐标为(a,b), 则 解得  所以对称点的坐标为 . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 2.2 直线及其方程 2.2.3 两条直线的位置关系 第1讲　描述运动的基本概念 题组　两直线的位置关系及其应用 1.若直线2mx+y-2=0与直线x+(3-m2)y+2=0互相垂直,且交点位于第三象限,则实数m的值为( ) A.1　　     B.3　　     C.-1　　    D.-3     C     解析　因为直线2mx+y-2=0与直线x+(3-m2)y+2=0互相垂直,所以2m+3-m2=0,解得m=3或m=-1. 当m=3时,由 得交点坐标为 ,不符合题意; 当m=-1时,由 得交点坐标为 ,满足题意. 综上,实数m的值为-1. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026北京第二中学期中]已知三条直线l1:x-2y+2=0,l2:x-2=0,l3:x+ky=0将平面分为六个部分,则满足条 件的k的值共有 ( ) A.1个　　    B.2个　　     C.3个　　    D.无数个     C     思路点拨    条件“三条直线将平面分为六个部分”可转化为“三条直线交于一点或l3与l1平行或l3与l2 平行”. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　当三条直线交于一点时,可将平面分为六个部分, 联立 解得  将 代入x+ky=0,得2k+2=0,解得k=-1; 当l3:x+ky=0与l1:x-2y+2=0平行时,满足要求,此时k=-2; 当l3:x+ky=0与l2:x-2=0平行时,满足要求,此时k=0. 综上,满足条件的k的值共有3个. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026湖北武汉华中师大一附中月考]将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相等)的纸折叠一次, 使点(2,0)与点(-2,4)重合,点(2 021,2 022)与点(m,n)重合,则m+n= ( ) A.1　　     B.2 023　　     C.4 043　　    D.4 046     C     解析　记A(2,0),B(-2,4),则kAB= =-1. 由题知过点(2 021,2 022)与点(m,n)的直线与直线AB平行,所以 =-1,所以m+n=4 043. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2025广东广州第十六中学检测]已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0能构成三角形, 则实数m的值可能为( ) A.2　　    B.- 　　    C.- 　　    D.      AD     解析　因为三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0能构成三角形,所以直线mx-y-1=0与直线2x-3y+1= 0,4x+3y+5=0都不平行,且直线mx-y-1=0不过直线2x-3y+1=0与4x+3y+5=0的交点. 当直线mx-y-1=0与直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0都不平行时,m≠ 且m≠- .由 解得  所以直线2x-3y+1=0与4x+3y+5=0的交点坐标为 ,将其代入mx-y-1=0,得m=- ,所以实数m的取值 范围为m≠- 且m≠± .结合选项可知,实数m的值可能为2, . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026安徽亳州段考]已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+2(k为常数)上两个不同的点,则关于l1:a1x+b1y- 2=0和l2:a2x+b2y-2=0的交点情况,正确的是 ( ) A.无论k,P1,P2如何,总有唯一交点 B.存在k,P1,P2使之有无数个交点 C.无论k,P1,P2如何,总是无交点 D.存在k,P1,P2使之无交点     A     解析　因为P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+2(k为常数)上两个不同的点,直线y=kx+2的斜率存在,所以k=  ,a1≠a2,且b1=ka1+2,b2=ka2+2,所以a2b1-a1b2=ka1a2-ka1a2+2a2-2a1=2a2-2a1,联立 可得(a1b2-a 2b1)x=2(b2-b1),即(a1-a2)x=b2-b1,所以方程有唯一解,即无论k,P1,P2如何,l1与l2总有唯一交点. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026湖南长沙雅礼中学月考]已知直线l1:x-my-2=0与直线l2:mx+y+2=0交于点Q,m是实数,O为坐标原 点,则|OQ|的最大值是__________.     2      第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:联立 得 即Q , 所以|OQ|= = = , 若|OQ|最大,则 最小,则1+m2最小, 又m∈R,故1+m2≥1,当且仅当m=0时取等号,此时|OQ|max=2 ,所以|OQ|的最大值是2 . 解法二:易知直线l1恒过定点(2,0),直线l2恒过定点(0,-2),且l1⊥l2,记A(2,0),B(0,-2).如图所示:   可知点O,Q,A,B四点共圆,故可得|OQ|max=|AB|=2 . 第1讲　描述运动的基本概念 7.某县相邻两镇在同一平面直角坐标系中的位置分别为A(-3,-4),B(6,3),交通枢纽的坐标为C(0,-1),计划 经过C修建一条马路l(l看成一条直线,l的斜率为k),若A,B两个镇到马路l的距离相等,则k=___________.      或      解析　若A,B两个镇到马路l的距离相等,则有两种情况:当l与直线AB平行时,k= = ;当l与直线AB相 交时,直线l过AB的中点,又AB的中点为 ,所以k= = .故k= 或k= . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2024湖南常德汉寿第一中学月考]在平面直角坐标系xOy中,四边形OPQR的顶点分别为O(0,0),P(1,t), Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0且t≠ ,则四边形OPQR的形状为_______. 　矩形     解析　当t>0且t≠ 时,由斜率公式,得kOP= =t,kQR= = =t,kOR= =- ,kPQ= = =-  ,kOQ= = ,kPR= . ∴kOP=kQR,kOR=kPQ,∴OP∥QR,OR∥PQ, ∴四边形OPQR为平行四边形.又kOP·kOR=-1,∴OP⊥OR,∴平行四边形OPQR为矩形. 令kOQ·kPR=-1,得 · =-1,无实数解, ∴OQ与PR不垂直,∴四边形OPQR为矩形. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026福建厦门外国语学校月考]已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相 等的两部分,则实数b的取值范围是_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　易得S△ABC= ×2×1=1. 设直线y=ax+b(a>0)与x轴的交点为M,则M . 由直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,得b>0,所以- <0,故点M在射线OA上. 易得BC所在直线的方程为x+y=1. 设直线y=ax+b(a>0)和BC所在直线的交点为N, 由 得 所以N . ①如图1,当点M和点A重合时,要满足直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则点N为线段 BC的中点,故N , 第1讲　描述运动的基本概念 将A(-1,0),N 代入直线y=ax+b(a>0),解得a=b= . ②如图2,当点M在点O和点A之间时,b> . 由题意得,三角形NMB的面积为 ,则 ×|MB|×yN= ,即 × × = ,所以a= >0,解得b< ,故 < b< . ③如图3,当点M在点A的左侧时,b< ,0<a<1,- <-1,则b>a. 易得AC所在直线的方程为y=x+1. 设直线y=ax+b(a>0)和AC所在直线的交点为P, 由 得 所以P . 第1讲　描述运动的基本概念 由题意得,三角形CPN的面积为 ,则 ·(1-b)·|xN-xP|= ,即 (1-b)· = , 所以2(1-b)2=|a2-1|. 因为0<a<1,所以2(1-b)2=|a2-1|=1-a2,两边开方,得 (1-b)= <1,所以1-b< ,即b>1- ,故1- <b< . 综上,实数b的取值范围是 .             第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026安徽阜阳太和中学月考]已知两直线l1:x+y-1=0和l2:2x-y=0,定点A(1,1). (1)若直线l1恰好为△ABC的角平分线BD所在的直线,直线l2是边AB上的中线CM所在的直线,求△ABC的 边BC所在直线的方程; (2)若直线l过点A,与直线l2在第一象限内交于点P,与x轴正半轴交于点Q,求△POQ(O为坐标原点)的面积 最小时,直线l的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设B(a,b),则M . 易知点B,M分别在直线l1,l2上, 所以 解得 故B(0,1). 设点A(1,1)关于直线l1的对称点为A'(x,y),则线段AA'的中点在直线l1上,且直线AA'与直线l1垂直,所以  解得 故A'(0,0). 因为l1是∠ABC的平分线所在的直线,所以点A'在直线BC上,所以直线BC的方程为x=0. (2)①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,则P(1,2),Q(1,0),所以S△POQ=1. ②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-1=k(x-1)(k≠0,且k≠2). 第1讲　描述运动的基本概念 由 得 故P . 对于y-1=k(x-1),令y=0,得x=1- , 故Q . 因为点P在第一象限内,点Q在x轴的正半轴上, 所以 解得k>2或k<0. 第1讲　描述运动的基本概念 故S△POQ= · · =1+ =1+ >1. 综上,S△POQ的最小值为1,此时直线l的方程为x=1. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　直线的斜率与物理知识的融合 11.光线从点A(-3,4)射出,到x轴上的点B后,被x轴反射到y轴上的点C,又被y轴反射,这时反射光线恰好过 点D(-1,6),则光线BC所在直线的斜率是_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　设B(a,0),C(0,b),过点B,C分别作x轴,y轴的垂线交于点E,如图,   则∠E=90°,所以∠ECB+∠EBC=90°, 所以2∠ECB+2∠EBC=180°, 由反射角等于入射角,得∠EBC=∠ABE,∠DCE=∠BCE,所以∠DCB+∠ABC=180°,所以AB∥CD, 故kAB=kCD,即 = ,得ab-6a+3b-14=0, 又由反射角等于入射角,可得直线AB的倾斜角与直线BC的倾斜角互补,所以kAB=-kBC,即 =- ,即ab +4a+3b=0, 第1讲　描述运动的基本概念 联立 解得  故B ,C ,所以kBC= = . 第1讲　描述运动的基本概念 $