1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系(第1课时）（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量的坐标表示、坐标运算及平行垂直判定，通过平面向量坐标运算类比，结合长方体、魔方等三维实例提问，搭建从平面到空间的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点是互动探究（如正方体中向量分解）与典例分析（如几何体夹角、垂直问题）结合，以数学眼光观察空间形式，数学思维推理运算规律，助学生形成空间观念和推理能力，教师可提升教学效率。

【新教材】人教B版·高二选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 (第1课时） 1.1 空间向量及其运算 学 习 目 标 1 2 3 理解空间向量正交分解的含义，掌握空间直角坐标系的构成，熟记空间向量的坐标表示方法，能够结合几何体情境，准确写出空间向量的坐标，完成平面向量坐标到空间向量坐标的知识迁移。 熟练掌握空间向量坐标形式下的线性运算（加减、数乘）和数量积运算公式，能够规范、准确完成向量坐标运算，掌握向量模长、夹角余弦值的坐标求解公式。 掌握空间向量平行、垂直的坐标判定条件，能利用坐标运算精准判断两个空间向量的平行、垂直关系，初步学会用坐标法简化立体几何位置关系的判定问题。 新课引入 同学们，我们在高一已经学习了平面向量的坐标运算，在平面直角坐标系中，我们可以把任意一个平面向量分解为x轴、y轴方向的两个垂直向量的和，通过坐标快速完成向量的加减、数乘、数量积运算，还能精准判定平面向量的平行与垂直关系，用代数方法轻松解决平面几何问题。 但我们生活的世界是三维空间，日常所见的长方体楼房、 正方体魔方、 空中飞行的飞机、 立体桥梁结构， 都属于立体空间模型。在立体几何中，我们之前学习的空间向量都是几何形式的向量，画图分析、平移判定平行垂直十分繁琐，仅凭几何方法很难精准计算空间向量的夹角、长度，也难以快速判定复杂立体图形中的线线、线面位置关系。 新课引入 能不能类比平面向量的正交分解，在三维空间中建立坐标系，把任意一个空间向量分解为三个两两垂直的坐标轴方向的向量？ 如果空间向量可以用坐标表示，那么它的线性运算、数量积运算公式会不会和平面向量一致？ 我们能否通过简单的坐标计算，直接判定两个空间向量是平行还是垂直，摆脱复杂的几何推理？ 本节课我们就带着这些问题，学习空间向量的正交分解及坐标表示，探究空间向量的坐标运算规律，掌握用坐标法研究空间向量平行、垂直关系的方法，让立体几何问题“代数化、简单化”。 目标一：空间向量的坐标 互动探究 空间向量的坐标 如图所示,已知, , , 且 是棱长为1的正 方体, 是一个长方体, 为 的中点, (1)设 , , 将向量 与 都用 , , 表示; =e₁+e₂+e₃, b=e₁-2e₂+-e₃ 尝试与发现: (2)如果p是空间中任意一个向量,怎样才能写出p在基底{e₁, e2,e3}下的分解式? 将向量p的始点平移到点O,然后过它的终点分别作与e₁, e₂, e₃所在直线垂 直的平面,即可写出它在基底{e₁, e₂, e₃}下的分解式. 知识讲解 空间向量的坐标 坐标定义 单位正交底 如果空间向量的基底{e₁, e₂, e₃}中, e₁, e₂, e₃ 都是单位向量, 而且这 三个向量两两垂直, 就称这组基底为单位正交基底; 单位正交解 在单位正交基底 下向量的分解称为向量的单位正交分解, 向量坐标 而且, 如果 p = xe₁ + ye₂ + ze₃, 则称有序实数组(x, y, z)为向量 p 的坐标, 记作 p = (x, y, z), 其中 x, y, z 都称为 p 的坐标分量. 示例 1.已知{e₁, e₂, e₃}是单位正交基底,分别写出下列空间向量的坐标: (1) p = 2e₁ + 3e₂ + e₃ ; (2) q = -e₁ + e₂ - 2e₃ ; (3) r = -2e₂ - e₃ ; (4) 0 . (1)p=(2, 3, 1); (2)q=(-1, 1, -2); (3)r=(0, -2, -1); (4)因为0=0e₁+0e2+0e3,所以0=(0,0,0). 1.按顺序找到x,y,z坐标分量； 2.缺失的记作零。 示例 2.设{i,j,k} 是单位正交基底,已知向量p = 8+6b+4c,其中a=i+j,b=j+k, c=k+i,则向量p 在基底 {i,j,k} 下的坐标是( ) A.(12,14,10) Β. (10,12,14) C. (14,12,10) D. (4,3,2) 解析:依题意,知 p = 8a+6b+4c = 8(i + j)+6(j+k)+4(k + i) =12i+14j+10k, 故向量p 在基底{i,j,k} 下的坐标是(12,14,10). 目标二：空间向量的运算与坐标的关系 互动探究 空间向量相等 坐标运算及关系 与平面向量的坐标类似,空间向量有了坐标之后,一个自然的问题就 是,向量的相等以及运算与它们对应的坐标之间有什么关系? 假设空间中两个向量 满足 ，也就是说 则当 时，有 ， 由 是单位正交基底和空间向量基本定理可知 反之结论也成立．这就是说，空间中两个向量相等的充要条件是它们的坐标分量对应相等． 互动探究 空间向量加法 坐标运算及关系 因为 所以 向量和的坐标分量是各个向量坐标分量的和 互动探究 空间向量数乘 坐标运算及关系 1. 核心公式 若空间向量=(x,y,z)，实数（标量）为 k，则： ka=(kx,ky,kz) 2. 推导过程（基于基底） 你可以结合图片中的推导过程来理解：当 根据实数与向量数乘的分配律，可以展开为： 是单位正交基底，空间向量的坐标是唯一的，所以向量 ka 对应的坐标就是 (kx,ky,kz)。 已知=(−2,3,5), b = (3, -3,2),求下列向量的坐标 (1) -b; (2) 2+b; (3) -5b. 示例 解(1) -b = ( − 2,3,5) – (3, - 3,2) = ( − 2 − 3,3 + 3,5 - 2) = (-5,6,3). (2) 2 + b = 2(-2,3,5) + (3,3,2) = (-4,6,10) + (3, -3,2) = (-1,3,12). (3) -5b-5(3, - 3,2) = (- 15,15, – 10) 互动探究 空间向量数量积 坐标运算及关系 1. 核心公式 空间向量数量积（点乘）坐标公式 2. 推导过程（基于基底） 互动探究 空间向量模和夹角 坐标运算及关系 1. 模公式 由数量积性质 可得： 同理，向量 的模长为： 2. 夹 已知空间向量=(2,-1,3)，b=(1,0,-2)。 （1）求 ⋅b； （2）求 || 和 |b|。 示例 根据数量积公式 a⋅ 已知空间向量 =(1,1,0)，b=(0,1,1)，c=(1,0,1)。 （1）求 (-b)⋅c； （2）求 |-b|。 已知空间向量 =(2,-1,2)，b=(0,1,1)。 求向量 与 b 所成夹角 θ 的余弦值（即 cosθ）。 示例 已知空间向量 =(m,1,2)，b=(2,-1,1)。若 与 b 的夹角为钝角，求实数 m 的取值范围。 示例 已知 △ABC 的三个顶点坐标分别为 A(1,1,0)，B(2,0,1)，C(0,1,2)，求 ∠BAC 的余弦值。 示例 互动探究 平行与垂直 坐标运算及关系 已知： 空间向量 =(2,-1,3)，向量 b=(4,m,n)。 问题： 若向量与向量 b 平行（共线），求实数 m 和 n 的值。 示例 已知： 空间向量 =(1,2,-1)，向量 b=(-1,1,k)。 问题： 若向量 与向量 b 相互垂直，求实数 k 的值。 示例 目标三：空间向量坐标应用 典例分析 坐标综合应用 夹角 例1 垂直 解析:(1)=(1,1,0), b = (-1,0,2),故cos(,b) = . (2)由(1)可得k+b=(k-1,k,2), k-2b=(k+2,k,-4), 因为向量k+b, k-26垂直,故(k+2)(k-1)+k²-8=0, 整理得到2k²+k-10=0,故k=2或k=-5. 2 典例分析 坐标综合应用 例1 平行 (3)由(1)可得,不共线,故入a-b,a-b均不为零向量, 若向量xa−b, a−b平行,则存在非零常数t,使得da-b=t(a−b), 整理得到(λ-t)a+(tλ-1)b=0, λ-t=0 因为,不共线,故{ tλ-1=0’ 故λ=t=-1或λ=t=1,故入=±1. 典例分析 坐标综合应用 坐标 例2 垂直 如图，在棱长为 的正方体 中，， 分别是棱 ， 上的动点，，其中 ，以 为坐标原点建立空间直角坐标系。 （1）写出点 ， 的坐标； （2）求证：； （3）若 ，，， 四点共面，求证：。 解析：（1）， （2）证明：因为 ，，所以 ，。 所以 ，所以 ，所以 。 典例分析 坐标综合应用 四点共面应用 例2 如图，在棱长为 的正方体 中，， 分别是棱 ， 上的动点，，其中 ，以 为坐标原点建立空间直角坐标系。 （1）写出点 ， 的坐标； （2）求证：； （3）若 ，，， 四点共面，求证：。 （3）证明：因为 ，，， 四点共面，所以 ，， 共面。 选 与 为一组基向量，则存在唯一实数对 ，，使 。 又因为 ，，所以 ， 所以 ，解得 ，所以 。   典例分析 坐标经合应用 模 例3 垂直 已知向量 ， ， . （1）求 ； （2）当 时，若向量 与 垂直，求实数 和 的值； （3）若向量 与向量 ， 共面向量，求 的值. 解析： (1) ， ， ， . 因为 ，所以 ，解得 ， 因为 ，且向量 与 垂直，所以 ， 即 ，。所以实数 和 的值分别为 0 和 -3； 典例分析 坐标经合应用 共面向量 例3 已知向量 ， ， . （1）求 ； （2）当 时，若向量 与 垂直，求实数 和 的值； （3）若向量 与向量 ， 共面向量，求 的值. 设 ，则 解得， ， ， 即 ，所以向量 与向量 ， 共面.   目标四：针对训练 举一反三 1. 举一反三 解析：由已知可得 ， ，所以 又 ，所以 故选C. 举一反三 3.在空间直角坐标系中，已知点 ， ，则 （） A.5 B. C.3 D. 解析：因为 ， ，所以 ，故选B. 4·在空间直角坐标系中，已知 ， ，则线段MN的中点 到坐标原点 的距离为（） A. B. C.2 D.3 解析： ， ， 线段MN的中点 ， 点 到坐标原点 的距离 .故选A. 举一反三 5·已知两个向量 且 ，则 的值为（） A.1 B.-2 C.-3 D.6 解析：因为 所以存在 使得 即 所以 所以 6·设直线 的方向向量分别为 若 则 解析:由已知 即 则 解得 故答案为:10. 举一反三 7·一个质点从点 出发，做匀速直线运动，每秒的速度向量为 ，求该质点在运动 ， ， 后所在位置的坐标. 答案：质点在运动 ， ， 后所在位置的坐标依次为 ， ， 解析：由题设，若原点为 ，则 后 ， 后所在位置为 ； 后所在位置为 ； 后所在位置为 目标五：小结 学海拾贝 一、本节核心知识梳理 本节我们重点学习了空间向量的坐标表示与坐标运算，将立体几何中抽象的向量运算转化为具象的代数运算，实现了“几何问题代数化”，是解决空间平行、垂直、夹角、距离问题的核心工具。以下梳理本节核心知识点及关键学习注意事项。 学海拾贝 2. 数量积（点乘）运算 坐标公式： 向量模长： 夹角公式： 3. 位置关系判定（核心考点） 平行（共线）：（，分母不为0） 垂直： 学海拾贝 二、重点学习注意事项（高频易错） 1. 坐标书写与取值：杜绝基础失误 空间向量坐标对应(x,y,z)三个维度，书写时顺序绝对不能颠倒，z坐标不可遗漏。在立体图形中建系求点坐标时，必须严格根据坐标轴方向判定正负，尤其注意底面不在xOy平面、点在卦限内的坐标符号，避免因符号错误导致整道题运算出错。 2. 平行判定：规避比例式陷阱 使用判定向量平行时，严禁分母为0。若其中某一坐标为0，不能直接列比例式，需改用数乘关系判定。例如、，不可写y坐标比例，直接通过数乘2倍判定平行。 学海拾贝 二、重点学习注意事项（高频易错） 3. 数量积运算：区分向量运算与实数运算 数量积运算结果是实数，不是向量，不存在“数量积的坐标”。同时牢记易错公式：无(a⋅b)c=a(b⋅c)，向量数量积不满足结合律，左右两侧向量方向大概率不同，绝对不能混用。 4. 夹角问题：明确范围与取值细节 向量夹角范围是[0,π]，计算余弦值后，需根据正负判断夹角是锐角、直角或钝角。做题时注意区分：直线夹角、异面直线夹角范围为(0,]，若算出向量夹角为钝角，需取其补角作为最终夹角，切勿直接套用向量夹角结果。 【新教材】人教B版·高二选修第一册 感谢聆听! $