第1章 13-专题专项练-思想方法练1（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教B版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了空间向量与立体几何的核心内容，通过专题专项练聚焦函数与方程、转化与化归等思想方法，将空间位置关系、角与距离的计算转化为向量运算，构建起知识内在逻辑网络。 其亮点在于以具体问题为载体，如动点PQ的最值问题、线面角和面面角的计算，培养学生用数学眼光抽象空间形式、用数学思维推理运算，通过分层练习设计满足不同学生需求，帮助学生巩固知识，教师可精准把握复习重点。

第一章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 专题专项练 思想方法练1 第1讲　描述运动的基本概念 一、函数与方程思想在空间向量与立体几何中的应用 1.[2026河南漯河部分校月考]如图,四边形ABCD,ABEF都是正方形,AB=4,∠DAF=120°.P,Q分别是线段 AE,BD上的动点,且 = ,则PQ的长的最小值是__________.       2      思路点拨　建立空间直角坐标系→设 =k ,用k表示出点P,Q的坐标→将| |表示成关于k的函数,求 函数值的最小值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　以A为坐标原点, , 的方向分别为x,y轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,   则A(0,0,0),B(0,4,0),D(4,0,0),E(-2,4,2 ), 则 =(-2,4,2 ), =(-4,4,0). 由P为线段AE上的动点可设 =k ,0≤k≤1,则 =(-2k,4k,2 k),所以P(-2k,4k,2 k). 因为 = ,所以 =k =(-4k,4k,0),所以Q(4-4k,4k,0),则 =(4-2k,0,-2 k), 故| |= =4 . 第1讲　描述运动的基本概念 用向量 的模表示线段PQ的长,然后用含k的式子表示出| |,结合函数的性质求最值. 因为k2-k+1= + ≥ ,所以4 ≥2 , 即PQ的长的最小值是2 . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026陕西西安大学区联考]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=CC1=2,E,F分别为AB,CD的中点,P 是线段A1B1(不含端点)上的任意一点,有以下说法:①存在点P,使直线PE与平面PDF所成的角取得最大 值;②存在点P,使直线PD与平面PEB所成的角取得最大值;③存在点P,使平面PDE与平面PFB所成的角 取得最大值;④存在点P,使平面PDF与平面PEB所成的角取得最大值.其中正确的是_______(填序号). 　①③     第1讲　描述运动的基本概念 解析　以D为坐标原点, , , 的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系Dxyz,   则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),E(2,2,0),F(0,2,0),由题可设P(2,t,2),0<t<4, 则 =(2,t,2), =(0,t-2,2), =(0,2,0), =(2,2,0), =(2,t-2,2), =(0,t-4,2), 取平面PEB的一个法向量为m= =(2,0,0), 设平面PDF的法向量为n=(x,y,z), 第1讲　描述运动的基本概念 则  取x=1,得n=(1,0,-1), 设平面PDE的法向量为p=(x1,y1,z1), 则  取x1=2,得p=(2,-2,t-2), 设平面PFB的法向量为q=(x2,y2,z2), 则  取y2=-2,得q=(2,-2,t-4). 第1讲　描述运动的基本概念 对于①,设直线PE与平面PDF所成的角为α, 则sin α=|cos< ,n>|=  = = , 结合向量的夹角公式,用含t的式子表示出sin α. 当0<t<2时,函数y= 单调递增,当2<t<4时,函数y= 单调递减, ∴当t=2,即P是A1B1的中点时,sin α取得最大值,此时α最大,故①正确; 结合函数单调性,分析sin α能否取得最大值. 对于②,设直线PD与平面PEB所成的角为β, 第1讲　描述运动的基本概念 则sin β=|cos< ,m>|= = = , 结合向量的夹角公式,用含t的式子表示出sin β. 当0<t<4时,函数y= 单调递减,没有最大值,即β没有最大值,故②错误; 对于③,设平面PDE与平面PFB所成的角为θ, 则cos θ=|cos<p,q>|=  = , 结合向量的夹角公式,用含t的式子表示出cos θ. 讨论函数y= 在t∈(0,4)上的单调性, 第1讲　描述运动的基本概念 令t-3=s,则(t-3)2=s2,t2-6t+16=(t-3)2+7=s2+7,8+(t-2)2=8+[(t-3)+1]2=9+(t-3)2+2(t-3)=9+s2+2s,8+(t-4)2=8+[(t-3)- 1]2=9+(t-3)2-2(t-3)=9+s2-2s,则[8+(t-2)2]·[8+(t-4)2]=(9+s2+2s)(9+s2-2s)= -4s2=s4+14s2+81= +32, ∴y= = , 设s2+7=r,则y= = , 易知s2=(t-3)2在t∈(0,3)上单调递减,在t∈[3,4)上单调递增,∴s2∈[0,9),∴r=s2+7∈[7,16), 又y= 在r∈[7,16)上单调递增, ∴当r=7,即s=0,t=3时,y=  取得最小值,此时θ最大,即平面PDE与平面PFB所成的 角取得最大值,故③正确; 第1讲　描述运动的基本概念 结合函数单调性,分析cos θ能否取得最小值. 对于④,设平面PDF与平面PEB所成的角为φ, 则cos φ=|cos<m,n>|= = = ,则φ=45°,为定值,故④错误. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026湖南衡阳月考]如图所示,圆锥的高PO=2,底面圆O的半径为R,延长直径AB到点C,使得BC=R,分 别过点A,C作底面圆O的切线,两切线相交于点E,点D是切线CE与圆O的切点. (1)证明:平面PDE⊥平面POD; (2)若直线PE与平面PBD所成角的正弦值为 ,求点A到平面PED的距离.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:连接AD.由题意得PO⊥平面ABD, ∵CE⊂平面ABD,∴PO⊥CE. ∵CE与圆O相切于点D,∴OD⊥CE. ∵PO∩OD=O,PO,OD⊂平面POD,∴CE⊥平面POD. 又CE⊂平面PDE,∴平面PDE⊥平面POD. (2)以O为坐标原点,OC,OP所在直线分别为y轴,z轴,过点O且垂直于平面PAB的直线为x轴,建立如图所 示的空间直角坐标系. 第1讲　描述运动的基本概念   易知CA=3R,OD=R,CD= R,△CAE∽△CDO, ∴ = ,∴AE= R, ∴P(0,0,2),D ,E( R,-R,0),B(0,R,0),∴ = , =(0,R,-2), =( R,-R,-2). 设平面PBD的法向量为m=(x,y,z), 第1讲　描述运动的基本概念 则  令x= ,则m= . 根据直线PE与平面PBD所成角的正弦值为 构 建关于R的方程. ∵直线PE与平面PBD所成角的正弦值为 , ∴|cos<m, >|= = = ,整理得3R4-16R2+16=0,即(3R2-4)(R2-4)=0,∴R=  或R=2. 第1讲　描述运动的基本概念 当R=2时,D( ,1,0),E(2 ,-2,0),A(0,-2,0),∴ =(2 ,-2,-2), =( ,1,-2), =(0,2,2). 设平面PED的法向量为n=(a,b,c), 则 令a= ,得n=( ,1,2), 所以点A到平面PED的距离为 = = . 当R= 时,D ,E ,A ,∴ = , = , = . 设平面PED的法向量为l=(a1,b1,c1), 则 令a1=3,得l=(3, ,2), 第1讲　描述运动的基本概念 所以点A到平面PED的距离为 = = . 综上,点A到平面PED的距离为 或 . 思想方法　方程思想在空间向量中的应用主要表现在探索性问题中,通过设置参数,建立方程(组),求方 程(组)的解来解决问题.函数思想在空间向量中的应用主要表现在“运动问题”和“最值问题”中,构 造出的函数一定要注意函数的定义域,应当在定义域的约束下去求最值,利用基本不等式求最值时要注 意满足适用的条件. 第1讲　描述运动的基本概念 二、转化与化归思想在空间向量与立体几何中的应用 4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 ,平面AB1D1与平面BC1D之间的距离为 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　将平面与平面之间的距离转化为点到平面的距离. 解法一:由题意可得,原问题等价于求点C1到平面AB1D1的距离,设为h. 由等体积法可得 = ,即 ×h× ×22×sin60°= × × × × ,解得h= ,即平面AB1D1 与平面BC1D之间的距离为 . 解法二:以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.   易得A( ,0,0),B1( , , ),D1(0,0, ),C1(0, , ),所以 =(0, , ), =(- ,0, ), =(- ,0, 第1讲　描述运动的基本概念 0). 设平面AB1D1的法向量为m=(x,y,z), 则 令x=1,得m=(1,-1,1). 所以点C1到平面AB1D1的距离为 = = ,所以平面AB1D1与平面BC1D之间的距离为 . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026福建莆田第四中学期中]已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,以正方体的中心为球心的球O与 正方体的各条棱都相切,若点P在球O位于正方体外(含正方体表面)的部分上运动,则 · 的最大值为  ( ) A.2　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,取AB的中点E,   可知E在球面上,且 =- =-  ,所以 · =( + )·( + )= - = - , 将求数量积的最值转化为求向量模(即两点间距离)的最值. 因为点P在球O位于正方体外(含正方体表面)的部分上运动,所以当PE为直径时,| |max= , 所以 · 的最大值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025吉林白城第一中学期中]如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=1,PA=PB=PC=AC= ,O为棱AC的中 点. (1)证明:平面PAC⊥平面ABC; (2)若点M在棱BC上,且PC与平面PAM所成角的正弦值为 ,求二面角M-PA-C的大小.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:如图,连接BO, ∵AB=BC=1,AC= ,O为棱AC的中点, ∴BO⊥AC,且BO= . ∵PA=PC=AC= ,∴PO⊥AC,且PO= . ∵PB= ,∴PB2=PO2+BO2,∴PO⊥OB. ∵AC∩OB=O,AC,OB⊂平面ABC,∴PO⊥平面ABC, ∵PO⊂平面PAC,∴平面PAC⊥平面ABC. 面面垂直的证明一般转化为证一个平面内的一条直线与另一平面内的两条相交直线垂直. 第1讲　描述运动的基本概念   (2)以O为坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A ,B ,C  ,P 0,0,  ,∴ = , = , = , = . 由题可设 =λ = (0≤λ<1), 则 = + = . 设平面PAM的法向量为n=(x,y,z), 第1讲　描述运动的基本概念 则  取z=1,得n= . 设直线PC与平面PAM所成的角为θ, 则sin θ=|cos< ,n>| = = , 第1讲　描述运动的基本概念 解得λ= 或λ=3(舍去), ∴平面PAM的一个法向量为n=(2 ,- ,1). 易知平面PAC的一个法向量m=(1,0,0). 由图可知,二面角M-PA-C为锐二面角,∴二面角M-PA-C的余弦值为|cos<m,n>|= = , 将求二面角的平面角转化为求对应两个法向量所成的角. ∴二面角M-PA-C的大小为30°. 思想方法　转化与化归思想在空间向量与立体几何中的应用主要表现在:将立体几何中的位置关系转 化为空间两向量的数量关系(线性表示或数量积表示)或将空间角与空间距离的计算转化为空间两向 量的相关运算,并结合所学的相关性质与定理进行求解. 第1讲　描述运动的基本概念 $