第2章 学案20 直线的两点式方程-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

人教B版数学选择性必修第一册 课 学案20直线的两点式方程 记 昆学习任务 1.掌握直线的两，点式方程的形式、特，点及适用范围.（数学抽象） 2.了解直线的截距式方程的形式、特点及适用范围.（数学抽象） 3.能用直线的两，点式方程和截距式方程解决有关问题.（逻辑推理、数学运算） 2.当x1=x2时，直线P1P2垂直于x轴，直线方 课堂活动 程为x一x1=0,即 ;当y1=y2时，直 活动一掌握直线的两点式方程 线P1P2垂直于y轴，直线方程为y一y1=0, 阄新知导学 即y=y1: 提醒：(1)当经过两点(x1,y1),(x2,y2)的直线 阅读教材P86,完成下列问题. 斜率不存在(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时， 问题1我们知道已知两点可以确定一条直线， 不能用两点式方程表示. 在平面直角坐标系中，给定一个点P。(xo,yo) (2)两点式方程与这两个点的顺序无关 和斜率，可得出直线方程.如图，给定直线1 (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分 上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,试用 母之比，也就是同一条直线的斜率相等。 点斜式写出直线l的方程。 新知应用 P2(x2y2) 在△ABC中，已知点A(-3,2),B(5,-4), P(x11) C(0,-2). 0 (1)求BC边所在直线的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程. 问题2给定直线l上两点P1(x1y1),P2(x2y2), x1≠x2,任选直线上一点P(x,y),其中P不与 P1,P2重合，那么k那，与p,P,有什么关系？ 「方法总结」利用两点式求直线方程的思路 厅新知生成 首先要判断是不是满足两点式方程的适用条件. 1.经过两点P(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠ 若满足即可考虑用两点式求方程.在斜率存在的 x2y1≠y2)的直线方程为 情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点 称为直线的两点式方程 斜式写方程. 1162 直线的两点式方程学案20 活动二。掌握直线的截距式方程 母题变式(1)：若将本题中的条件“截距互为相反 听 数”改为“截距相等”，其他条件不变，求直线的 阄新知导学 方程. 笔 阅读教材P87,完成下列问题， 问题3若给定直线上两点A(a,0),B(0,b)(a≠0， b≠0)，能否得出直线的方程？ 母题变式(2)：已知直线1过点A(3,4),且在两坐 标轴上的截距（不为0）互为相反数.若直线1 后新知生成 上有一动点P(x,y),求xy的最小值. 方程后+名=1a≠0.6≠0)由直线在两个坐标 a 轴上的截距a与b确定，此方程称为直线的截 距式方程.此时直线在x轴上的截距是 在y轴上的截距是 提醒：(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距， 可以直接代入截距式求直线的方程，与坐标轴 平行和过原点的直线都不能用截距式表示 「方法总结」求直线的截距式方程的注意点 (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直 (I)若直线的截距相等，则直线过原点或者斜率为 线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来 一1；若直线的截距互为相反数，则直线过原点或 作图 者斜率为1. (3)过原点的直线的横、纵截距都为零. (2)下列三种情况下，不能用截距式表示直线： ①斜率不存在； 今新知应用 ②斜率为0； 求过点A(3,4),且在两坐标轴上的截距互为相 ③直线过原点. 反数的直线l的方程. 故用截距式求直线方程时，横截距和纵截距都必： 须存在且都不为零，当截距情况不确定时，要考虑 截距为零的情况. (3)在利用截距式求直线方程时，有时需分类讨 论，尤其在涉及截距相等或截距是倍数的关系时， 要分直线过原点和不过原点两种情况进行讨论.· 活动三截距式方程的应用 新知应用 直线1过点P(停，2，且与x轴的正半轴y轴 的正半轴分别交于A,B两点，O为坐标原点. 6311 人教B版数学选择性必修第一册 (1)当△AOB的周长为12时，求直线1的 C.不与坐标轴重合或平行的直线，其方程一定 课 方程； 可以写成截距式 记 (2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程. D.不与坐标轴重合或平行的直线，其方程一定 可以写成两点式 2若直线后+名-1过第-、三四象限，则 a ( A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 3.经过点A(-3,2),B(4,4)的直线在y轴上的 「方法总结」直线的截距式方程是两点式方程 截距是 () 的特殊情况（两个点是直线与坐标轴的交点，记为 (a,0),(0,b),用它来画直线以及求直线与坐标 B、20 7 C.10 D.-2 轴围成的图形的面积或周长时较为方便，直线与 4.经过点（一2,4）且在两坐标轴上的截距互为相 坐标轴围成的三角形的面积S=}a·b1,周 反数的直线方程是 A.y=x+6 长C=|a|+|b|+√a+b2, B.y=2x+8 七课堂小结 C.y=-2x或y=x+6 1.知识清单： D.y=-2x或y=2x十8 (1)直线的两点式方程 5.若直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的 (2)直线的截距式方程. 取值范围是（一3,3），则其斜率的取值范围 (3)截距式方程的应用， 是 2.方法归纳：公式法、待定系数法、分类讨论法， 6.已知直线1过点A(2,3),且分别与x轴的正半 3.常见误区：忽略当直线过原点时，直线在坐标轴 轴交于M点，与y轴的正半轴交于N点. 上的截距都为0,0与0既相等、相反，也是倍数 (1)若A为MN的中点，求直线1的方程； 关系 (2)求|OM|+2|ON|的最小值. 七课堂达标 1.(多选)下列说法中不正确的是 ( A.经过定点P。(xo,y)的直线都可以用方程 y一y0=k(x-xo)来表示 B.经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y= kx+b来表示 课后反思 11644.y十1=3(x-3)[因为直线y=-3x十1的斜率为-3， 所以号吉即y品- -3-25 可得共倾针角为子 2-(-3) 所以BC边上的中线所在直线的方程是 由题意可得直线L的倾斜角为，其斜率A=an召=万， 又直线l过点P(W3,一1)， 活动二 所以直线1的方程为y十1=5(x一√3).] 新知导学 5-2[由题态得直线方粒为y十3=一号（红-2》， 问题3提示：由两点式方程得二}-看二，即后+名-1@ b-00-a a 令x=0,解得y=一2，即直线在y轴上的裁距为一2.] ≠0，b≠0). 6.解：(1)证明：由y=kx+k一1，得y十1=(x+1), 新知生成 由直线方程的，点斜式可知，直线1过定点（一1，一1） a b (2)若当一4<x<4时，直线L上的点都在x轴下方， 新知应用 则{桃0解得一专<≤行 1 解：①当直线1在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时， 4k+k-1≤0， 可设直线1的方程为工十y=1.又1过点A(3,4),所以3 所以k的取值范国是一了，」 「117 -a a =1,解得a=-1,所以直线1的方程为号十兰=1， (3)设直线L与x轴的交点为A,与y轴的交点为B,坐标原 点为O. 即x-y+1=0. 当x=0时，得|OB|=|-1|,当y=0时，得|OA ②当直线1在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直 =161 线1过原，点，设直线L的方程为y=kx.因为l过点A(3,4), 所以4=·3，解得负=专直线1的方程为y=亭，印红 所以5m=号0A1OB=号k-1×1 3y=0. 即2-10×☆=1， 。1 综上，直线1的方程为x一y十1=0或4x一3y=0. 母题变式(1)：解：①当裁距不为0时，设直线1的方程为工十 a 解得k=2十√3或k=2一√3， 所以直线1的方程为y=(2十√5)x十1十√3或y=(2-一√5) 义=1(a≠0). a +1-√3. 又1过点A(3,4),所以。十。=1，解得a=7) 学案20直线的两点式方程 所以直线l的方程为x十y一7=0. 课堂活动 ②当截距为0时，设直线1的方程为y=kx 活动一 又1过点A(3,4),所以4=k·3,解得=4 1 新知导学 4 问题1提示y一y,=二当（红一x). 所以直线1的方程为y=3x,即4虹一3y=0. x2-x1 综上，直线1的方程为x十y-7=0或4x-3y=0. 问题2提示：m,=,即二头-二 母题变式(2)：解：由原题知，直线1的方程为x一y十1=0， x-x1x2一x1 1121 新知生成 xy=x(红+1)=x2+x=(x+2）-4: 1.y-y=x一x1 y2-y1x2-x1 当x=一 时y的最小值是一子 2.x=x1 活动三 新知应用 新知应用 解：(1)BC边过点B(5,-4),C(0,-2), 由两成式好气黄后昌 解：0)授直线1的方程为产+号-1。>0,6>0)， a 国为度线址点P(告2)，所以名+号=1,0 由△A0B的周长为12，得a+b+√a2+b=12,② 故BC边所在直线的方程是y=一2 5x2. 〔12 a5' (2)设BC边的中点为M(a,b), 联主0②解得6“我 b=3 9 b=2 2 =一3， 所以直线l的方程为3x+4y-12=0或15x十8y-36=0. 所以M(停，-3)又BC边的中线过点A(-3,2 (2)授直线1的方程为后+名=1a>0,6>0), 1130 1 由题意知，2ab=6,即ab=12,③ 1oM1+210N1=a+26=a+2b)(2+8）-2+6+0 联立①③，解得口=4， a=2, 3a 或 6=36=6. ≥8+43， 所以直线l的方程为3x+4y-12=0或3x十y-6=0. 当且仅当他-%即a=2+23,6=3+原时取等号 课堂达标 1.ABC[对于A,点斜式方程适用于斜率存在的直线，故A 故|OM+2ON|的最小值为8+4√3. 错误； 学案21直线的一般式方程 对于B,斜截式方程适用于斜率存在的直线，故B错误； 对于C,截距式方程适用于不与坐标轴重合或平行且不过原 课堂活动 点的直线，故C错误； 活动一 对于D,两点式方程适用于不与坐标轴重合或平行的直线，故 新知导学 D正确. 问题1提示：y=3x十2可以化成3x-y+2=0的形式，是二 故选ABC.] 元-次方程，5x十2y-7=0可以化为y=-名x+号的形 5 2.B[直线过第一、三、四象限，∴.它在x轴上的戴距为正， 在y轴上的截距为负，即a>0,b<0.] 式，可以表示一条直线 3.A[经过点A(-3,2),B(4,4)的直线的方程为二 问题2提示：直线的方程都可以化为二元一次方程；二元一次 4-2 方程都表示直线。 即y+9 新知生成 2.y-y1=k(x-x1)y=kx+b Ax+By+C=0 当x=0时，解得y=7, 20 新知应用 解：(1)因为直线的斜率k=2,且经过，点A(1,3),由直线的点 故选A.] 斜式方程可得y-3=2(x-1),整理可得2x-y十1=0，所以 4.C[设直线在x轴上的裁距为a, 直线的一般式方程为2x-y十1=0. 当a=0时，设所求直线的方程为y=x, (2)由直线的斜率k=√3，且在y轴上的截距为4，得直线的 将点（一2,4）代入直线方程y=kx, 可得4=一2k,故k=一2，即直线方程为y=一2x; 斜截式方程为y=√3x十4， 当a≠0时，可设直线方程为二十义=1， 整理可得直线的一般式方程为W3x一y十4=0. -a )自直线的两点式方程可得=品垫里得 由直线后+之。=1这点(-20可得，2+兰。=1， a 直线的一般式方程为2x一3y一13=0. 所以a=-6,故直线方程为y=x十6. 所以经过，点（一2,4）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直 （④)由直线的我距式方程可得受+兰4 4=1， 线方程是y=-2x或y=x十6. 整理得直线的一般式方程为2x一y一4=0. 故选C.] (5)y-2=0. 5(-o,-1DU(分，+） 活动二 新知导学 1,2) [设直线L的斜率为k,如图，过 问题3提示：对于Ax十By十C=0(A2+B2≠0)，当B≠0时， 定点A的直线经过点B(3,0) B 时，直线1在x轴上的裁距为 Z3-2-10123Xx 直线的斜率为质=一合故(1，一合)为直线的一个方向向 3,此时k=一1； 量，一般地，(B,一A)是任意直线的方向向量，由直线的法向 过定点A的直线经过点C(-3,0)时，直线1在x轴上的裁距 量与直线的方向向量的垂直关系，可知(A,B)是直线的一个 1 法向量 为一3，此时k=2’ 新知应用 满足条件的直线1的针率的取位范国是（一©，-1DU(分 解：(1)，直线的一个法向量为=(2，一3)， ,设直线的一般式方程为2x一3y十C=0, +∞)] 代入点(2,1)得4-3+C=0, 解得C=-1, 6.解：(1)由题意可设直线1的方程为乙+义=1(m,n>0), .直线的方程为2x-3y一1=0. m n 由A(2,3)为MN的中点可知，OM=m=4,1ON|=n=6, (2)法一：直线的一个方向向量为a=(2,4), 故直线1的方程为平+0=1，即3x+2y-12=0, 返=专2， （②)设直线1的方程为后+名-1a,6>0,将2,3》人方 故所求直线方程为y十3=2(x一2) 即2x-y-7=0. 程后+=16>0)，得+号=1 法二：，直线的一个方向向量为a=(2,4), .直线的一个法向量为y=(4,一2)， 311■