第1章 12 高考模拟练（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

**基本信息** 分层设计清晰，应用实践与迁移创新结合，覆盖空间几何从基础证明、角的计算到新定义向量运算的进阶路径，助力知识巩固与创新意识培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |应用实践|空间几何证明、线面角、二面角计算|结合高考模拟情境，4题梯度从基础证明到含参数最值问题，强化逻辑推理与运算能力| |迁移创新|新定义向量叉积运算及几何应用|融入右手标架新情境，3问从性质证明到体积计算，体现数学建模与跨学科思维|

高考模拟练 应用实践 1.(2026山东济南历下月考)如图,四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,PA=AB=1,E,F分别是线段BD和PC上的动点,且==λ(0<λ≤1). (1)求证:EF∥平面PAB; (2)求直线DF与平面PBC所成角的正弦值的最大值. 2.(2026河南郑州部分学校联考)如图1所示,在直角梯形MBCD中,MD∥BC,BM⊥MD,且MD=BC=2,点A,E分别在线段MD,BC上,且MA=BE=1,P为DC的中点,将四边形MBEA沿AE折起,使二面角C-AE-B的大小为θ. (1)若AE=1,θ=(如图2所示),求直线AB与平面BCD所成角的正弦值; (2)若θ=,Q为平面ABE内一点,若PQ⊥平面ABE(如图3所示),求PQ的长. 　　 3.(2026安徽阜阳太和中学月考)如图所示,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=BC=2AD=2,四边形EDCF为矩形,CF=,平面EDCF⊥平面ABCD. (1)求证:DF∥平面ABE; (2)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值; (3)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为?若存在,求出线段BP的长;若不存在,请说明理由. 4.(2025广东佛山高中教师解题比赛)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠B1A1A=∠C1A1A=60°,AA1=AC=4,AB=2,P,Q分别为棱AA1,AC的中点. (1)在平面ABC内过点A作AM∥平面PQB1交BC于点M,请写出作图步骤,但不要求证明; (2)若侧面ACC1A1⊥侧面ABB1A1,求直线A1C1与平面PQB1所成角的正弦值. 迁移创新 5.(创新题·新情境)(2026甘肃武威月考)从O点引出三个不共面的向量e1,e2,e3,它们之间的位置关系和右手拇指、食指、中指的位置相同,则这个标架(记为{O;e1,e2,e3})构成右手标架,如图所示.规定:a×b为一个向量,它的长度为|a|·|b|sin<a,b>,它的方向与向量a,b均垂直,且使{O;a,b,a×b}构成右手标架.该运算满足:a×(λb)=λ(a×b);(a+b)×c=a×c+b×c;c×(a+b)=c×a+c×b.已知i,j,k为单位正交基底,且{O;i,j,k}构成右手标架,以i,j,k的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,若m=xi+yj+zk,则记m=(x,y,z). (1)证明:a×b=-(b×a); (2)已知向量a=(1,2,0),b=(1,0,3),求a×b的坐标表示; (3)①在三棱锥O-ABC中,×=(1,2,2),=(2,1,2),求三棱锥O-ABC的体积VO-ABC; ②请结合“×”与“数量积”的几何意义,用,,表示平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积. 答案与分层梯度式解析 高考模拟练 1.解析　(1)证明:连接AC,取CD的中点G,连接AG,由四边形ABCD是菱形,且∠ABC=60°,可知△ACD为等边三角形,则AG⊥CD,又AB∥CD,故AG⊥AB. 因为PA⊥平面ABCD,AB,AG⊂平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AG,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,,0),D(-1,,0),P(0,0,1),G(0,,0), 所以=(1,,-1),=(-3,,0),=(-2,0,1), 由==λ(0<λ≤1),可知=λ,=λ, 所以=++=(4λ-2,0,1-λ), 易知=(0,,0)是平面PAB的一个法向量, 显然·=0,且EF⊄平面PAB,故EF∥平面PAB. (2)结合(1)可知=+=(λ+1,λ-,1-λ), 设平面PBC的法向量为n=(a,b,c), 则 令a=1,则c=2,b=,则平面PBC的一个法向量为n=, 设直线DF与平面PBC所成的角为α, 则sin α=|cos<n,>|==, 易知λ=时,(5λ2-6λ+5)min=,此时sin α取得最大值,为. 2.解析　(1)由题知AM,AE,AD两两垂直,以A为原点,建立如图1所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,1),C(1,2,0),D(0,1,0), 所以=(1,0,1),=(0,2,-1),=(-1,1,-1), 设平面BCD的法向量是m=(x,y,z), 则得即 取y=1,得平面BCD的一个法向量为m=(-1,1,2), 设直线AB与平面BCD所成的角为α, 所以sin α===, 所以直线AB与平面BCD所成角的正弦值为. (2)如图2,分别取AE,AB的中点K,T,连接KT,PK,TP. 由题意知AE⊥KT,AE⊥PK,所以∠PKT为二面角C-AE-B的平面角,即∠PKT=θ,又KT,PK⊂平面PKT,KT∩PK=K,所以AE⊥平面PKT. 若PQ⊥平面ABE,因为AE⊂平面ABE, 所以AE⊥PQ,又AE⊥PK,PQ,PK⊂平面PQK,PQ∩PK=P,所以AE⊥平面PQK, 又AE⊥平面PKT,所以Q∈KT且KQ∈, 在Rt△PKQ中,cos θ=,因为θ=,且KP==,所以PQ=KQ=×=, 即PQ的长为. 3.解析　(1)证明:在矩形EDCF中,ED⊥CD, ∵平面EDCF⊥平面ABCD,平面EDCF∩平面ABCD=CD,ED⊂平面EDCF, ∴ED⊥平面ABCD, 过D作AB的平行线,交BC于点G,又AD∥BC,∴四边形ABGD为平行四边形,又AD⊥AB,即∠DAB=90°,∴四边形ABGD为矩形,∴AD⊥DG. ∵AD,DG⊂平面ABCD,ED⊥平面ABCD,∴AD⊥ED,DG⊥ED.以D为原点,DA,DG,DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,),F(-1,2,), ∴=(-1,-2,),=(0,2,0), 设平面ABE的法向量为n=(x,y,z), 则即则y=0,令z=1,得x=,故n=(,0,1), 又=(-1,2,),∴·n=-+0+=0,∴⊥n, 又∵DF⊄平面ABE,∴DF∥平面ABE. (2)由(1)得=(-1,-2,),=(-2,0,), 设平面EFB的法向量为m=(x1,y1,z1), 则即 令y1=,则x1=2,z1=4, 故m=(2,,4), 设平面ABE与平面EFB所成的锐二面角为θ, 则cos θ===, ∴平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值是. (3)假设存在满足题意的点P,且=λ,则由(1)知=λ(-1,2,)=(-λ,2λ,λ),λ∈[0,1], ∴P(-λ,2λ,λ),=(-λ-1,2λ-2,λ), 设直线BP与平面ABE所成的角为α, 由(1)知平面ABE的一个法向量为n=(,0,1), ∴sin α=|cos<,n>|===, 化简得8λ2-6λ+1=0,解得λ=或λ=. 当λ=时,=, ∴||=2; 当λ=时,=, ∴||=2. 综上,存在满足题意的点P,且线段BP的长为2. 4.解析　(1)在平面ABB1A1内,过点A作AN∥B1P交BB1于点N, 连接BQ,在△BB1Q中,作NH∥B1Q交BQ于点H,连接AH并延长交BC于点M,则直线AM即为所求. (2)连接PC1,AC1,因为AA1=AC=4,A1C1=AC,∠C1A1A=60°,所以△AC1A1为正三角形,因为P为AA1的中点,所以PC1⊥AA1,又侧面ACC1A1⊥侧面ABB1A1,侧面ACC1A1∩侧面ABB1A1=AA1,PC1⊂侧面ACC1A1,所以PC1⊥平面ABB1A1, 以P点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz,则P(0,0,0),A1(0,2,0),C1(0,0,2),A(0,-2,0),C(0,-4,2),Q(0,-3,),B1(,1,0), 则=(0,-2,2),=(0,-3,),=(,1,0), 设平面PQB1的法向量为n=(x,y,z), 则即 即令x=-1,得n=(-1,,3), 设直线A1C1与平面PQB1所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|===,即直线A1C1与平面PQB1所成角的正弦值为. 一题多解　本题第(1)问还有以下求法: ①连接A1B和A1C,过A作AN∥PB1交A1B于N,过N作NM∥A1C交BC于M,连接AM. ②延长BA,B1P交于R,连接RQ并延长交BC于K,过A作AM∥QK交BC于M. ③过A作AT∥PB1交BB1于T,过A作AS∥PQ交C1C的延长线于S,连接TS交BC于M,连接AM. 5.解析　(1)证明:若a与b共线,则a×b=b×a=0,满足a×b=-(b×a); 若a与b不共线,则|a×b|=|a||b|·|sin<a,b>|=|b||a||sin<b,a>|=|b×a|,即a×b与b×a的模相等, 根据定义知a×b与b×a同时垂直于a,b,因此a×b与b×a共线, 由题意知a,b,a×b与b,a,b×a按顺序分别构成右手标架{O;a,b,a×b}与{O;b,a,b×a},所以a×b与b×a的方向相反,因此a×b=-b×a. 综上知,a×b=-(b×a). (2)由题知,a=(1,2,0)=i+2j,b=(1,0,3)=i+3k, 则a×b=(i+2j)×(i+3k)=i×i+i×3k+2j×i+2j×3k, 由定义知i×i=j×j=k×k=0,i×k=-j,j×i=-k,j×k=i, 代入上式得a×b=6i-3j-2k,因此a×b的坐标表示为(6,-3,-2). (3)①结合定义可知,|×|的几何意义为以OA,OB为邻边的平行四边形的面积, 所以S△OAB=|×|=, 易得=(2,1,2)在×上的投影的长度为=, 所以VO-ABC=S△OAB·=××=. ②由|a×b|的几何意义可得平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的面积为|×|, 点A1到底面ABCD的距离为在底面ABCD的法向量×上的投影的长度, 因此=|×|·(注:此公式也可以直接应用在选择、填空题中). 素养点评　本题主要考查与空间向量有关的新定义运算.新定义类试题的要点在于超越机械记忆,直指对核心素养的考查.这类试题往往通过创设陌生情境,引导学生将已有的数学知识、思想方法进行有效迁移,并灵活应用于解决新问题.学生需从新情境中抽象出核心模型,依靠逻辑推理构建解题路径,然后进行精准运算,同时借助直观想象洞察结构间的关联,通过数据分析把握其内在规律,并最终完成数学建模,实现从实际问题到数学结论的转化. 7 学科网（北京）股份有限公司 $