专题探究1 空间向量的综合应用-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（人教A版）

专题探究1空间向量的综合应用 黑题 专题强化 限时：65min 题组1空间向量及其运算 7.（2025·山东淄博高二月考)如图，在空间四 1.(2025·湖南长沙高二期中)已知非零向量 边形0-ABC中，2BD=DC,E为AD的中点，设 a=3m-2n-4p,b=(x+1)m+8n+2yp,m,n, 0A=a,0i=b,0C=c. p不共面，若a∥b,则x+y= ( (1)试用向量a,b,c表示向 A.-13 B.-5 C.8 D.13 (2)若0A=0C=3,0B=2 2.(2025·山东泰安高二月考)已知空间向量a, ∠AOB=60°，求0E·AC的值 b,c满足a+b+c=0,Ial=1,1b1=2,lc|=√7， 则a与b的夹角为 ( A.30°B.45° C.60° D.90° 3.（2025·广东广州高二月考)如图，在长方 体ABCD-A,B1C,D1中，AD=AA1=3,AB=4,E, F,G分别是棱CD1,BC,CC1的中点，M是平 面ABCD内一动点，若直线D,M与平面EFG 8.(2025·江西南昌高二月考)如图，在四棱锥 平行，则MB,·MD的最小值为 P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD 是正方形，PD=AD=2,E是PA (1)求1D1; A.23 B.9 c (2)证明：D尼1BP; 4.在长方体ABCD-AB,C,D1中，AB=AD= (3)求cos(E京，AC的值. 1,AA1=2,P为底面ABCD上一点（包括边 界)，则AP·AC的取值范围为 5.(2025·河北邢台高二期中)已知向量a= (-2,3),6=(号1,1)，若a与b的夹角为 锐角，则实数t的取值范围是 6.已知三个空间向量a,b,c的模均为1，它们相 互之间的夹角均为60°.若Ika+b+cl>√6，则k 的取值范围为 第一章黑白题025 题组2空间向量在立体几何中的应用 12.（2025·四川德阳高二月考)如图，在长方 9.如图，在长方体ABCD-A1BC1D1中，AB= 体ABCD-A,B,CD1中，AB=BC=4,CC1=2. BC=2,AA1=2√2，E是棱CC1的中点，设直线 P为B,C上一动点，记B1P=ABC. BE与A,C所成的角为，直线A,C与平面 (1)求线段PA的最小值； BDD1B,所成的角为B,则a+B= ( (2)当PA取最小值时，求三棱锥C-APB的 A.105° B.120°C.135° D.150° 体积； (3)当AP∥平面ACD1时，求入的值. (第9题) (第10题) 10.（多选)(2025·河南郑州高二月考)如图， AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥ AB,AE=BC=2,AB=AD=1,C A.BD⊥EC (2025·江西宜春高二月考)在图中所示的 B.BF∥平面ADE 试验装置中，两个正方形框架ABCD,ABEF C.平面EBD与平面ABCD 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直， 为对 活动弹子M,N分别在正方形对角线AC和 BF上移动，且CM和BN的长度保持相等， D.直线CE与平面BDE所成角的正弦值 记CM=BN=t(0<t<√2). 对 (1)求MN长的最小值； 11.(2025·辽宁大连高二月考)如图，圆台002 (2)当MW的长最小时，求二面角A-MN-B 的正弦值. 中，上、下底面半径比为1：2，平面ABCD为 圆台轴截面，母线与底面所成角为于，上底面 中的一条直径清起∠D0,E=写则A, BF夹角的余弦值为 选择性必修第-册·RJA黑白题026压轴挑战 B解析：如图，取AD中点G,连接PG,因为AB⊥平面 PAD,ABC平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面PAD.因 为△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，所以 PG⊥AD.又PGC平面PAD,且平面ABCD∩平面A PAD=AD,所以PG⊥平面ABCD.分别以GA,GP和过 点G与AB平行的直线为x,,y轴建立如图所示的空间直角坐标系则 G(0,0,0),A(1,0,0),D(-1,0,0),B(1,2,0),P(0,0,1),设F(1,y, 0),0<y<2,设Di=xD币=x(1,0,1)=(x,0,x),0<x<1,故E(x-1,0,x), 得E=(2-x,y,-x),P应=(x-1,0,x-1).又因为Pi=(1,0,-1),且异面 直线PA与EF成30的角，故1PA.E1=1P1·1E1cos30°，即2= x2可×，即(-12=寸7，因为0y<2,所以 (-12e(o,写)，则12=2(-1)2e（0,号)放得应1e(o, )故选 专题探究1空间向量的综合应用 黑题专题强化 1.B解析：因为a∥b,则存在入∈R,使得b=入a,即(x+1)m+8n+2yp= (x+1=3入 3入m-2An-4p,则8=-2入，解得x=-13,y=8,所以x+y=-5.故 2y=-4λ， 选B. 2.C解析：由题设a+b=-c,则a2+2a·b+b2=c2,故5+2a·b=7,所 以cs(a,b)=号又(a,b)e[0,180],所以a,b)=60故选C 3.C解析：如图，分别以A店，A市，AA的方向为x轴、y轴、z轴的正方向 建立空间直角坐标系，可得B(23,3),F(4,子，0）.c(4,3 ),0(03,3),8(40,3,设Ma6,0),所以-(2， -）,元-(0，，2），D或=(a,63,3).设平面EG的法向量 2x- 23z=0 3 为n=(x,y,z),则 n…E亦=0， 得 n.Fc=0, 33 令x3 ,则y (22=0, 1=-1,即a=(子1，-1）由于直线D,M与平面EG平行，则 0m=0,得-}+6-3+3=0，即6=a,=(4-a,-6,3), MD=(-a,3-b,3).所以MB.MD=(4-a)·(-a)+(-b)·(3-b)+ 4a+9s (a-2)2+4由于ae(0,4),故当a=2时，M厉，·MD取得最小值， 最小值为？放选C B (第3题) (第4题) 4.[0,2]解析：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则 A(0,0,0),C(1,1,2).设P(m,n,0),0≤m≤1,0≤n≤1，则A=(m, 选择性必修第一册·RJA n,0),AC=(1,1,2),故A.AC=m+n∈[0,2].故答案为[0,2]. 5.(33)u(3,+0)解析：因为a与6的夹角为悦角，所以a: s0即(-2×（子）3>0，解号由aa,得兰 2-1 3,故t≠3，故t的取值范围为 -号)u(3+)故答案为 (3u3, 6.(-∞，-3)U(1,+∞)解析：因为a,b,c的模均为1，它们之间的夹 角均为60，所以2=62=心=1，a·b=e·b=a·c=子又 (ka+b+c)2=k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2c·b=k2+2k+3>6,所 以k2+2k-3>0=(k+3)(k-1)>0→k<-3或k>1.故答案为(-0， -3)U(1,+). 71解(2励-元励号成号成-=号(c-b),故励 破+励=6+写(e-b)=子+写c:g为4D的中点，故成= 2 1 9 (2)由题意得ac=2a·b=3,c…b=3,Ad=0心-0=c-a,故 o成.ad=(3a++c）】 1 2a+38 3a·c 1 1 13= 3 2 8.(1)解：因为PD⊥底面ABCD,底面ABCD是正 方形，故建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2).因为P= }应，放(，子，），放11 4.162W6 V92+ 9 3 (2)证明：因为A(2,0,0),P(0,0,2),故E(1,0,1),故D2=(1,0,1), B=(-2,-2,2),所以D成.B成=-2+2=0，所以D1B (3)据：(12)可得8-（号号号）百c0,20.故d 24 （-220.故m成.恋酵.花了05 EA心6义 2 3×2w2 9.C解析：建立以D为坐标原点的空间直角坐 标系如图所示，则B(2,2,0),E(0,2,2), A1(2,0,22),C(0,2,0),A(2,0,0),可得 A B2=(-2,0,2),41t=(-2,2,-22),易知 cos a=I cos(BE,ACI= B成.At B·AC 0,且0°≤a≤90°，所以a=90°.易得平面 BDD1B1的一个法向量为A元=(-2,2,0)，因此可得simB=1cos(AC, At)1= A花.At 8=5又0°≤B≤90，可得B= AG1.1A,t12w2x42 45°，因此a+B=135°.故选C. 1O.BCD解析：根据题意可知AE,AB,AD两两垂 直，不妨以A为原点建立空间直角坐标系，如 图所示，可得B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1, 0),B80.0,2)r12,9)则励=(-1,1， 0),E元=(1,2，-2)，B2=(-1,0,2),所以B励· 黑白题18 E元=-1x1+1×2+0x(-2)=1≠0，所以BD,EC不垂直，故A错误；依 题意，A店=(1,0,0)是平面ADE的一个法向量，又B=0,2 气），可得亦.店-0，则BF1AB,又因为直线BF平面ADB,所 以BF∥平面ADE,故B正确；设m=(a,b,c)为平面BDE的一个法 向量，则m:-06=0、令6=20=26=1，可得m=(2,2 1m.Bi=-a+2c=0, 1),而AE=(0,0,2)即底面ABCD的一个法向量，设平面EBD与平 面ABCD夹角为a,则csa=1os(m,A应1=1m·A-2 1m1·1A13x2 号放C正确：设直线cCB与平面0s所成角为0.d店：(-1， -2,2),则sin0=1os(d应，m)1=G:ml.4 G1·m9,放D正确故 选BCD. 11.0解析：如图，过点01作直线01P⊥01B,过 点D作直线DQ⊥O1A于点Q.设AO1= D04 2D0,=2,由题意可知∠4Q=号0,0，= DQ=√3.在圆台中，0102⊥01B,0102⊥A 00 O1P,以点01为坐标原点，0，P所在直线为 x轴，01B所在直线为y轴，0102所在直线为 z轴建立如图空间直角坐标系，A(0,-2,0),B(0,2,0). 0号（停分5r(子）应 (停)小成（原三小成1=感1 √（停）+()+)2=6设B,Br夹角为e,则ma A应.B () =0,故答案为0. 1A正1·1B1 √6×√6 12.解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4,0,0),B1(4, 4,2),C(0,4,0),故B1C=(-4,0,-2).因为B1户=AB1C=A(-4, 0,-2)=(-4入，0，-2A)(0≤A≤1)，所以P(4-4A,4,2-2),故A= （-4A,4,2-2A),则PA=√(-4)2+42+(2-2A)7=√20n2-8A+20= 2v52以5=25（写）故当A=时，H取得是 4.430 小值25 5 (2)H取最小值时，A=行，=号花，则成=号元，故 5 em=em=号a用·hB=分×号a·AB=写×号x 1 14 B,·cAB=宁×号×22x44时 141 64 (3)因为D1(0,0,2),A1(4,0,2),则AD=(-4,0,2),A元=(-4,4， 0),A1P=(-4入，4，-2入)，设平面ACD1的法向量为m=(x,y,z),故 AD1·m=-4x+2z=0,且AC·m=-4x+4y=0,取z=2,则m=(1, 1,2),由于A1P∥平面ACD1时，故A产1m,即-4+4-4A=0,解得 λ2 (第12题) (第13题) 参考答案 13.解：（1)因为平面ABCD⊥平面ABEF,又平面ABCD∩平面 ABEF=AB,CB⊥AB,CBC平面ABCD,所以CB⊥平面ABEF,又 AB⊥BE,如图，以B为原点，BA,BE,BC所在直线分别为x轴 y轴、z轴，建立空间直角坐标系因为两个正方形的边长都为1，所 以A(1,0,0),B(0,0,0),C(0,0,1).又CM=BN=t,则C成=C= (后0，后）得(停0,1)，同理可得N 2,2, 0）,所以11=√（受）+（1）P2 √不}号又0a反，所当受时w的长最小最水 值为经 (2)由(1)知，当MN的长最小时，M,N分别为正方形对角线AC和 BF的中点，可得n(分0,2)，N(分，2,0）设平面AN的 法向最为m=(,又d=(分0，之)，城=(0，宁 m=0， 取x1=1,可得m=(1,1,1).设 平面BN的法向最为m=(a,6e),又成：（分0，号），： m威=2+c=0, a--=0取a=-1,可得m=(~1, 262=0, m·n 1 1,1),则cs(m,〉=m:m=3,所以加(m,n〉= √/1-cos2(m,n〉= 2因此，二面角4-MN-B的正孩值为2 3 第一章章末检测 1,A解析：根据关于y轴对称的对称点的坐标的特点，可得点(1，-2， 3)关于y轴的对称点坐标为(-1，-2，-3).故选A (6=入x, 2.B解析：由a∥b可得存在实数A使得b=Aa,即-4=2入，所以 (y=-入， 入=-2，x=-3,y=2.故x+y=-1,故选B. 3.A解析：在△ABD中，Bi=Ad-A店，在△ACD中，D心=A亡-Ad,故 -+萨-店+硫=+子（励+成）=店+子（市-店+ 成）店+市+花-动=2应}市+}花故选A 4.B解析：由题意，直线l的方向向量m=(2,1,1),P=(3,4,5),则 1P12=32+42+52=50,P7·m=6+4+5=15,1ml=6,所以点Q(2,4, 6)到直线1的距离为d=/P成12-（ gT- 5,故选B. 2 5.D解析：由题图可知，AP,=A应+B配，则A店，A正=A成.(A成+BP)= A+A店.BP因为正方体的棱长为1，AB上BP,所以A店·BP=0, AB.AP,=A2+A店.B:=1+0=1,故集合{yly=A店.AP,i=1,2,3, …,8中的元素个数为1.故选D. 6.A解析：在三棱柱ABC-AB1C1中，CC1⊥平面ABC,LACB= 90°，AA1=2,AC=BC=1,以点C为原点，CA,CB,CC1所在直线分别 为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0,1,2),C(0,0, 0),A(1,0,0),B(0,1,0),CB1=(0,1,2),BA=(1,-1,0),BB=(0, 黑白题19