第2章 03-2.2.2 直线的方程（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教B版）

该高中数学课件聚焦“直线及其方程”核心内容，涵盖点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式方程，通过复习倾斜角与斜率知识导入，以题组形式衔接不同方程形式，构建从基础到应用的学习支架。 其亮点在于精选多地名校月考真题，分题组强化方程转化与应用训练，注重易错点辨析（如截距与距离区别）和数学建模（如面积最值问题）。通过数学思维的推理训练和数学语言的规范表达，提升学生抽象能力与应用意识，为教师提供分层教学资源，助力高效课堂。

第二章 平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 2.2 直线及其方程 2.2.2 直线的方程 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　直线的点斜式方程与斜截式方程 1.[2025广东深圳大学附属实验中学段考]已知直线l的倾斜角为120°,在y轴上的截距是3,则直线l的方程 为 ( ) A.y= x+3　　    B.y=- x+3 C.y=- x+3　　    D.y=- x-3     C     解析　易得直线l的斜率为tan 120°=- ,所以直线l的方程为y=- x+3. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026湖北黄冈第一高级中学月考]已知直线l的倾斜角为60°,且过点(2, ),则l在y轴上的截距为  ( ) A.-1　　    B.- 　　    C.1　　    D.  B     解析　易得直线l的斜率为tan 60°= ,所以直线l的方程为y- = (x-2). 令x=0,得y=- ,所以l在y轴上的截距为- . 易错警示　距离和截距是两个不同的概念,距离恒非负,而截距是一个数值,可正,可负,也可为0. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025上海南洋中学月考]若直线y=x+1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得到直线l,则直线l的点斜 式方程为__________________.     y-4=-(x-3)     解析　∵直线y=x+1的斜率为1,∴其倾斜角为45°.∴直线l的倾斜角为135°,∴直线l的斜率为tan 135°=-1. 又点P(3,4)在直线l上,∴直线l的点斜式方程为y-4=-(x-3). 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026河北衡水中学月考]若直线y=kx+b经过点(1,8),且在两坐标轴上的截距互为相反数,则k的所有可 能取值之和为_________.     9     解析　因为直线y=kx+b经过点(1,8),所以k+b=8,则直线y=kx+b即y=kx+8-k. 当k=0时,直线y=kx+8-k即y=8,其在x轴上的截距不存在,不满足题意,所以k≠0. 令x=0,则y=8-k,令y=0,则x=1- . 由题意知8-k+1- =0,化简得k2-9k+8=0,解得k=1或k=8, 故k的所有可能取值之和为1+8=9. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026山东济南外国语学校月考]已知△ABC的三个顶点A(4,0),B(0,5),C(0,3),求: (1)AB边上的中线所在直线的方程; (2)AB边上的高所在直线的方程. 解析    (1)设AB边的中点为D(x,y), 由题得 所以D ,所以kCD= =- , 根据直线的点斜式方程得y-3=- x,即x+4y-12=0. (2)设AB边上的高所在直线的斜率为k,由题意得kAB= =- ,由k·kAB=-1,可得k= , 根据直线的点斜式方程得y-3= x,即4x-5y+15=0. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　直线的两点式方程与截距式方程 6.[2025江苏南京师范大学附属中学期中]过点(-2,4)和(4,-1)的直线在x轴上的截距为( ) A. 　　    B.- 　　    C. 　　    D.-      A     解析　由直线的两点式方程得 = ,即5x+6y-14=0. 令y=0,得x= ,所以直线在x轴上的截距为 . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026广东广州培英中学月考]两条直线 - =1与 - =1的图形可能是 ( )     B     解析    直线 - =1在x轴,y轴上的截距分别是m,-n,直线 - =1在x轴,y轴上的截距分别是n,-m,因此四个 截距中两正两负,对照选项中图形知B正确. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[多选题][2026河南濮阳第一高级中学月考]下列说法正确的是 ( ) A.在两坐标轴上的截距相等的直线都可以用方程 + =1表示 B.方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行于y轴的直线 C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tan θ(x-1) D.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程为(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0     BD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,当直线在两坐标轴上的截距相等且均不为零时,直线可用方程 + =1表示;当截距都是 零时,不可用此方程表示,故A错误. 对于B,当m=0时,方程为x-2=0,此时所表示的直线与y轴平行,故B正确. 对于C,当θ=90°时,tan θ不存在,此时直线方程为x=1,故C错误. 对于D,当x1≠x2时,由直线的点斜式方程,可得y-y1= (x-x1),可整理为(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)·(y-y1)=0;当x1=x 2时,直线方程为x=x1或x=x2,又此时方程(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0可整理为x=x1,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026广东佛山华南师范大学附属中学南海实验高级中学质检]已知从点(5,2)发出的一束光线,经x轴 反射后,反射光线恰好过点(1,2),则入射光线所在直线的方程为 ( ) A.x-y-3=0　　    B.x+y-7=0 C.x-y+3=0　　    D.x+y-3=0     A     解析　易知点(1,2)关于x轴的对称点为(1,-2),所以入射光线所在直线过点(1,-2),(5,2),所以入射光线所在 直线的方程为 = ,即x-y-3=0.   第1讲　描述运动的基本概念 10.[易错题][2025广东深圳期中]已知直线l过点(1,3),且在x轴上的截距是在y轴上的截距的3倍,则直线l 的方程为________________________.     x+3y-10=0或3x-y=0     解析　当截距均为0(易错点)时,设直线l的方程为y=kx,将点(1,3)代入,得k=3,所以直线l的方程为y=3x,即 3x-y=0. 当截距均不为0时,设直线l的方程为 + =1(a≠0),将点(1,3)代入,得 + =1,解得a= ,所以直线l的方 程为 + =1,即x+3y-10=0. 综上,直线l的方程为x+3y-10=0或3x-y=0. 第1讲　描述运动的基本概念 11.过点P(1,3)的直线l与x轴,y轴分别交于点A,B,若P为AB的中点,则直线l的截距式方程是_____________.      + =1     解析　设点A(m,0),B(0,n),由点P(1,3)是AB的中点可得m=2,n=6,即A,B的坐标分别为(2,0),(0,6),则直线l的 截距式方程为 + =1. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　直线的一般式方程 12.[2026山西长治学院附属太行中学校月考]在平面直角坐标系中,直线 x-y+3=0绕它与x轴的交点A 按顺时针方向旋转30°所得的直线方程是( ) A.x- y- =0　　    B.x=  C.x- y+ =0　　    D.x- y+3 =0     C     解析　易知直线 x-y+3=0的斜率为 ,倾斜角为60°,与x轴的交点为A(- ,0).绕A按顺时针方向旋转30 °所得的直线的倾斜角为60°-30°=30°,故斜率为tan 30°= ,∴旋转后所得的直线的方程为y-0= (x+  ),即x- y+ =0. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2025四川雅安芦山中学期中]若方程(m2-4)x+(m2-2m)y+1=0表示一条直线,则实数m的取值范围为  ( ) A.m≠0　　     B.m≠2 C.m≠±2　　    D.m≠±2且m≠0     B     解析　当m2-4=0时,m=2或m=-2; 当m2-2m=0时,m=0或m=2. ∵方程(m2-4)x+(m2-2m)y+1=0表示一条直线,∴m2-4,m2-2m不能同时为0,∴m≠2. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[教材习题改编][2026河北沧州盐山中学月考](1)求经过点(0,2),且倾斜角为 的直线的一般式方程; (2)求经过点(1,2),且一个方向向量为v=(1, )的直线的一般式方程; (3)在△ABC中,点A(8,4),B(4,-1),C(-6,3),求BC边上的中线所在直线的一般式方程. 解析    (1)因为直线的倾斜角为 ,所以直线的斜率k=tan = ,又直线经过点(0,2),所以所求直线方程为 y= x+2,即 x-y+2=0. (2)由直线的一个方向向量为v=(1, ),得直线的斜率为 ,又直线经过点(1,2),所以所求直线方程为y-2=  (x-1),即 x-y+2- =0. (3)易得BC的中点为(-1,1),又A(8,4), 所以BC边上的中线所在直线的方程为 = ,即x-3y+4=0. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　直线方程几种形式的相互转化 15.[2025陕西西安交通大学附属中学月考]若直线的截距式方程 + =1化为斜截式方程为y=-2x+b,化 为一般式方程为bx+ay-8=0(a>0),则a+b= ( ) A.-2　　    B.2　　    C.6　　    D.8     C     解析　由 + =1得y=- x+b,即bx+ay-ab=0, 所以 又a>0,所以 所以a+b=6. 第1讲　描述运动的基本概念 16.[2025湖南浏阳期中]瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重 心、垂心在同一条直线上,这条直线被称为“欧拉线”.已知△ABC的顶点为A(-3,0),B(3,0),C(3,3),则△ ABC的欧拉线方程为( ) A.2x-y-1=0　　    B.2x+y- =0 C.x+2y-3=0　　    D.x-2y+1=0     C     解析　由题意得,△ABC的重心为 ,即(1,1),BC⊥AB,所以△ABC的外心为斜边AC的中 点,即点 ,所以△ABC的欧拉线方程为 = ,即x+2y-3=0. 第1讲　描述运动的基本概念 17.[2026辽宁沈阳第二中学月考]已知直线(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0,若它分别与x轴、y轴的负半轴交于 点A,B,坐标原点为O,则三角形AOB的面积最小时的直线的方程为________________.     2x+y+4=0     解析    方程(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0,即(2y-x+3)m+2x+y+4=0,令2y-x+3=0,且2x+y+4=0,解得x=-1,y=-2,即 直线恒过定点(-1,-2).由题可设直线方程为 + =1,其中a,b<0,则A(a,0),B(0,b),- - =1.由基本不等式可 知,1= + ≥2 ,解得ab≥8,当且仅当 = ,即a=-2,b=-4时取等号,故△AOB的面积S= |ab|的最小 值为4,此时直线方程为 + =1,即2x+y+4=0. 第1讲　描述运动的基本概念 18.[2026黑龙江鸡西实验中学月考]已知直线l:(2a+3)x-(a-1)y+3a+7=0,a∈R. (1)证明直线l过定点,并求出定点的坐标; (2)若直线l'过(1)中的定点,且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍,求直线l'的方程; (3)若直线l不经过第四象限,求a的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)整理直线l的方程,得(2x-y+3)a+3x+y+7=0,因为此式对a∈R都成立,所以2x-y+3=0,且3x+y+7=0, 联立 解得  所以直线l过定点,该定点的坐标为(-2,-1). (2)当直线l'在两坐标轴上的截距均为0时,其方程为y= x,即x-2y=0(易错点); 当直线l'在两坐标轴上的截距不为0时,设其方程为 + =1, 则 解得  则直线l'的方程为 + =1,即12x+y+25=0. 综上可知,直线l'的方程为x-2y=0或12x+y+25=0. 第1讲　描述运动的基本概念 (3)根据题设条件分为三类:斜率不存在,斜率为0,斜率不为0. 当a=1时,直线l的方程为x=-2,符合题意; 当a=- 时,直线l的方程为y=-1,不符合题意; 当a≠1,且a≠- 时,直线l的方程为y= x+ , 所以 ⇒  解得a>1或a≤- . 综上所述,当直线l不经过第四象限时,a的取值范围是 ∪[1,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 2.2 直线及其方程 2.2.2 直线的方程 第1讲　描述运动的基本概念 题组　直线方程的应用 1.[易错题][2025江苏盐城七校联考]已知直线l的方程为(a-2)y=(1-3a)x-1,若直线l不经过第一象限,则实 数a的取值范围为 ( ) A.a>2　　     B. ≤a≤2 C.a≥2　　    D.a>      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　若直线l的斜率不存在,则a=2,l:x=- ,不经过第一象限. 若直线l的斜率存在,则a≠2,l:y= x- , 所以 所以a>2. 综上,实数a的取值范围为a≥2. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026吉林长春第二实验中学月考]在平面直角坐标系xOy中,曲线C: +|y|=1的周长为 ( ) A.4　　    B.6　　     C.8　　    D.10     C     解析　在曲线C的方程 +|y|=1中,将x用-x代换,或将y用-y代换,或两种代换同时进行,方程都没有变, 所以曲线C关于x轴,y轴,原点对称, 当x≥0,y≥0时,曲线C的方程为 +y=1,表示以( ,0)和(0,1)为端点的线段,其长度为 =2, 根据对称性知,其他三条线段的长也为2,所以曲线C: +|y|=1的周长为4×2=8. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2025福建福鼎第一中学月考]在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线l过点(2,3),与两坐标 轴分别交于点A,B,设△OAB的面积为m,则下列正确的有 ( ) A.存在正实数m,使得满足条件的直线l恰有一条 B.存在正实数m,使得满足条件的直线l恰有两条 C.若存在三条直线,使得△ABO的面积为m,则m=12 D.若存在四条直线,使得△ABO的面积为m,则m>24     BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意知,直线l的斜率存在且不为0,可设其方程为y=k(x-2)+3(k≠0). 令x=0,得y=3-2k;令y=0,得x=2- . 不妨令A ,B(0,3-2k). 由题意得 解得k≠ , 所以m= × ×|3-2k|=2 . 令f(k)=2 ,k∈(-∞,0)∪ ∪ ,作出其图象如图所示, 第1讲　描述运动的基本概念   由图可知,当0<m<12时,k有两解;当m=12时,k有三解;当m>12时,k有四解.所以A,D错误,B,C正确. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2025重庆名校联盟联考]已知直线l过点(0,4),且与直线 x-y+4=0及x轴围成等腰三角形,则 直线l的方程为 ( ) A. x+y-4=0　　    B. x-2y+8=0 C. x-y+3=0　　    D. x-3y+12=0     AD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　记(0,4)为点A,易知点A(0,4)在直线 x-y+4=0上.设直线 x-y+4=0与x轴的交点为B,则B  . 当直线l的斜率不存在时,因为直线l过点(0,4),所以直线l的方程为x=0,显然△AOB不是等腰三角形. 当直线l的斜率存在时,易知点B关于y轴的对称点为 ,记为C. 若直线l过A,C两点,则|AB|=|AC|,△ABC是等腰三角形,此时直线l的方程为 + =1,即 x+y-4=0. 若直线l不过C点,设直线l与x轴相交于点D,如图所示, 第1讲　描述运动的基本概念   因为直线AB的斜率为 ,所以直线AB的倾斜角为 ,若|AB|=|BD|,则∠ADB= ,所以直线l的斜率为 , 故直线l的方程为y= x+4,即 x-3y+12=0. 综上,直线l的方程为 x+y-4=0或 x-3y+12=0. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江苏南京第五高级中学月考]已知直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜 率k的取值范围是_________________.     (-∞,-1)∪      解析　由题意可知k≠0,且直线l的方程为y=k(x-1)+2,令y=0,得x=1- , 因此-3<1- <3,即-2< <4,解得k<-1或k> ,所以斜率k的取值范围是(-∞,-1)∪ . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026河北沧州沧县中学月考]在平面直角坐标系xOy中,直线ax-y-a=0过定点M,点P在直线x=2上,则tan ∠OPM的最大值为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　直线ax-y-a=0即a(x-1)-y=0,可知其过定点(1,0),即M(1,0). 设P(2,t),A(2,0),注意到∠OPM=∠PMA-∠POM, 则|tan∠OPM|=|tan(∠PMA-∠POM)|= , 而tan∠PMA= =|t|,tan∠POM= = , 故|tan∠OPM|= = ≤ = , 于是tan∠OPM≤|tan∠OPM|≤ ,当t=± 时,等号成立,故tan∠OPM的最大值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏无锡青山高级中学阶段检测]如图,为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一块矩形草坪, 另外△AEF内部为一文物保护区域,不能占用,经过测量,|AB|=100 m,|BC|=80 m,|AE|=30 m,|AF|=20 m,应 该如何设计才能使草坪的面积最大?   第1讲　描述运动的基本概念 解析　建立如图所示的平面直角坐标系,则E(30,0),F(0,20),所以直线EF的方程为 + =1. 在线段EF上取一点P(m,n),0≤m≤30,0≤n≤20,作PQ⊥BC于Q,PR⊥CD于R,则矩形PQCR即为要建的矩 形草坪. 设矩形PQCR的面积是S,则S=|PQ|·|PR|=(100-m)·(80-n).又因为 + =1(0≤m≤30),所以n=20 (0 ≤m≤30),故S=(100-m) =- (m-5)2+ (0≤m≤30),所以当m=5时,S有最大值,此时 =  =5,即当点P为线段EF上靠近点F的六等分点时,草坪的面积最大. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025北京门头沟期中]已知直线l1,l2均过点P(1,2). (1)若直线l1过点A(-1,3),且l1⊥l2,求直线l2的方程; (2)如图,O为坐标原点,若直线l1的斜率为k,其中0<k<2,且与y轴交于点N,直线l2过点Q (R为常 数),且与x轴交于点M,求直线l1,l2与两坐标轴围成的四边形PNOM的面积的取值范围.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为直线l1过点P(1,2),A(-1,3), 所以直线l1的斜率为 =- , 因为l1⊥l2,所以 · =-1,所以 =2, 所以直线l2的方程为y-2=2(x-1),即y=2x. (2)根据题意可得直线l1的方程为y-2=k(x-1), 令x=0,得y=2-k,即N(0,2-k), 令y=0,得x=- +1, 设直线l1与x轴的交点为T,则T . 因为直线l2过点P(1,2),Q , 第1讲　描述运动的基本概念 所以直线l2的方程为y-2= (x-1),即y-2=- (x-1),令y=0,得x=R2+1,即M(R2+1,0), 所以S四边形PNOM=S△TPM-S△TNO=  R2+1-  ×2- × ×(2-k)=R2+ - =R2+ =R2- +2,又0 <k<2,所以S四边形PNOM∈(R2+1,R2+2). 第1讲　描述运动的基本概念 $