第1章 12-专题专项练-易混易错练1（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教B版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了空间向量与立体几何的核心内容，涵盖空间角计算、空间直角坐标系建立及法向量应用等，通过专题专项练与易错点剖析，将向量运算、几何性质与空间关系串联，帮助学生构建逻辑清晰的知识网络。 其亮点在于聚焦易混易错点设计分层练习，如通过“异面直线所成角与向量夹角辨析”培养数学思维的推理能力，结合坐标法解题强化数学语言的精确表达。这种设计既帮助学生巩固空间向量应用技能，又为教师提供精准复习方向，提升教学效率。

第一章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 专题专项练 易混易错练1 第1讲　描述运动的基本概念 易错点1　混淆向量的夹角与空间角的范围及空间角的三角函数名称 而出错 1.[2025四川成都石室中学月考]两条异面直线a,b所成的角为60°,在直线a,b上分别取点A,E和点B,F,使 AB⊥a,且AB⊥b.已知AE=6,BF=8,EF=14,则线段AB的长为 ( ) A.20或12　　    B.12或4 　　     C.4 或8 　　    D.8 或20     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由已知得 = + + , 两边平方可得 = + + +2 · +2 · +2 · (*). 因为AB⊥a,AB⊥b,所以 · = · =0. 因为AE与BF所成的角为60°,所以 , 所成的角为60°或120°,又AE=6,BF=8,EF=14,所以(*)式可整理 为142=62+AB2+82+2×6×8cos< , >. 当< , >=60°时,AB=4 ;当< , >=120°时,AB=12,故线段AB的长为12或4 . 易错警示　当两条异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,这个角就是这两条异面直线所成的角; 当两条异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角是这两条异面直线所成的角. 第1讲　描述运动的基本概念 2.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥底面ABCD,平面PCD⊥底面ABCD,四边形ABCD为正方形,且 PD=AB=1,G为△ABC的重心,则PG与底面ABCD所成的角θ满足 ( )   A.θ= 　　     B.cos θ= 　　     C.tan θ= 　　    D.sin θ=      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为四边形ABCD为正方形,所以DC⊥DA. 因为平面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩底面ABCD=AD,CD⊂底面ABCD,所以CD⊥平面PAD.又因为 PD⊂平面PAD,所以CD⊥PD,同理可得AD⊥PD,所以DA,DC,DP两两垂直.以D为坐标原点, , ,  的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示,   则P(0,0,1),G ,所以 = . 易知平面ABCD的一个法向量n=(0,0,1), 第1讲　描述运动的基本概念 则sin θ=|cos< ,n>|= = ,所以cos θ= = ,所以tan θ= = . 易错警示　求解直线和平面所成的角θ时,要注意直线的方向向量n与平面的法向量a的夹角和所求角θ 之间的关系,线面角的正弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026广东东莞四校联考]如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,若A1A⊥平面ABC,AB⊥AC,A1C1=1,AB=AC=AA1 =2,M为BC的中点,则平面MAC1与平面AC1C所成角的余弦值为 ( )   A. 　　     B. 　　     C. 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由A1A⊥平面ABC,且AB,AC⊂平面ABC,可得A1A⊥AB,A1A⊥AC, 又AB⊥AC,所以A1A,AB,AC两两互相垂直,以A为原点, , , 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向 建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),M(1,1,0),C1(0,1,2), 则 =(1,1,0), =(0,1,2), 设平面MAC1的法向量为n=(x,y,z), 则  取x=2,可得y=-2,z=1,所以n=(2,-2,1), 易知平面AC1C的一个法向量为(1,0,0),记m=(1,0,0), 设平面MAC1与平面AC1C所成的角为θ,则cos θ=|cos<m,n>|= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026四川成都郫都月考]在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AD⊥AB,AD=2BC,E为 PD的中点,如图所示. (1)证明:CE∥平面PAB; (2)若△PAB为等边三角形,平面PAB⊥平面ABCD,AB=AD=2,求二面角P-AC-E的余弦值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:取PA的中点F,连接BF,EF. 由E,F分别为PD,PA的中点,得EF∥AD,AD=2EF, 又AD∥BC,AD=2BC,所以EF∥BC,EF=BC,即四边形BCEF为平行四边形,故CE∥BF, 又BF⊂平面PAB,CE⊄平面PAB,故CE∥平面PAB.   (2)取AB的中点O,CD的中点G,连接PO,OG, 由△PAB为等边三角形,知PO⊥AB. 由平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PO⊂平面PAB,知PO⊥平面ABCD.又OG⊂平面 第1讲　描述运动的基本概念 ABCD,故PO⊥OG.由AD∥OG,AD⊥AB,知OG⊥AB. 以O为坐标原点,OB,OG,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(-1,0,0),C(1,1,0),D(-1,2,0),P(0,0, ),则E , 则 =(2,1,0), =(1,1,- ), = . 设平面PAC的法向量为m=(a,b,c), 则 即  取b=2,得m= , 设平面ACE的法向量为n=(d,e, f), 第1讲　描述运动的基本概念 则 即  取e=-2,得n=(1,-2, ). 则cos<m,n>= = =- . 由图形知,二面角P-AC-E为锐二面角, 故二面角P-AC-E的余弦值为 . 易错警示    设两个平面α,β的法向量分别为n1,n2,平面α与平面β所成二面角为θ,若θ为锐角,则cos θ=|cos< n1,n2>|;若θ为钝角,则cos θ=-|cos<n1,n2>|. 注意:二面角的范围是[0,π],两个平面所成角的范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 易错点2　不能正确建立空间直角坐标系而出错 5.[2026四川成都石室中学月考]在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,| |=| |=| |=2,∠A1AD=∠A1AB=  ,∠BAD= . (1)求平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积; (2)设四面体A1-ABD的外接球球心为O,求点B到平面OB1C1的距离. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题得S四边形ABCD=4,设AA1与底面ABCD所成的角为θ,A1在底面内的射影为O1,连接A1O1,过A1作A1 E⊥AB于E,连接O1E, 因为∠A1AD=∠A1AB= ,所以O1一定在AC上,由几何关系易知AB⊥O1E.(点拨:实际上,AB⊥平面A1O1E) 在Rt△A1O1E中,A1E2=A1 +O1E2,即 =(2sin θ)2+ 2cos θ·sin   2,又sin2θ+cos2θ=1, 故联立可解得sin θ= (舍负),所以此平行六面体的高A1O1=2× = , 所以此平行六面体的体积为4 . 第1讲　描述运动的基本概念   (2)连接BO1,DO1,由(1)可得| |= ,则| |= = , 又AC=2 ,所以O1为线段AC的中点, 则| |=| |=| |=| |= , 所以四面体A1ABD的外接球球心O与点O1重合, 以O1为原点建立如图所示的空间直角坐标系, 第1讲　描述运动的基本概念   则O(0,0,0),C1(-2 ,0, ),A( ,0,0),A1(0,0, ),D(0,- ,0),所以 =(-2 ,0, ), = =(- ,- ,0),  = =(- ,0, ), 设平面OB1C1的法向量为n=(x,y,z), 则  第1讲　描述运动的基本概念 取x=1,得y=-1,z=2,所以n=(1,-1,2), 所以点B到平面OB1C1的距离d= = = . 易错警示　运用“坐标法”解答空间几何问题时,正确建立空间直角坐标系是解题的关键.解题时,要 依据空间几何体的结构特征,充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系建立空间直角坐标系. 第1讲　描述运动的基本概念 $