第2章 06 2.3.1 两条直线的交点坐标 2.3.2 两点间的距离公式（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

**基本信息** 聚焦直线交点坐标与距离公式，以基础过关练为载体，通过选择、填空、解答题的梯度设计，实现从概念辨析到综合应用的知识巩固，培养数学推理能力与几何直观素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |概念辨析|直线交点存在性、距离公式直接应用|选择题（如1-2、7-9）考查分类讨论与基础计算，强化数学思维| |技能应用|求交点直线方程、距离最值|填空题（3-5、10）结合参数法与几何意义，提升运算能力| |综合拓展|几何情境中的直线关系、三角形周长最值|解答题（6、11）融入图形分析，培养模型观念与创新意识|

2.3　直线的交点坐标与距离公式 2.3.1　两条直线的交点坐标　2.3.2　两点间的距离公式 基础过关练 题组一　直线的交点坐标及其应用 1.(2026北京第二中学期中)已知三条直线l1:x-2y+2=0,l2:x-2=0,l3:x+ky=0将平面分为六个部分,则满足条件的k的值共有(　　) A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.无数个 2.(2026安徽亳州段考)已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+2(k为常数)上两个不同的点,则关于l1:a1x+b1y-2=0和l2:a2x+b2y-2=0的交点情况,正确的是(　　) A.无论k,P1,P2如何,总有唯一交点 B.存在k,P1,P2使之有无数个交点 C.无论k,P1,P2如何,总是无交点 D.存在k,P1,P2使之无交点 3.(2026江西赣州十县期中联考)经过点P(1,0)和两直线l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0交点的直线方程为　　　　　　　.  4.(2026湖南长沙雅礼中学月考)已知直线l1:x-my-2=0与直线l2:mx+y+2=0交于点Q,m是实数,O为坐标原点,则|OQ|的最大值是　　　　.  5.(2026福建泉州南安国光中学期中)过点P(0,2)作直线l,使它被两条相交直线2x-y-2=0和x+y+3=0所截得的线段恰好被点P平分,则直线l的方程为　　　　　　.  6.(2026山东泰安第一中学月考)在△ABC中,BC边上的高AD所在直线的方程为x-2y+2=0,∠A的平分线所在直线的方程为y=0,点B的坐标为(1,3). (1)求直线BC的一般式方程; (2)求直线AC的一般式方程及点C的坐标. 题组二　两点间的距离公式及其应用 7.(2026天津民族中学月考)已知三角形的三个顶点分别为A(2,-1),B(3,2),C(-5,4),则△ABC的中线AD的长为(　　) A.3　　B.5　　C.9　　D.25 8.(2026河南新乡监测)若△ABC的三个顶点分别为A(4,3),B(1,2),C(3,-4),则△ABC的面积是(　　) A.5　　B.10　　C.10　　D.20 9.(教材深研拓展)(2026山西晋中部分学校阶段考试)函数y=+的最小值为　(　　) A.4　　B.5　　C.6　　D.7 10.(2026天津滨海新区月考)在平面直角坐标系Oxy中,已知点A(0,-2),点B(1,0),P为直线2x-4y+3=0上一动点,则|PA|+|PB|的最小值是　　　　,对应的点P的坐标是　　　　.  11.(2026湖北武汉武昌实验中学月考)已知O为坐标原点,过点P(3,-1)的直线l分别交射线y=x(x≥0)与y=-2x(x≥0)于点A,B,其中A,B均不重合于原点. (1)当直线l的斜率为时,求△AOB的面积; (2)设A点的坐标为(2a,a),用实数a表示B点的坐标,并写出实数a的取值范围; (3)在(2)的条件下,求△AOB的周长的最小值. 答案与分层梯度式解析 2.3　直线的交点坐标与距离公式 2.3.1　两条直线的交点坐标 2.3.2　两点间的距离公式 基础过关练 1.C 2.A 7.B 8.B 9.B 1.C　 思路点拨 条件“三条直线将平面分为六个部分”可转化为“三条直线交于一点或l3与l1平行或l3与l2平行”. 解析　当三条直线交于一点时,可将平面分为六个部分, 联立解得 将代入x+ky=0,得2k+2=0,解得k=-1; 当l3:x+ky=0与l1:x-2y+2=0平行时,满足要求,此时k=-2; 当l3:x+ky=0与l2:x-2=0平行时,满足要求,此时k=0. 综上,满足条件的k的值共有3个. 2.A　因为P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+2(k为常数)上两个不同的点,直线y=kx+2的斜率存在,所以k=,a1≠a2,且b1=ka1+2,b2=ka2+2,所以a2b1-a1b2=ka1a2-ka1a2+2a2-2a1=2a2-2a1,联立可得(a1b2-a2b1)x=2(b2-b1),即(a1-a2)x=b2-b1,所以方程有唯一解,即无论k,P1,P2如何,l1与l2总有唯一交点. 3.答案　x+y-1=0 解析　解法一:联立解得即交点为(0,1),则所求方程为x+y-1=0. 解法二:设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0. ∵点P(1,0)在所求直线上,∴1-2+(3+2)λ=0,∴λ=, ∴所求方程为x+2y-2+(3x-2y+2)=0,即x+y-1=0. 名师点睛 过两条直线交点的直线方程的求法 (1)常规解法(方程组法):先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件写出直线方程. (2)特殊解法(直线系法):先设出过两直线交点的直线系方程,再结合条件利用待定系数法求出参数,最后确定直线方程. 4.答案　2 解析　解法一:联立得即Q, 所以|OQ|===, 若|OQ|最大,则最小,则1+m2最小, 又m∈R,故1+m2≥1,当且仅当m=0时取等号,此时|OQ|max=2, 所以|OQ|的最大值是2. 解法二:易知直线l1恒过定点(2,0),直线l2恒过定点(0,-2),且l1⊥l2,记A(2,0),B(0,-2).如图所示: 可知点O,Q,A,B四点共圆, 故可得|OQ|max=|AB|=2. 5.答案　2x-3y+6=0 解析　设直线l1:2x-y-2=0,l2:x+y+3=0,直线l夹在直线l1,l2之间的线段为AB(A在l1上,B在l2上),且A(x1,y1),B(x2,y2), 因为AB被点P(0,2)平分,所以x1+x2=0,y1+y2=4, 于是有x2=-x1,y2=4-y1, 由A在l1上,B在l2上, 得即 解得x1=3,y1=4,即A(3,4), 则直线l的方程是=,即2x-3y+6=0. 6.解析　(1)如图, 由BC边上的高AD所在直线的方程为x-2y+2=0,可知直线BC的斜率k=-2, 因为点B的坐标为(1,3),所以直线BC的方程为y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0. (2)由直线AD的方程为x-2y+2=0,∠A的平分线所在直线的方程为y=0,可知yA=0,将yA=0代入x-2y+2=0,可得xA=-2,即A(-2,0), 易知直线AB与AC关于x轴对称, B(1,3)关于x轴的对称点为(1,-3),则点(1,-3)在直线AC上,所以直线AC的斜率为=-1, 所以直线AC的方程为y-0=-1×(x+2),即x+y+2=0, 联立解得即点C的坐标为(7,-9). 7.B　因为B(3,2),C(-5,4),所以BC的中点为D(-1,3),又因为A(2,-1),所以|AD|==5. 8.B　因为A(4,3),B(1,2),C(3,-4), 所以直线AB的斜率kAB==,直线BC的斜率kBC==-3, 因为kAB×kBC=-1,所以AB⊥BC,所以△ABC是直角三角形. 因为|AB|==,|BC|==2, 所以△ABC的面积S=|AB||BC|=××2=10. 9.B　y=+=+, 设A(1,1),B(4,3),P(x,0),则y的几何意义为|AP|+|BP|的值. 易知点A(1,1)关于x轴的对称点为(1,-1),记C(1,-1), 所以ymin=|CB|==5. 10.答案　4; 解析　设点A(0,-2)关于直线2x-4y+3=0的对称点为A'(x,y), 则解得所以A', 所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|==4, 当且仅当点P为线段A'B与直线2x-4y+3=0的交点时等号成立,故|PA|+|PB|的最小值为4. 因为kA'B==-,所以直线A'B的方程为y=-(x-1), 联立解得 所以此时对应的点P的坐标为. 11.解析　(1)因为直线l的斜率为,且过点P(3,-1), 所以l的方程为y+1=(x-3),即y=x-5. 联立解得 所以A(6,3),|OA|==3, 联立解得 所以B, |OB|==, 因为kOA·kOB=×(-2)=-1,所以OA⊥OB,故S△AOB=|OA|·|OB|=×3×=. (2)设B(m,n),因为B在射线y=-2x(x≥0)上,所以n=-2m. 易得=(3-m,-1-n),=(2a-3,a+1), 由于A,P,B三点共线,所以=λ(λ∈R),则(3-m)·(a+1)=(-1-n)·(2a-3),结合n=-2m,可得a=(a-1)m,当a=1时,显然该式不成立,故a≠1,则m=,n=, 所以B点的坐标为. 由于A在第一象限内,B在第四象限内,所以解得a>1. (3)第一步:分别求得|OA|,|OB|,|AB|. 由(2)可知A(2a,a),B,a>1, 则|OA|==a,|OB|==, 因为kOA·kOB=×(-2)=-1,所以OA⊥OB, 所以|AB|==, 第二步:将△AOB的周长用含有a的式子表示. 所以△AOB的周长C△AOB=|OA|+|OB|+|AB|=·, 第三步:换元,利用基本不等式求最小值. 令t=a-1,则t>0,C△AOB=·≥·=·=4+2,当且仅当t=1,即a=2时取等号, 故△AOB周长的最小值为4+2. 7 学科网（北京）股份有限公司 $