第1章 10-1.2.5 空间中的距离（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量在立体几何中的距离应用，涵盖点到直线、点到平面、异面直线及平行平面间距离等核心内容，通过基础过关练与题组分层，衔接空间向量坐标运算与距离公式推导，搭建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于精选名校月考真题，解析融合向量法与几何直观，以正方体、四棱锥等模型培养数学思维（逻辑推理、运算能力）和数学语言（空间坐标系建模）。例如通过建立坐标系求解点面距离，帮助学生发展空间观念，教师使用可提升教学针对性与学生解题能力。

第一章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.5 空间中的距离 第1讲　描述运动的基本概念 题组一    空间中两点之间的距离和点到直线的距离 1.[2026北京中国人民大学附属中学通州校区月考]已知直线l经过A(1,1,1),B(0,2,0)两点,则点P(0,0,2)到 直线l的距离是 ( ) A.4 　　    B.2 　　    C. 　　    D.      D     解析　由题意得 =(-1,1,-1), =(-1,-1,1),所以点P到直线l的距离为 =  = . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025山东青岛部分学校教学质量联合测评]已知在四棱锥A-EBCD中,AE⊥平面EBCD,底面EBCD是 以∠DEB为直角,EB∥DC的直角梯形,且CD=2EB=2AE=4,DE=2 ,点F为AD的中点,则点F到直线BC的 距离为( )   A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为AE⊥平面EBCD,BE,ED⊂平面EBCD,所以AE⊥BE,AE⊥ED,又BE⊥ED,所以以点E为坐标 原点,EB,ED,EA所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则B(2,0,0),C(4,2 ,0),F(0, ,1),所以 = (2,2 ,0), =(2,- ,-1),所以点F到直线BC的距离为 = = .   第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026山东烟台招远二中月考]定义:两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一 条直线距离的最小值.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1C1与AD1之间的距离是 ( ) A. 　　    B. 　　    C.1　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　易知直线A1C1与AD1为异面直线. 以点D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,则A(2,0,0),D1(0,0,2),A1(2,0,2),C1(0,2,2),所以 =(-2,0,2),  =(-2,2,0).   设 =λ , =μ ,则M(2-2λ,0,2λ),N(2-2μ,2μ,2), 所以MN=  =2  第1讲　描述运动的基本概念 =2 ≥2 , 当且仅当μ= 时,等号成立, 又 = = ≥ ,当且仅当λ= 时,等号成立, 所以MN≥ ,当且仅当λ=2μ= 时,等号成立, 故直线AD1与A1C1之间的距离是 . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026湖北黄冈中学月考]如图,在平面角大小为60°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE、CDEF都是边长 为1的正方形,则B,D两点间的距离是_________.   解析　∵四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形,∴AE⊥EF,DE⊥EF,BF⊥EF,CF⊥EF,又平面 ABFE∩平面CDEF=EF,∴二面角A-EF-D的平面角为∠AED=∠BFC=60°,易得 = + + ,∴| |2 =( + + )2= +| |2+ +2 · +2 · +2 · =1+1+1+0+2×1×1×cos 120°+0=2,∴| | = ,故B,D两点间的距离是 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　点到平面的距离 5.[2025云南昆明长水教育集团质量检测]如图,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,∠C1CA=60°,侧面 ACC1A1与底面ABC垂直,D,E分别是线段AC,CC1的中点,若点F为棱B1C1上靠近点B1的三等分点,则点F到 平面BDE的距离为( )   A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.5      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　连接C1D,AC1,DF.因为CA=CC1,∠C1CA=60°, 所以△ACC1为正三角形,所以C1D⊥AC, 又侧面ACC1A1与底面ABC垂直,C1D⊂平面ACC1A1,侧面ACC1A1∩底面ABC=AC,所以C1D⊥平面ABC.易 得AC⊥BD,所以DB,DA,DC1两两垂直. 以D为坐标原点, , , 的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,   则D(0,0,0),B( ,0,0),C(0,-1,0),C1(0,0, ), 第1讲　描述运动的基本概念 E ,B1( ,1, ),F , 所以 =( ,0,0), = , = . 设平面BDE的法向量为m=(x,y,z), 则  则x=0,令z=1,则y= ,可得m=(0, ,1),所以点F到平面BDE的距离为 = = . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江苏镇江第一中学月考]在空间直角坐标系中,已知O为坐标原点,A(1,2,3),B(2,-1,0),C(3,6,-5),则 三棱锥O-ABC的体积为 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     解析　第一步:判定△OAB的形状并求其面积. 由O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,-1,0),C(3,6,-5),得 =(1,2,3), =(2,-1,0), =(3,6,-5), 因为 · =1×2+2×(-1)+3×0=0,所以OA⊥OB,即△OAB为直角三角形, 又| |= = ,| |= = ,所以△OAB的面积S= × × = . 第二步:求点C到平面OAB的距离. 设平面OAB的法向量为n=(x,y,z), 第1讲　描述运动的基本概念 则 取x=1,得n= , 所以点C到平面OAB的距离d= = = , 第三步:由三棱锥的体积公式求解. 则三棱锥O-ABC的体积是 × × = . 第1讲　描述运动的基本概念 方法技巧　求点到平面的距离的主要方法 (1)作点到平面的垂线段,则垂线段的长即为点到平面的距离; (2)在三棱锥中用等体积法求解; (3)向量法:距离d= (n为平面的法向量,A为平面上一点,MA为过点A的平面的斜线段). 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025河南商丘期中]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,M为棱A1D1的中点,G为侧面CDD1C1的中 心,点P,Q分别为直线AD,AB上的动点,且PG⊥MQ,当| |取得最小值时,点Q到平面PMG的距离为  ( ) A. 　　    B. 　　    C.1　　    D.  A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,建立空间直角坐标系,则M ,G .   设P(x,0,0),Q(1,y,0), 所以 = , = . 因为PG⊥MQ,所以 · =- x+ y- =0,即x-y+1=0,所以y=x+1,所以 =(1-x,x+1,0),所以| |=  = ≥ ,当且仅当x=0时取等号,此时y=1,所以 = , = , = 第1讲　描述运动的基本概念  . 设平面PMG的法向量为m=(a,b,c), 则 取c=-1,得m=(2,1,-1), 所以当| |取得最小值时,点Q到平面PMG的距离为 = = . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026四川成都外国语学校月考]如图,棱长为3的正方体的顶点A在平面α上,三条棱AB,AC,AD都在平 面α的同侧,若顶点B,C到平面α的距离均为 ,则顶点D到平面α的距离是 ( )   A. 　　    B.2　　    C. 　　    D.2      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系,   则C(3,0,0),B(0,3,0),A(3,3,0),D(3,3,3),所以 =(3,0,0), =(0,3,0), =(0,0,3), 设平面α的法向量为n=(x,y,z), 则顶点B到平面α的距离d1= = = ①, 顶点C到平面α的距离d2= = = ②,由①②可得|y|=|x|,|z|= |x|, 第1讲　描述运动的基本概念 所以顶点D到平面α的距离为 = = = . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025辽宁沈阳郊联体期中]如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PDC⊥平面ABCD,AD⊥DC,AB∥DC,AB=  CD=AD=1,M为棱PC的中点. (1)证明:BM∥平面PAD; (2)若PC= ,PD=1. (i)求二面角P-DM-B的余弦值; (ii)在线段PA上是否存在一点Q,使得点Q到平面BDM的距离为 ?若存在,求出PQ的长度;若不存在,请 说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:取PD的中点N,连接AN,MN,如图1所示. ∵M为棱PC的中点,∴MN∥CD,MN= CD. ∵AB∥CD,AB= CD,∴AB∥MN,AB=MN, ∴四边形ABMN是平行四边形,∴BM∥AN. 又BM⊄平面PAD,AN⊂平面PAD,∴BM∥平面PAD.  　      (2)∵PC= ,PD=1,CD=2, 第1讲　描述运动的基本概念 ∴PC2=PD2+CD2,∴PD⊥CD. ∵平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,PD⊂平面PDC,∴PD⊥平面ABCD, 又AD,CD⊂平面ABCD,∴PD⊥AD,PD⊥CD. 又AD⊥CD,∴以点D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图2,则P(0, 0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),M . (i)易得 = , =(1,1,0), =(1,0,0). 设平面BDM的法向量为n=(x,y,z), 则 令z=2,则y=-1,x=1, ∴n=(1,-1,2). 第1讲　描述运动的基本概念 易知平面PDM的一个法向量为 =(1,0,0). ∴cos<n, >= = = . 由图2得,二面角P-DM-B为钝二面角, ∴二面角P-DM-B的余弦值为- . (ii)假设在线段PA上存在点Q,使得点Q到平面BDM的距离是 . 设 =λ ,0≤λ≤1,则Q(λ,0,1-λ), ∴ =(λ-1,-1,1-λ). 由(i)知平面BDM的一个法向量为n=(1,-1,2). ∴点Q到平面BDM的距离是 = = ,∴λ= ,∴| |= | |= × = ,即PQ= . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 10.[2026山东潍坊段考]如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G,H分别是棱AB,AD,B1C1,D1C1 的中点,则平面EFD1B1和平面GHDB之间的距离为 ( )   A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　以D为坐标原点, , , 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐 标系,   则D(0,0,0),F(1,0,0),B(2,2,0),H(0,1,2),E(2,1,0),B1(2,2,2),所以 =(1,0,0), =(0,1,2), =(2,2,0), =(0,1, 2), 所以 = ,因为D,H,E,B1四点不共线,所以DH∥EB1,由EB1⊄平面GHDB,DH⊂平面GHDB,知EB1∥平 面GHDB, 因为E,F分别是棱AB,AD的中点,所以EF∥BD,同理知EF∥平面GHDB, 第1讲　描述运动的基本概念 又EF∩EB1=E,EF,EB1⊂平面EFD1B1, 所以平面EFD1B1∥平面GHDB, 所以平面EFD1B1和平面GHDB之间的距离就是EF到平面GHDB的距离,也就是点F到平面GHDB的距 离.(注意转化与化归思想的应用,即面面距→线面距→点面距) 设平面GHDB的法向量为n=(x,y,z), 则 取y=-2,则n=(2,-2,1), 所以点F到平面GHDB的距离d= = = , 即平面EFD1B1和平面GHDB之间的距离是 . 第1讲　描述运动的基本概念 11.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,E为线段AB的中点,F为线段A1B1的中点. (1)求A1B1与平面A1EC所成角的正弦值; (2)求证:FC1∥平面A1EC,并求直线FC1与平面A1EC之间的距离.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,   则A1(1,0,1),B1(1,2,1),E(1,1,0),C(0,2,0),F(1,1,1),所以 =(0,2,0), =(0,1,-1), =(-1,1,0). 设平面A1EC的法向量为m=(x,y,z), 则 令x=1,可得y=1,z=1, 所以m=(1,1,1). 第1讲　描述运动的基本概念 设A1B1与平面A1EC所成的角为θ, 则sin θ=|cos<m, >|= = = , 所以A1B1与平面A1EC所成角的正弦值为 . (2)连接EF,因为E为线段AB的中点,F为线段A1B1的中点,所以EF􀱀BB1􀱀CC1,则四边形EFC1C是平行四边 形,所以FC1∥EC. 因为EC⊂平面A1EC,FC1⊄平面A1EC, 所以FC1∥平面A1EC. 由(1)知,平面A1EC的一个法向量为m=(1,1,1), =(0,0,1),所以直线FC1与平面A1EC之间的距离d=  = = . 第1讲　描述运动的基本概念 12.[教材深研拓展]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,PD⊥底面ABCD,AB∥CD,AD⊥CD,AD =AB=1,BC= ,过点A作一个平面α,使得平面α∥平面PBC. (1)求平面α将四棱锥P-ABCD分成的两部分几何体的体积之比; (2)若平面α与平面PBC之间的距离为 ,求直线PA与平面PBC所成角的正弦值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)如图1,记平面α与直线CD,PD的交点分别为E,F,则平面AEF为平面α. 因为平面AEF∥平面PBC,平面AEF∩平面ABCD=AE,平面PBC∩平面ABCD=BC,所以AE∥BC, 同理,EF∥PC, 又AB∥CD,即AB∥EC,所以四边形ABCE是平行四边形,故EC=AB=1,又CD=2,故E是CD的中点, 所以F也是PD的中点. 由条件易得S梯形ABCD= (AB+CD)·AD= ×(1+2)×1= ,S△ADE= AD·DE= ×1×1= ,PD=2DF, 所以VF-ADE= S△ADE·DF= × ×DF= DF, VP-ABCD= S梯形ABCD·PD= × ×2DF=DF, 所以 = , 第1讲　描述运动的基本概念 故平面α将四棱锥P-ABCD分成的两部分几何体的体积之比为5∶1或1∶5.  　      (2)易知CD,PD,DA两两垂直,所以建立如图2所示的空间直角坐标系. 记PD的长为t,则P(0,0,t),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),E(0,1,0),所以 =(0,1,0), =(-1,1,0), =(0,2,-t). 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z), 则 即 取y=t,得n=(t,t,2). 第1讲　描述运动的基本概念 由条件易知点E到平面PBC的距离为 = ,即 = ,解得t=1, 所以n=(1,1,2), =(1,0,-1), 故直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 = = . 第1讲　描述运动的基本概念 $