第2章 02-2.2.1 直线的倾斜角与斜率（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教B版）

该高中数学课件聚焦“直线的倾斜角与斜率”，系统覆盖倾斜角定义、斜率公式、方向向量及法向量等核心知识，通过基础题组巩固概念，能力题组深化应用，搭建从基础到综合的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于分层训练与情境化设计，基础题强化概念辨析，提升题培养推理能力，创新题型（如台球反弹）引导用数学眼光观察现实，通过建模转化问题，助力学生发展数学思维与应用意识，也为教师提供丰富教学素材。

第二章 平面解析几何 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 2.2 直线及其方程 2.2.1 直线的倾斜角与斜率 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　直线的倾斜角与斜率 1.下列说法中错误的是 ( ) A.任何一条直线都有唯一的倾斜角 B.若两条直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等 C.直线的倾斜角的取值范围是[0,π) D.若k是直线l的斜率,则k∈R     B     解析    A,C,D中说法显然正确;若两条直线的倾斜角均为90°,则它们的斜率不存在,故B中说法错误. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026河北沧州段考]直线l:x=cos 675π+1的倾斜角为 ( ) A. 　　    B.675π　　    C. 　　    D.0     A     解析　因为cos 675π+1为一常数,所以直线l的倾斜角为 . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[教材习题改编]如图,斜率最小的直线是 ( )   A.l1　　    B.l2　　    C.l3　　    D.l4     B     解析　由题图可知, > >0> > ,故斜率最小的直线是l2. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026天津南开大学附属中学阶段检测]已知直线l1的倾斜角是直线l2的倾斜角的2倍,且l1的斜率为- , 则l2的斜率为 ( ) A.3或- 　　    B.3　　     C. 或-3　　    D.      B     解析　设l2的倾斜角为α,则l1的倾斜角为2α. 由题意得tan 2α= =- ,即3tan2α-8tan α-3=0,解得tan α=3或tan α=- .因为2α∈[0,π),所以α∈ , 所以tan α=3,即l2的斜率为3. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025陕西西安南开高级中学月考]设直线l的斜率为k,且-1≤k< ,则直线l的倾斜角α的取值范围为  ( ) A. ∪ 　　    B. ∪  C. 　　     D. ∪      D     解析　由-1≤k< ,得-1≤tan α< , ∵α∈[0,π),∴α∈ ∪ . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　直线的斜率公式及其应用 6.[2026江苏常州田家炳高级中学期中]已知经过点A(-m,6),B(2,3m)两点的直线的倾斜角为45°,则实数m 的值为 ( ) A.4　　    B.2　　     C.1　　    D.-2     A     解析　由题意得 =tan 45°=1,解得m=4. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025江西八校协作体联考]若将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度,再沿y轴负方向平移5个单位长 度,又回到了原来的位置,则直线l的斜率是 ( ) A.- 　　    B. 　　     C.- 　　    D.      A     解析　设A(a,b)为直线l上任意一点,则平移后的坐标为(a+3,b-5),所以直线l的斜率为 =- . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025北京师范大学附属实验中学月考]已知A(0,3),B(1,2),C(3,m)三点共线,则实数m的值为_______.     0     解析　由题意得kAB=kBC,即 = ,解得m=0. 规律方法　用斜率证明三点共线的方法   第1讲　描述运动的基本概念 题组三　直线的方向向量和法向量 9.[2026安徽淮南崇文高级中学月考]经过A(0,2),B(-1,0)两点的直线的方向向量为(1,k),则k的值为  ( ) A.1　　    B.2　　    C.3　　    D.4     B 解析　∵直线AB的方向向量为(1,k),且经过A(0,2),B(-1,0)两点,∴ = =2,解得k=2. 名师总结　直线的方向向量与斜率的关系 (1)当直线的斜率k存在时,直线的一个方向向量为(1,k); (2)当直线的一个方向向量的坐标为(x,y)(x≠0)时,直线的斜率k= . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025辽宁葫芦岛期中]若直线l的一个法向量是 ,则其倾斜角为 ( ) A.30°　　     B.60°　　     C.120°　　    D.150°     C     解析　由于直线l的一个法向量为 ,所以直线l的一个方向向量为 ,所以其斜率k= =-  ,所以直线l的倾斜角为120°. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026内蒙古包头第九十三中学期中]若直线l的方向向量是(2,2cos θ),则直线l的倾斜角α的取值范围 是 ( ) A. 　　     B.  C. ∪ 　　    D. ∪      C     解析　由题意得,直线l的斜率k= =cos θ. 因为-1≤cos θ≤1,所以-1≤k≤1.又直线l的倾斜角α∈[0,π),所以0≤α≤ 或 ≤α<π. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 2.2 直线及其方程 2.2.1 直线的倾斜角与斜率 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　直线的倾斜角与斜率 1.[多选题][2026安徽大联考月考]已知直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,倾斜角分别为α1,α2,则下列命题正确的 是 ( ) A.若k1=k2,则α1=α2 B.若k1<k2,则α1<α2 C.若k1>k2>0,则α1>α2 D.若α2>α1>90°,则k2>k1     ACD     解析　对于A,若k1=k2,则tan α1=tan α2,因为0°≤α1<180°,0°≤α2<180°,所以α1=α2,故A正确; 对于B,当k1<0<k2时,有0°<α2<90°<α1<180°,故B错误; 对于C,若k1>k2>0,则tan α1>tan α2>0,所以0°<α2<α1<90°,故C正确; 对于D,若α2>α1>90°,则0>tan α2>tan α1,即k2>k1,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2024湖北武汉华中师大一附中月考]过点A(2,1),B(m,3)的直线l的倾斜角α的取值范围是 ,则实 数m的取值范围是( ) A.(0,2]　　    B.(0,4) C.[2,4)　　     D.(0,2)∪(2,4)     B     解析　画出直线的斜率k与倾斜角α的关系的图象,如图,   当直线l的斜率存在,即α∈ ∪ 时,k>1或k<-1,且m≠2,又k= = , 第1讲　描述运动的基本概念 ∴ <-1或 >1,解得0<m<2或2<m<4. 当直线l的斜率不存在,即α= 时,m=2. 综上,实数m的取值范围是(0,4). 方法技巧　已知倾斜角的范围求直线斜率的范围或已知斜率的范围求直线倾斜角的范围时,可结合直 线的倾斜角与斜率的关系的图象,即k=tan α,α∈ ∪ 的图象进行求解,特别要注意倾斜角为 , 即斜率不存在的情况,必要时要分类讨论. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026山东济宁嘉祥第一中学月考]过点P(0,-1)作直线l,若l与连接A(3,-4),B(2,2 -1)两点的线段总有 公共点,则l的斜率的取值范围为______________,l的倾斜角的取值范围为______________.      ∪          [-1, ]     解析　由题意得kBP= = ,kAP= =-1,则直线BP的倾斜角为 ,直线AP的倾斜角为 . 如图:   由图可知,l的斜率的取值范围为[-1, ],则l的倾斜角的取值范围为 ∪ . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　直线斜率的综合应用 4.[2026河北唐山第一中学月考]在平面直角坐标系xOy中,直线l过原点,n=(3,4)是l的一个法向量,则直线l 的倾斜角的余弦值为 ( ) A.- 　　    B. 　　     C. 　　    D.-      A     解析　因为n=(3,4)是直线l的一个法向量,所以直线l的一个方向向量为(4,-3),所以直线l的斜率k=- . 设直线l的倾斜角为θ,则tan θ=- , 由 且0°≤θ<180°,得cos θ=- . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025江苏徐州侯集高级中学检测]已知曲线y=-2x2+7x+3(1≤x≤3),则 的取值范围为 ( ) A.[-8,6]　　     B.(-∞,-8] C.[6,+∞)　　     D.(-∞,-8]∪[6,+∞)     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　函数y=-2x2+7x+3=-2 + (1≤x≤3)的图象如图所示.   当x=1时,y=8;当x=3时,y=6.  的几何意义为曲线上的点(x,y)(x≠2)与点(2,0)的连线的斜率 . 记A(1,8),B(3,6),P(2,0). 易得kPA= =-8,kPB= =6. 令k= ,则由图可得k≥kPB=6或k≤kPA=-8,即 的取值范围为(-∞,-8]∪[6,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026湖北襄阳一中月考]已知点A(-2,1),若点B为曲线L:|x|+|y|=1上一点,则直线AB的倾斜角α的取值范 围是 ( ) A. 　　    B.  C. 　　    D.以上三项都不对     D     解析　对于曲线L:|x|+|y|=1, 当x>0,y>0时,曲线L:x+y-1=0; 当x<0,y>0时,曲线L:-x+y-1=0; 当x<0,y<0时,曲线L:x+y+1=0; 当x>0,y<0时,曲线L:x-y-1=0, 在平面直角坐标系内作出其图形如下: 第1讲　描述运动的基本概念   其中C(-1,0),D(0,-1),E(1,0),F(0,1), 当点B位于点F处时,kAB= =0,则倾斜角α=0; 当点B在正方形CDEF的边上(不包含点F)运动时,kAB≥kAC= =-1, 则倾斜角α满足 ≤α<π. 综上所述,直线AB的倾斜角α的取值范围为 ∪{0},故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026山东淄博第一中学质检]已知A(a+2,a),B(1,-a),C(a-4,a-1)三点构成一个三角形,则实数a的取值范 围是_________________.      ∪      解析　因为A(a+2,a),B(1,-a),C(a-4,a-1),所以kAC= = .当a+2=1,即a=-1时,A(1,-1),B(1,1),C(-5,-2), 则直线AB的斜率不存在,此时A,B,C三点能构成一个三角形;当a+2≠1,即a≠-1时,kAB= ,要使A,B,C 三点能构成一个三角形,则kAB≠kAC,即 ≠ ,解得a≠ . 综上,实数a的取值范围为 ∪ . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025安徽蚌埠五河第一中学检测]一质点在矩形ABCD内运动,从AB的中点O沿一确定方向发射该质 点,依次由线段BC,CD,DA反射,反射点分别为P1,P2,P3(反射角等于入射角),最后落在线段OA(不包括端 点)上的P4.若A(-1,0),B(1,0),C(1,1),D(-1,1),则直线OP1的斜率的取值范围为_________.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得OP1∥P2P3,P1P2∥P3P4. 设P1(1,b),b∈(0,1),则直线OP1的斜率为 =b. 因为P4落在线段OA(不包括端点)上,所以当P4落在点O、点A时为两种临界位置. 当P4落在点O时,因为O为AB的中点,且质点从O出发又回到O,所以P1为线段BC的中点,此时b= ,所以直 线OP1的斜率为 . 当P4落在点A时,点P4与点P3重合,如图所示,   第1讲　描述运动的基本概念 设∠P1OB=θ,则∠P1P2C=∠DP2P3=θ,且tan θ=b. 易得|CP1|=1-b,|CP2|= = -1,|DP2|=3- , 所以tan θ= = =b,则b= ,所以直线OP1的斜率为 . 综上,直线OP1的斜率的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　从台球运动中体会对称问题 9.台球运动中的反弹球技法是常见的技巧,其中无旋转反弹球是最简单的技法,主球撞击目标球后,目标 球撞击台边,然后按照光线反射的方向弹出,想要让目标球沿着理想的方向反弹,就要事先根据需要确 认台边的撞击点,同时做到用力适当,方向精确,这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图,现有 一目标球从点A(-2,3)无旋转射入,经过x轴(桌边)上的点P反弹后,经过点B(5,7),则点P的坐标为______.        第1讲　描述运动的基本概念 数学建模　将台球运动中的无旋转反弹问题转化为光线的反射问题,运用的知识是①点关于线对称,求      A点关于x轴的对称点A'或B点关于x轴的对称点B';②三点共线,即A',P,B三点共线或A,P,B'三点共线,再用 所学公式解决问题. 解析　设P(x,0).易知A点关于x轴对称的点A'的坐标为(-2,-3),则kA'P= = ,kA'B= = .∵A',B, P三点共线,∴kA'P=kA'B,即 = ,解得x= ,故点P的坐标为 . 方法点拨　求解光线的反射问题通常用到对称的知识,若过A点的光线经x轴上的P点反射后经过B点, 则A点关于x轴的对称点A'与P,B共线,B点关于x轴的对称点B'与P,A共线. 第1讲　描述运动的基本概念 $