2.2.1 第2课时 方向向量与法向量-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

第2课时方引 学习目标 1.理解直线的方向向量和法向量的概念 2.会写出直线的一个特殊的方向向量. 3.掌握直线的方向向量和法向量的坐标 关系 4.会利用直线的方向向量和法向量的坐 标求出直线的斜率，也会根据直线的斜率写 出直线的一个方向向量或一个法向量的坐标 要点精析 川要点1直线的方向向量 1.定义：一般地，如果表示非零向量a 的有向线段所在的直线与直线1平行或重 合，则称向量a为直线l的一个方向向量， 记作a∥1. 显然，在直线1上任取A,B两个不同 的点，向量AB(BA)是直线1的一个方向向量. 思考直线的方向向量是唯一的吗？ 如果不唯一，它们之间有什么关系吗？直 线的方向向量需要满足什么条件吗？平面 上的任意直线有方向向量吗？ 2.直线的方向向量坐标 如果A(x1,y),B(x2,y2)是直线L上 两个不同的点，则AB=(-x1,y2-y)就是 直线1的一个方向向量， 显然，当x≠时，AB=1,出 X一X =(1,飞)也是直线的一个方向向量，记作 a,即a=(1,k). 第二章平面解析几何。 可向量与法向量 思考当直线的倾斜角为0时，若OP 是直线1的一个方向向量，且IOP=1,你能 用0来表示直线l的一个方向向量吗？ 反思感悟 一般地，如果已知a=(u,v)是直线l 的一个方向向量，那么 (1)当u=0时，直线l的斜率不存在， 倾斜角为90°. （2)当山≠0时，直线的斜率是存在 的，且k=”,因此倾斜角满足tan0=” 例1已知A(-2,0),B(-5,3),C(3, -5),判断A,B,C三点是否共线， 分析在本节第1课时介绍了利用两 点的斜率公式判断三点是否共线，在本课 时，利用方向向量判断三点是否共线.即判 断直线AB的方向向量与直线AC的方向向 量是否平行，如平行，则三点共线.这种方 法的实质是利用向量法判断三点共线 例2已知三点A(-3,-1),B(m,3), C(5,m+6)(m>0)共线，求A,B,C三 点所在直线1的一个方向向量，并确定直 线1的斜率和倾斜角. 学(37 高中数学选择性必修第一册人教B版 B变式训练1 已知点A(1,0),B(2,V3),C(m, 2m),若直线AC的倾斜角是直线AB的倾 斜角的2倍，则实数m的值为 ,直 线AC的一个方向向量为 川要点2直线的法向量 1.定义：一般地，如果表示非零向量v 的有向线段所在直线与直线1垂直，则称向 量v为直线l的一个法向量，记作v⊥. 2.直线的一个法向量的坐标 若直线l的一个方向向量的坐标为(xo, yo),则直线1的一个法向量的坐标为(yo, -x0). 反思感悟 (1)若直线的斜率为k,则此直线的一 个方向向量的坐标为(1，k),一个法向量 坐标为(k,-1) (2)若直线的倾斜角为，则此直线 的一个方向向量的坐标为(cosa,sina), 个法向量的坐标为(sina,-cosa). (3)若直线的一个法向量的坐标为(x0, y),与直线的方向向量一样，与这个法向 量平行的所有非零向量都是这条直线的法 向量，且当y%≠0时，此直线的斜率k= -0 Yo 思考你能想到的直线的法向量的作 用是什么？ 例3已知直线l上两点P(1,0),Q(2, V3),试写出这条直线的一个法向量的坐 标，并求出这条直线的斜率和倾斜角， 38)学 分析方法很多，可以通过写出直线 的一个方向向量的坐标，利用法向量与方 向向量的坐标关系写出直线的一个法向量 坐标；也可以先求直线的斜率，利用斜率 和法向量的关系写出一个法向量坐标；或 者利用倾斜角写出一个法向量坐标.并且答 案不唯一 反思感悟 本题需要明确直线的法向量与直线斜 率、倾斜角、直线的方向向量的关系 P变式训练② 已知正△ABC的三个顶点均在抛物线 y=x2上，其中一条边所在直线的一个方向向 量为(1，V2),求△ABC的三个顶点的 横坐标之和 数学文化 解析几何的创始人笛卡儿在1637年发 表了《更好地指导推理和寻找科学真理的方 法论》，这是一本哲学的经典著作，包含了 三个附录，《几何学》就是其中之一.《几 何学》是笛卡儿所写的唯一一本数学书.笛 卡儿在《几何学》中引入了坐标方法和用方 程表示曲线的思想.于是后人就把这本《几 何学》的发表作为解析几何创立的标志 解析几何不断发展和完善，利用向量方 法解决几何问题其实质就是利用坐标法解决 几何问题，因此向量是解析几何中的一个非 常重要的解决问题的工具. 第二章平面解析几何。 例已知在平面直角坐标系中，OA= (1,4),OB=(-3,1),且0A与0B在直线1 的方向向量上的投影的长度相等，若直线 的倾斜角为钝角，求直线的斜率 分析设直线l的方向向量u=(m,n), 可得0Nu=±0B.业，化简即可得出. l lul 学(39高中数学选择性必修第一册人教B版 0,即20-<0，即(a-1)(a+2)<0,-2<<1. 3-1+a 例4D【解析】任何一条直线都有倾斜角，但不一定 有斜率，当倾斜角为90°时，斜率不存在：直线的倾斜 角为锐角时，斜率大于0，直线的倾斜角为钝角时，斜 率小于0，所以倾斜角越大，斜率不一定越大：根据倾 斜角的定义，平行于x轴的直线的倾斜角是O°：根据斜 率和倾斜角的正切关系可知斜率的取值范围是(-∞， +∞).故选D. 例5解：根据题意作出如图所示 的图形.直线PA的斜率为km= 2》-,直线阳的斜率为 1B(3,2) 0-2 P(0.-2) 1A(2,-3) k如号号，过点P的直线1 与线段AB有公共点时，直线1的 例5答图 斜率的取值范围是分专】 变式训练4解：根据题意作出如 Yy 图所示的图形.直线PA的斜率为 k4=-2=-3-2, 1B(3,2) 2 0 直线PB的斜率为。3 2-28, m32 2 ,1(2,-3) ∴.过点P的直线1与线段AB 变式训练4答图 有公共点时， 直线1的斜率的取值范围是(-∞，2]U[8,+∞). 例6据：由题可知品。kc治-1,1，BC 三点共线，ekc,名。-l,解得一 变式训练51+V2【解析】若A,B,C三点共线，则 ku-ke.-g,得2c+o)-in由a0,放上 式化简为d-2a-1=0,解得a=1+V2 例7解：设M(a,0),Q(b,4b),a,b>0,:kokm .446、4 6-b6-a ,可得：a+5h=ab≥2V5ab,b≥20， 取等号”时0-，0，又5r7Xx46=2ab≥ ab-20,b=-2, 40,取最小值时Q(2,8). 数学文化 解：如图所示，设动点P(2cos2x,sinx),点A(-1, 4),B(0,1),C(2,0), 36 A(-1.4)N B(0,1) C(2,0) 01 例题答图 则fx)=,-4表示直线PA的斜率。 2c0s2x+1 =l,0≤cox≤l,点P在y=l-7 (0≤x≤2)所表示的线段BC上运动. 故当点P与点B重合时，直线AB的斜率为k=-3; 当点P与点C重合时，直线AC的斜率为专， x)的值域为3-专 第2课时方向向量与法向量 要点精析 例1解：直线AB的一个方向向量为 AB=(-5+2,3-0)=(-3,3), 直线AC的一个方向向量为 AC=(3+2,-5-0)=(5,-5), (-3)x(-5)=3x5,.AB∥AC 又AB与AC有公共点A,A,B,C三点共线。 例2解：A,B,C三点共线，AB∥AC AB=(m+3,4),AC=(8,m+7), .(m+3)(m+7)=4x8=32, 即m2+10m-11=0,解得m=1或m=-11(舍). .直线1的一个方向向量为AB=(4,4), 斜率k=41,倾斜角=45. 变式训练12V3-3(1,-V3)(答案不唯一) 【解析】设直线AB的倾斜角为α，则直线AC的倾 斜角为2a,an=Y3-0=V万，且0°≤a<180,a 2-1 60,2a-l2,kc2l20-V了，得m2v万 -3,直线AC的一个方向向量为(1，-V3). 例3解：方法一：由题可知，直线的一个方向向量坐 标为PQ=(1,√3)，此直线的一个法向量的坐标为 (V√3，-1).此时直线的斜率k=V3,.倾斜角为60°. 方法二：由两点的斜率公式可知直线的斜率k= V3-0-V了，：.直线的一个法向量的坐标为(V3, 2-1 -1),倾斜角为60° 变式训练2解：设点A(a,d),B(b,b2),C(c,c2), atb.kwhig chte,k 则k=-b2 -=a+C. b-c a-c 不妨设直线AB的方向向量为(1，V2),则k V2,且直线AB的倾斜角为 △ABC是等边三角形， :ka=tama+3,kc=tama-于， atb+c=（(kaetkrtk.c) =3V7+ma+号)-号】 =2+ tanc+tan 3 1 tana-tan 3 2 2 1-tanotan T 2 3 l+andtan-号 =-3yV2 10 数学文化 解：设直线l的方向向量w=(m,n), 则0Au=±0Bu lul .m+4n=±(-3m+n), 解得4m=-3n或2m=5n. :直线1的倾斜角为钝角，斜率k=几<0， m 丹号，即直线1的斜率为号 2.2.2直线的方程 第1课时直线方程的点斜式与斜截式 要点精析 例1解：(1)直线经过点(1,2)，斜率为1，.直 线方程为y2=1×(x-1),化简得=x+1. (2)·直线经过点(1,2)，斜率为-2， y=2 -5-4-3-21012X345x -2 A y=-2x+4 例1答图 参考答案。 .直线方程为y-2=(-2)×(x-1),化简得y=-2+4. (3)直线经过点(1,2)，斜率为0， .直线方程为y-2=0x(x-1),化简得y=2. 在平面直角坐标系内画出直线如图所示. 综上，方程y-2-k(x-1)表示的直线具有的与k的取 值无关的特征为直线过定点(1,2). sina+cosa=-5 1 变式训练13x+4y+7=0【解析】由 sina+cosa=1, sina-5 3 4 sing=-5, 解得 或 cosa=5 3 .a∈[0，T),.∴.sina>0,. cosa=-5 .'tano=/=-3 4 直线方程为)4=子x-3),即3x+4+7-0. 例2解：(1)倾斜角为120°，∴.斜率k=-V3. 又直线在y轴上的截距是-2，.直线方程为y= -1V3x-2. (2)由直线过点P(0,4)可知直线的截距为4， .直线的方程为y=-2x+4. 变式训练2=昌45【解析】由题意，可设)品x+b, 5 则该直线与坐标轴交点分别为(0，b),-6,0,且 b>0,b+-号+V4号6-30，可得6=5，直线 1的方程为高+5. 例3解：方法一：由题意知a≠0. 令x=0,得直线在y轴上的截距为1-a; 令0，得直线在x轴上的截距为4-1 :直线1只通过第一、二、三象限， 1-a>0, 10, 解得0ka<1. a 方法二：直线的斜率为a,在y轴上的截距为l-a. :直线1只通过第一、二、三象限， 0,解得0<a<1. 1-a>0, 变式训练3D【解析】由l,得a>0,b<0,而由2得a> 37