1.2.5 空间中的距离 课时同步练习卷-2026年暑假预习高二数学人教B版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦“空间中的距离”，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从单一距离计算到复杂空间问题解决的进阶，适配高二暑假知识巩固与思维发展需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|点到平面/直线距离|以正方体、三棱锥为载体，巩固坐标法与几何法，培养空间观念| |提升层|异面直线距离、动点距离最值|融入空间动态分析，需推理判断，发展运算能力与推理意识| |综合层|距离与面面垂直、二面角综合|结合证明与计算，需构建数学模型，提升数学思维与表达能力|

1.2.5 空间中的距离课时同步练习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·江苏苏州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏连云港·阶段检测）正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，点M在上且N在上，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，正方体的棱长为1，若平面，且满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·福建厦门·阶段检测）在三棱锥中，，，，则D到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）在棱长为3的正方体中，动点在线段上，动点在线段上，则长度的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 8．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）在棱长为2的正方体中，分别是和的中点，则下列结论正确的有（    ） A．平面 B．平面 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 10．（25-26高二上·广东梅州·期末）如图，在直三棱柱中，，，分别是的动点（含端点），则下列结论正确的有（    ） A．当分别是的中点时，平面 B．当分别运动到的某位置时， C．当分别是的中点时，与侧面所成角为 D．长的最小值为 11．（2026·陕西榆林·模拟预测）在棱长为1的正方体中，为棱的中点，则（    ） A． B．点到平面的距离为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．动点在正方体内部或表面上，且平面，则动点轨迹所形成区域的面积是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·河北保定·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为中点，则点C到平面的距离为______ 13．（25-26高二上·四川泸州·期末）在正四棱锥中，，，E，F分别是棱AB，PC的中点，则点D到直线EF的距离是_______________． 14．（25-26高二上·山东临沂·期中）在三棱锥中，、均为等腰直角三角形，其中，，，点M，N分别在线段AB，PC上，则的最小值为______. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026高二·全国·专题练习）如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，． (1)证明：平面； (2)已知二面角是，，点到平面的距离为．求； 16．（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，是的中点. (1)求点到面的距离； (2)求点到直线的距离； (3)求直线与面所成的角的正弦值. 17．（25-26高二下·江苏徐州·期末）如图在多面体中，四边形是边长为4的正方形，四边形为等腰梯形，且，，，． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 18．（2026·天津北辰·二模）如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求直线与直线间的距离. 19．（2026高二·全国·专题练习）如图，平面，，，，，. (1)证明：平面； (2)若.判断在线段上是否存在一点，使得三棱锥的体积为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 2 / 26 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.5 空间中的距离课时同步练习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二下·江苏苏州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设为平面的一个法向量，， 则，即，故可取， 则，因， 则点到平面的距离． 2．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】建立如图空间直角坐标系，    则， ，. 故点到直线的距离. 3．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 . 故选：D.      4．（25-26高二下·江苏连云港·阶段检测）正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，点M在上且N在上，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，由是异面直线与的公垂线段列出方程求解得，即可求得的长． 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 因为点M在上，点N在上，所以设， 因为是异面直线与的公垂线段， 所以，即，解得， 所以， 所以异面直线与间的距离为， 故选：C． 5．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，正方体的棱长为1，若平面，且满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据 四点共面，求得；再建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离的求解公式，计算即可. 【详解】根据题意，因为平面，且满足， 故 ，解得； 以为坐标原点，建立如下空间直角坐标系： 故， 则， 则在上的投影为，又， 故点到直线的距离. 6．（25-26高一下·福建厦门·阶段检测）在三棱锥中，，，，则D到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为是对棱相等的棱锥，所以将三棱锥放在长方体更容易求解. 【详解】 令长方体长、宽、高分别为由图的 由图可得：, 令平面法向量， 所以：所以， 点D到平面的距离即在投影向量的模长， ， 所以点D到平面的距离为. 7．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）在棱长为3的正方体中，动点在线段上，动点在线段上，则长度的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，，进而点的坐标可以用来表示，由题可知，时, 取得最小值，利用数量积为0，即可求出，进而可知的模长. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，， 因为点在线段上，点在线段上， 所以设，， ，，又，， 所以，，则， 当的长度最小时，有，， 所以，即，解得， 此时，所以， 所以的长度最小值为. 故选：C. 8．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【详解】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）在棱长为2的正方体中，分别是和的中点，则下列结论正确的有（    ） A．平面 B．平面 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【详解】对于A，因为分别是和的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，以为坐标原点，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又，又，所以与不共线， 所以不垂直于平面，故B错误； 对于C，因为， 所以点到直线的距离为，故C正确； 对于D：因为， 所以点到平面的距离为，故D正确； 10．（25-26高二上·广东梅州·期末）如图，在直三棱柱中，，，分别是的动点（含端点），则下列结论正确的有（    ） A．当分别是的中点时，平面 B．当分别运动到的某位置时， C．当分别是的中点时，与侧面所成角为 D．长的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据题意，以为原点建立空间直角坐标系，对于A，利用线面平行的向量法证明即可；对于B，易知分别是的中点时，；对于C，根据空间向量法求线面角即可；对于D，求出异面直线的距离即可判断． 【详解】根据题意，以为原点建立空间直角坐标系， ， 对于A，当分别是的中点时，, 易知平面的一个法向量， ，则， 即，又平面，所以平面，故A正确； 对于B，易知，当分别是的中点时，， ，此时，故B正确； 对于C，当分别是的中点时，， 设平面的一个法向量， ，不妨取，则，， 设与侧面所成角为， 则，即， 所以与侧面所成角为，故C错误； 对于D，，，， 设与都垂直的向量为， ，不妨取，则，，， 则异面直线的距离， 即长的最小值为，故D正确． 故选：ABD． 11．（2026·陕西榆林·模拟预测）在棱长为1的正方体中，为棱的中点，则（    ） A． B．点到平面的距离为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．动点在正方体内部或表面上，且平面，则动点轨迹所形成区域的面积是 【答案】AC 【分析】ABC选项，建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式，线面角的夹角正弦公式进行求解；D选项，先证明面面平行，进而得到线面平行，从而得到动点的轨迹，求出区域面积． 【详解】以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.    则. 对于A，因为， 所以，则，故A正确； 对于B，因为，设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以. 又， 所以点到平面的距离，故B错误； 对于C，设直线与平面所成角为， 则，故C正确； 对于D，如图，取的中点分别为点，点，连接， 则. 因为平面平面，    所以平面平面. 又平面， 所以平面平面，故点的轨迹为. 因为， 所以，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·河北保定·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为中点，则点C到平面的距离为______ 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，然后利用点到平面的距离公式求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为， , 则， 令，则， 设点到平面的距离为， 则，     即点到平面的距离为. 13．（25-26高二上·四川泸州·期末）在正四棱锥中，，，E，F分别是棱AB，PC的中点，则点D到直线EF的距离是_______________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得点D到直线EF的距离. 【详解】如图，连接AC，BD，DE，记，连接OP. 由正四棱锥的性质可知OB，OC，OP两两垂直， 则以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 因为，，所以，， 则， 所以， 则点到直线的距离是. 故答案为：. 14．（25-26高二上·山东临沂·期中）在三棱锥中，、均为等腰直角三角形，其中，，，点M，N分别在线段AB，PC上，则的最小值为______. 【答案】 【分析】先利用线面垂直证得平面，然后将求的最小值转化为求异面直线AB，PC的距离，建立空间直角坐标系，利用异面直线距离的向量法公式即可得解. 【详解】因为为等腰直角三角形，， 因为，所以，又，，平面，所以平面， 又，补成长方体，以点为原点，建立空间直角坐标系如图， 则， 故， 点M，N分别在线段AB，PC上，要求的最小值，即求异面直线AB，PC的距离， 设同时垂直于，则， 取，则，故， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026高二·全国·专题练习）如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，． (1)证明：平面； (2)已知二面角是，，点到平面的距离为．求； 【答案】(1)过点作的垂线，设垂足为，即有， 因为，平面， 平面平面，平面平面，所以平面， 又因为平面，所以，因为四边形是矩形，所以， 所以，因为，， ，平面，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）作，由面面垂直的性质定理得到面，进而得出，结合，证得平面； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量方法，根据点到面的距离公式，求出. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面， 所以，又因为， 所以是二面角的平面角，即， 所以可以以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由已知得，，设，， 则，，且由得. 设平面的法向量为，而, 则有即有， 令，则，，所以，又， 所以点到平面的距离. 即，又因为， 所以可解得，因此. 16．（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，是的中点. (1)求点到面的距离； (2)求点到直线的距离； (3)求直线与面所成的角的正弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用点到平面的距离的向量求法求结论； （2）根据点到直线的距离的向量求法可得点到直线的距离为，代入数据即可求得结论； （3）求直线的方向向量，结合向量夹角公式求结论. 【详解】（1）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 由正方体棱长为2，可得，，，， 故，， 设平面的法向量， 则 ， 令，得， 即为平面的一个法向量，且， 根据点到平面距离公式点到面的距离，又， 所以 ， 所以点到面的距离为； （2）根据点到直线的向量公式点到直线的距离， 又，，， 所以， 所以点到直线的距离为； （3）直线方向向量， 设直线与面所成的角为， 则 ， 所以直线与面所成的角的正弦值为 17．（25-26高二下·江苏徐州·期末）如图在多面体中，四边形是边长为4的正方形，四边形为等腰梯形，且，，，． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形，，     ，，平面，平面，     平面，∴平面平面． (2) (3) 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明可得； （2）过点作于，作，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量方法可得； （3）由空间点到面的距离公式计算可得. 【详解】（1）略. （2）过点作于，由（1）知平面， ∵四边形是等腰梯形，，，， ，．         作，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，             ，，，，． ，． 设平面的一个法向量，则，即， 令，，         又，， 同理设平面的一个法向量，则，即， 令，，         ，     ， 故平面与平面所成角的正弦值为． （3）设点到平面的距离为， 由（2）知，平面的一个法向量， ． 18．（2026·天津北辰·二模）如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求直线与直线间的距离. 【答案】(1)证明：（方法一）连接，如图所示： 因为，且四边形为矩形， 所以， 又因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （方法二）因为，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系： 可得，，，， ，，，， 平面的一个法向量为， ，， ∵平面. ∴平面. (2) (3). 【分析】（1）（方法一）连接，由中位线的定义可得，由线面平行的判定定理即可得证；（方法二）以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，利用空间向量法证明即可； （2）利用空间向量法求解即可； （3）利用空间向量法，转化为求点E到直线的距离. 【详解】（1）略 （2）由（1）的方法二可知： ，，. 设平面的一个法向量为， 则， 取，可得，， 所以， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（1）的方法二可知： ，，， ，∴. 则直线与直线间的距离转化为点E到直线的距离， . 所以直线与直线间的距离为. 19．（2026高二·全国·专题练习）如图，平面，，，，，. (1)证明：平面； (2)若.判断在线段上是否存在一点，使得三棱锥的体积为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)法一：证明：∵，平面，平面， ∴平面. 同理：平面. ∵，平面，平面， ∴平面平面. 又∵平面， ∴平面. 法二：证明：依题意，建立以为原点，分别以，，为轴，轴，轴的空间直角坐标系（如图）， 则，，，，， 设，则. 依题意，是平面的一个法向量. 又因为， ∴，即. ∴. 又∵因为直线平面， ∴平面. (2)存在，点为线段上靠近的三等分点. 【分析】（1）由面面平行的判定定理证明平面平面，从而可证明平面. （2）建立空间直角坐标系，假设存在点满足题意，利用等体积法可得到三棱锥的体积，即可计算出点的位置. 【详解】（1）略. （2） 由（1）可得：，，，，， ∴，，，， 假设存在这样的点，且满足：， ∴. ∴. 设平面的法向量为，则 ，即. 假设，则，，∴ 设点到平面的距离为， ∴. 在△中，，. . ∴. ∴. ∵， ∴，符合题意， ，即点为线段上靠近的三等分点. 2 / 26 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $