第2章 07 专题强化练3 对称问题及其应用（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

**基本信息** 专题强化练聚焦对称问题，分层设计从基础应用到跨学科创新，梯度合理，巩固路径清晰，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-4题）|点/直线对称、光线反射基础|选择题型，直接应用对称性质，巩固概念| |提升层（5-8题）|三角形对称、折叠对称、动点最值|填空与综合选择，融合几何图形与对称，提升推理能力| |创新层（9题）|物理光学中的反射折射|跨学科解答题，结合折射率计算，发展应用意识|

专题专项练 专题强化练3　对称问题及其应用 1.(2026山西长治学院附属太行中学月考)已知点A(2,0)与B(0,4)关于直线ax+y+b=0对称,则a,b的值分别为(　　) A.1,3　　B.-,-　　C.-2,0　　D.,- 2.(2026江苏常州学情调研)直线3x+4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为(　　) A.3x-4y+5=0　　B.3x+4y-5=0 C.3x-4y-5=0　　D.4x+3y+5=0 3.(2026天津滨海新区大港第一中学月考)一条光线从点A(-4,6)射出,与x轴交于点B(-1,0),经x轴反射,则反射光线所在直线的方程为(　　) A.y=-x-1　　B.y=2x+2　　 C.y=-3x-3　　D.y=4x+4 4.(2026天津第二南开学校月考)已知点A(-3,6)和B(1,2),在x轴上求一点M,使|AM|+|BM|最小,那么点M的坐标为(　　) A.(-2,0)　　B.(1,0)　　C.(4.4,0)　　D.(0,0) 5.(2026辽宁沈阳第二十中学月考)已知△ABC的顶点A(4,3),AC边上的中线所在直线的方程为4x+13y-10=0,∠ABC的平分线所在直线的方程为x+2y-5=0,则BC边所在直线的方程为(　　) A.2x-3y+1=0　　B.x+7y+5=0　　 C.3x-5y+3=0　　D.x-y+1=0 6.(2026黑龙江哈三中月考)在平面直角坐标系Oxy中,P(x0,y0)为第一象限内的动点且在直线x+y-3=0上,则x0+的最小值为(　　) A.　　B.1　　C.2　　D.3 7.(2026北京和平街第一中学月考)将一张坐标纸折叠一次,使点(0,2)与点(4,0)重合,且点(4,1)与点(m,n)重合,则m+n的值是　　　　.  8.(2026安徽亳州阶段测试)如图,在等腰直角三角形ABC中,|AB|=|AC|=1,P是边AB上异于A,B的一点,某光线从点P处出发,经边BC,CA反射后又回到点P,如图所示,若光线QR经过△ABC的重心G,则线段AP的长度是　　　　;直线PQ的斜率为　　　　.  创新点　从物理知识中体会与直线有关的对称 9.(2026山东济宁嘉祥第一中学月考)当光从真空射入某介质时,在两种介质的分界面处,不仅会发生反射,还会发生折射.我们把入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值叫做该介质的绝对折射率,简称折射率.已知直线l':x+y-4=0,l″:12x-2y+15=0,一条光线从点P(2,1)射出,经l'反射后,反射光线再经l″反射,再次反射的光线回到点P. (1)求该光线经过的路程; (2)当该光线从点P射出,从真空射入甲介质时,经该光线在分界面上的投影所在的直线l'折射后,折射光线所在直线的斜率为,求甲介质的折射率. 答案与分层梯度式解析 专题专项练 专题强化练3　对称问题及其应用 1.B 2.A 3.B 4.D 5.B 6.D 1.B　因为点A(2,0)与B(0,4)关于直线ax+y+b=0对称, 所以直线AB与直线ax+y+b=0垂直且线段AB的中点在直线ax+y+b=0上, 易得直线AB的斜率为=-2,线段AB的中点为(1,2), 则有解得 2.A　设所求直线上任意一点的坐标为(x,y),则其关于x轴的对称点的坐标为(x,-y).易知点(x,-y)在直线3x+4y+5=0上,所以将y换为-y可得3x+4(-y)+5=0,即得所求直线方程为3x-4y+5=0. 3.B　由题知,点A(-4,6)关于x轴的对称点A'(-4,-6)在反射光线所在直线上, 所以反射光线所在直线的方程为y=(x+1),即y=2x+2. 4.D　易知A,B两点位于x轴同侧,由B(1,2),知其关于x轴的对称点为(1,-2),记B'(1,-2),则当A,B',M三点共线时,|AM|+|BM|最小, 设直线AB'的斜率为k,则k===-2, 所以直线AB'的方程为y+2=-2(x-1),化简得y=-2x, 又因为点M在x轴上,所以令y=0,得x=0,所以点M的坐标为(0,0). 5.B　由得则点B的坐标为(9,-2), 设点A(4,3)关于直线x+2y-5=0的对称点为A'(x0,y0), 则解得即A'(2,-1), 显然点A'(2,-1)在直线BC上,则直线BC的斜率kBC==-, 所以直线BC的方程为y-(-1)=-(x-2),即x+7y+5=0. 6.D　设A(1,0),且它关于直线x+y-3=0的对称点为A'(a,b),连接PA,PA',则|PA|=|PA'|,过A'作A'M⊥y轴于点M,连接PM,如图, 则|PM|+|PA|=|PM|+|PA'|, 解题关键:x0+表示点P(x0,y0)到y轴和定点A(1,0)的距离之和. 则点P为A'M与直线x+y-3=0的交点时,|PM|+|PA'|最小,即x0+最小,最小值为A'到y轴的距离. 由解得a=3,b=2, 即A'(3,2),则A'到y轴的距离为3. 故x0+的最小值为3. 7.答案　 解析　由题知点(0,2)与点(4,0)关于折痕所在直线对称,又这两点的中点坐标为(2,1),它们所在直线的斜率为=-,故折痕所在直线的斜率为2, 所以折痕所在直线的方程为y-1=2(x-2),即y=2x-3.由题可知点(4,1)与点(m,n)也关于直线y=2x-3对称,则解得 所以m+n=+=. 8.答案　;2 解析　建立如图所示的平面直角坐标系,可得A(0,0),B(1,0),C(0,1), 所以直线BC的方程为y=(x-1),即x+y-1=0,易得△ABC的重心G的坐标为, 设点P(a,0)(0<a<1),M,N分别是点P关于直线BC和y轴的对称点,所以N(-a,0), 连接NR,QM,设M(x0,y0), 则有 解得所以M(1,1-a), 由光的反射原理可知,M,N,Q,R四点共线,所以kMN=kGN,即=,解得a=(a=0舍去), 则|AP|=,即线段AP的长度为. 所以N,M,P,则直线MN的方程为y=·,即3x-6y+1=0, 联立直线MN的方程与直线BC的方程, 得解得 即Q, 所以直线PQ的斜率为=2. 9.解析　(1)设该光线与l'的交点为A,与l″的交点为B,P(2,1)关于l'的对称点为P1(x1,y1), 则解得 即P1(3,2). 设P(2,1)关于l″的对称点为P2(x2,y2), 则 解得即P2(-4,2). 由光的反射原理知P1,A,B,P2四点共线. 易得|AP|=|AP1|,|BP|=|BP2|,所以该光线经过的路程为|AP|+|AB|+|BP|=|AP1|+|AB|+|BP2|=|P1P2|=3-(-4)=7. (2)易得直线P1P2平行于x轴,折射角为∠4,因为折射光线所在直线的倾斜角为,所以∠3+∠4=. 易得∠1=∠2=,所以∠3=,所以∠4=-, 所以甲介质的折射率为===+1. 7 学科网（北京）股份有限公司 $