第1章 08 专题强化练2 空间几何体中的建系设点方法与技巧（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

**基本信息** 聚焦空间几何体建系设点，系统提炼垂面垂线、斜面构造等7类方法，形成“定理-技巧-应用”逻辑链条，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |垂面型|1|利用线面垂直、面面垂直建系|线面垂直判定→坐标系建立→法向量计算| |斜棱柱(锥)型|1|垂线为z轴，底面寻垂直直线|斜棱柱结构特征→射影坐标计算→空间角求解| |斜面型|1|顶点作底面垂线，垂足构x,y轴|棱锥高计算→坐标体系构建→二面角求解| |平行六面体型|1|利用对称性及侧棱与底面夹角|平行六面体性质→高的计算→体积与距离| |棱台型|1|上下面中心连线为z轴|棱台结构→交线平行性质→线面垂直证明| |不规则几何体|1|切割出棱锥，参考斜面型建系|多面体分割→垂面判定→法向量夹角| |无垂面型|1|构造辅助线补充垂直条件|空间菱形性质→长方体模型→存在性问题论证|

专题专项练 专题强化练2　空间几何体中的建系设点方法与技巧 1.(2026吉林白城第一中学月考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=4,点A1在底面ABC内的射影为BC的中点,D为B1C1的中点. (1)证明:A1D⊥平面A1BC; (2)求二面角C-A1B-B1的正弦值. 2.(2026广东东莞四校联考)如图,PC⊥平面ABCD,AD⊥CD,AB⊥BC,PC=2,AD=CD=,点F在线段PD上且满足CF⊥PD,点E在线段PA上且满足=λ(0<λ<1),连接EF. (1)证明:CF⊥平面PAD; (2)若CE⊥PD,求λ的值; (3)若存在λ,使直线BE与平面PAC所成的角为,求AB的长的取值范围. 3.(2026山西太原联考)在四棱锥E-ABCD中,ED⊥平面EBC,AD=ED,在底面ABCD中,AD∥BC,∠BAD=∠CBA=90°,AB=BC=2AD. (1)若点F在线段BC上,试确定F的位置,使平面DEF⊥平面ABCD,并给出证明; (2)求二面角A-EB-C的余弦值. 4.(2026四川成都石室中学月考)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,||=||=||=2,∠A1AD=∠A1AB=,∠BAD=. (1)求平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积; (2)设四面体A1ABD的外接球球心为O,求点B到平面OB1C1的距离. 5.(2026安徽宿州宿城一中月考)如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,上、下底面是边长分别为4和6的等边三角形,AA1⊥平面ABC,设平面AB1C1∩平面ABC=l,点E,F分别在直线l和直线BB1上,且满足EF⊥l,EF⊥BB1. (1)证明:EF⊥平面BCC1B1; (2)若直线EF和平面ABC所成角的余弦值为,求该三棱台的体积. 6.(2026陕西榆林阶段检测)如图所示,在多面体ABCDEF中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,侧面ABEF为菱形,平面ABEF⊥平面ABCD,M为棱BE的中点. (1)若N为DE的中点,求证:MN∥平面ABCD; (2)若AB=BC=AD,∠EBA=60°,求平面MAD与平面EFD夹角的余弦值. 7.(2026浙江舟山五校联考)定义:若一个四面体ABCD的三组对棱分别相等(即AB=CD,AC=BD,AD=BC),则称该四面体为空间菱形.如图,已知空间菱形ABCD中,AB=a,AC=AD=. (1)若平面ABC⊥平面ABD,求实数a的值; (2)在(1)的条件下,求该空间菱形ABCD的体积; (3)若a=,那么在棱CD上是否存在一点P,使得平面ABP与平面ABC的夹角为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 专题专项练 专题强化练2　空间几何体中的建系设点方法与技巧 1.解析　(1)证明:如图,设O为A1在底面ABC内的射影,连接A1O,AO,OD,则A1O⊥平面ABC. 因为AO⊂平面ABC,所以AO⊥OA1,因为O为BC的中点,AB=AC,所以AO⊥BC, 因为BC∩OA1=O,BC⊂平面A1BC,OA1⊂平面A1BC,所以AO⊥平面A1BC. 又D为B1C1的中点,所以OD∥CC1且OD=CC1,则OD∥AA1且OD=AA1,所以四边形AODA1为平行四边形, 所以AO∥A1D,所以A1D⊥平面A1BC. (2)由(1)及题意,可建立如图所示的空间直角坐标系,则O(0,0,0). 因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=4,所以A1(0,0,),A(,0,0),B(0,,0), 则=(,0,0),=(0,-,),=(-,0,). 由(1)知AO⊥平面A1BC,则=(,0,0)是平面A1BC的一个法向量, 因为AA1∥BB1,且AA1=BB1,所以==(-,0,). 设平面A1BB1的法向量为m=(x,y,z),则即 取z=1,得x=y=,所以m=(,,1),则cos<m,>==, 所以二面角C-A1B-B1的正弦值为=. 方法技巧 常见的建立空间直角坐标系的技巧 1.利用共顶点且相互垂直的三条棱建系,如图1. 　 2.利用线面垂直建系,如图2. 3.利用面面垂直建系,如图3. 4.利用正棱锥的底面中心与高所在直线建系,如图4. 5.利用图形中的对称关系建系.图形中有一定的对称关系(如正三棱柱、正四棱柱等)时,利用图形自身的对称性可建立空间直角坐标系. 2.解析　(1)证明:∵PC⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴PC⊥AD, 又∵AD⊥CD,PC∩CD=C,PC,CD⊂平面PCD,∴AD⊥平面PCD, ∵CF⊂平面PCD,∴AD⊥CF, 又∵CF⊥PD,AD∩PD=D,AD,PD⊂平面PAD,∴CF⊥平面PAD. (2)由(1)可知CF⊥PD,又CE⊥PD,CE∩CF=C,CE,CF⊂平面CEF, ∴PD⊥平面CEF,又∵EF⊂平面CEF, ∴PD⊥EF, 由(1)可知,AD⊥PD,∴AD∥EF. 则△PEF与△PAD相似,则=, 在Rt△PCD中,PC=2,CD=, ∴DP=, ∴DF=CDcos∠PDC=×=, ∴λ===. (3)以B为原点,BC,BA所在直线分别为x轴,y轴,过点B且垂直于平面BAC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. ∵AD⊥CD,AD=CD=,∴AC==2,不妨设AB=a,BC=b,a>0,b>0, ∵AB⊥BC,∴AB2+BC2=AC2,即a2+b2=4,则b2=4-a2>0,故0<a2<4(*). 易得B(0,0,0),A(0,a,0),C(b,0,0),P(b,0,2),则=(-b,a,0),=(0,0,2),=(b,-a,2), 设E(x,y,z),则=(x,y-a,z), 由=λ可得 则E(bλ,(1-λ)a,2λ), ∴=(bλ,(1-λ)a,2λ),0<λ<1, 设平面PAC的法向量为n=(x1,y1,z1), 于是所以 则z1=0,令x1=a,得y1=b,故n=(a,b,0),∴|n|==2, 又||= = =, ∴sin =|cos<,n>|===,结合a2+b2=4,化简得24λ2-6a2λ+a4-a2=0, 设f(λ)=24λ2-6a2λ+a4-a2,0<λ<1,(构造函数,通过研究函数的性质来研究动点的变化) ∵要存在λ,使直线BE与平面PAC所成的角为,∴f(λ)在(0,1)上有零点. 易知函数f(λ)在R上的图象的对称轴方程为λ=,结合(*)知0<<,故f(1)>f(0), 又f(1)=a4-7a2+24=+>0, ∴只需满足Δ=(-6a2)2-4×24×(a4-a2)=-60a4+96a2≥0,∴0<a≤, ∴AB的长的取值范围为. 名师支招　斜棱柱(锥)垂线(面)型建系时从以下方面思考:如果存在下底面的垂线,那么可直接将垂线(或其平行线)作为z轴,在下底面内寻找或者作出一对相互垂直的直线作为x,y轴建系.此类坐标系建立的难点是分析“悬空”的点的坐标.悬空点的坐标可以从以下角度求得:①寻找悬空点在各坐标平面内的射影,求得射影点的坐标以及两点间的距离;②借助相等向量,寻找以悬空点为起点或终点的向量在各坐标平面内的平行于坐标轴的相等向量,即可计算出悬空点的坐标. 3.解析　(1)当F是BC的中点时,平面DEF⊥平面ABCD.证明如下:由F是BC的中点,得BF=BC,又AD∥BC,BC=2AD,所以AD∥BF,AD=BF,则四边形ADFB是平行四边形.根据∠BAD=∠CBA=90°,得四边形ADFB是矩形,故BC⊥DF.因为ED⊥平面EBC,BC⊂平面EBC,所以BC⊥ED,因为DF∩ED=D,DF,ED⊂平面DEF,所以BC⊥平面DEF,又BC⊂平面ABCD,所以平面DEF⊥平面ABCD. (2)结合(1)中结论,不妨令F为BC的中点,过点E作EO⊥DF于点O,因为平面DEF⊥平面ABCD,平面DEF∩平面ABCD=DF,所以EO⊥平面ABCD, 以直线OF为x轴,直线OE为z轴,平面ABCD内过点O且垂直于DF的直线为y轴,建立空间直角坐标系,如图所示, 设ED=AD=1,则AB=BC=2,因为ED⊥平面EBC,EF⊂平面EBC,所以ED⊥EF, 在Rt△DEF中,根据ED=1,DF=2,可得EF=,EO=,OD=,OF=, 则E,A,B,1,0,C,D,则=,=(0,2,0),=(2,0,0),=. 因为ED⊥平面EBC,所以=为平面EBC的一个法向量. 设平面EAB的法向量为n=(x,y,z),则即则x=0, 令z=2,则y=,所以n=(0,,2). 则cos<,n>===, 设二面角A-EB-C的大小为θ,由图可知θ>,所以cos θ=-, 因此二面角A-EB-C的余弦值为-. 方法技巧　斜面型棱锥建系技巧:从棱锥的顶点向下底面作垂线,通过题中条件,寻找并计算出棱锥的高,以垂线为z轴,再在垂足处构造或者寻找一对互相垂直的直线作为x,y轴来建立坐标系. 4.解析　(1)由题得S四边形ABCD=4,设AA1与底面ABCD所成的角为θ,A1在底面内的射影为O1,连接A1O1,过A1作A1E⊥AB于E,连接O1E, 因为∠A1AD=∠A1AB=,所以O1一定在AC上,由几何关系易知AB⊥O1E.(点拨:实际上,AB⊥平面A1O1E) 在Rt△A1O1E中,A1E2=A1+O1E2,即=(2sin θ)2+2cos θ·sin 2,又sin2θ+cos2θ=1, 故联立可解得sin θ=(舍负),所以此平行六面体的高A1O1=2×=, 所以此平行六面体的体积为4. (2)连接BO1,DO1.由(1)可得||=,则||==,又AC=2, 所以O1为线段AC的中点, 则||=||=||=||=, 所以四面体A1ABD的外接球球心O与点O1重合,以O1为原点建立如图所示的空间直角坐标系, 则O(0,0,0),C1(-2,0,),A(,0,0),A1(0,0,),D(0,-,0), 所以=(-2,0,),==(-,-,0),==(-,0,), 设平面OB1C1的法向量为n=(x,y,z),则 取x=1,得y=-1,z=2, 所以n=(1,-1,2), 所以点B到平面OB1C1的距离d===. 名师支招　无垂面、垂线的斜棱柱,可利用其本身的结构特点(对称性等)来建系,如平行六面体型建系时,可以利用平行六面体的特殊性,若平行六面体的某条侧棱和底面内与其有公共点的相邻两边所成的角相等,则该侧棱在底面内的投影所在的直线是底面内与其有公共点的相邻两边所成角的角平分线所在的直线,此时可以选侧棱上合适的点,作其在底面内的射影,并以这两点所连直线为z轴建系. 5.解析　(1)证明:在三棱台ABC-A1B1C1中,B1C1∥平面ABC, 因为B1C1⊂平面AB1C1,且平面AB1C1∩平面ABC=l,所以B1C1∥l, 因为EF⊥l,所以EF⊥B1C1, 所以EF⊥BC, 又EF⊥BB1,BC∩BB1=B,BC,BB1⊂平面BCC1B1, 所以EF⊥平面BCC1B1. (2)取BC的中点M,连接AM,以A为原点,直线AM为y轴,直线AA1为z轴,过点A且垂直于Ayz平面的直线为x轴,建立空间直角坐标系,如图所示,设三棱台的高为h, 则B(3,3,0),B1(2,2,h),C(-3,3,0),则=(6,0,0),=(-1,-,h), 设平面BCC1B1的法向量为n=(x,y,z), 则即 令z=,可得平面BCC1B1的一个法向量为n=(0,h,), 易得平面ABC的一个法向量为(0,0,1),记m=(0,0,1), 易得m·n=,|n|=,|m|=1, 所以cos<m,n>==, 设直线EF与平面ABC所成的角为θ, 由cos θ=,得sin θ=, 由(1)知∥n,所以sin θ=|cos<m,n>|==,解得h=(舍负), 所以该三棱台的体积V=h(S△ABC++)=19. 名师支招　正棱台型几何体的建系较简单,一般是以下底面正多边形的中心为原点,上、下底面中心的连线为z轴建系.对于非正棱台型几何体,如有垂面或者垂线,则可参考垂面垂线型建系思维,无垂面、垂线时,则可参考斜面型棱锥的建系思维. 6.解析　(1)证明:连接BD,因为M,N分别为BE,DE的中点,所以MN为△EBD的中位线,所以MN∥BD, 又MN⊄平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以MN∥平面ABCD. (2)取AB的中点O,连接OE,AE, 因为侧面ABEF为菱形,且∠EBA=60°, 所以△EBA为等边三角形,所以OE⊥AB, 又因为平面ABEF⊥平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD=AB,OE⊂平面ABEF,所以OE⊥平面ABCD, 过O作AB的垂线,交BD于H, 以O为坐标原点,OH,OA,OE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz,如图所示, 设AD=4,则AB=BC=AD=2,故E(0,0,),D(4,1,0),A(0,1,0),F(0,2,),M, 则=,=,=(0,2,0),=(4,1,-), 设平面MAD的法向量为m=(x1,y1,z1),则 即取y1=1,可得m=(0,1,), 设平面EFD的法向量为n=(x2,y2,z2), 则 即 取z2=4,可得n=(3,0,4), 则cos<m,n>==, 故平面MAD与平面EFD夹角的余弦值为. 方法技巧 不规则几何体建系技巧 1.若有垂面或垂线,则可参考垂面垂线型建系思维; 2.若无垂线和垂面,则可以通过选择几个合适的点,“切割出”棱锥,从而参考斜面型棱锥的建系思维. 7.解析　(1)取AB的中点E,连接CE,DE, 因为四面体ABCD为空间菱形,所以AC=AD=BD=BC=,AB=CD=a, 根据等腰三角形的性质可知CE⊥AB,DE⊥AB,所以∠CED是二面角C-AB-D的平面角,当平面ABC⊥平面ABD时,有∠CED=, 由CE⊥AB,DE⊥AB,AC=AD=BD=BC=,AB=CD=a, 可得CE=DE==,因为∠CED=,所以CE2+DE2=CD2,即3-+3-=a2,所以a=2. (2)由(1)可知CE⊥AB,DE⊥AB,因为DE∩CE=E,DE,CE⊂平面DEC,所以AB⊥平面DEC, 由(1)可知a=2,所以CE=DE==, 所以空间菱形ABCD的体积为S△ECD·AB=××××2=. (3)把空间菱形ABCD放在长方体AGDF-OCHB中,并以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 设OB=b,OC=c,OA=d,由长方体的性质可得⇒ 于是A,B,C,D, 故=,=0,,-, 设棱CD上存在一点P,使得平面ABP与平面ABC的夹角为,设P(k,m,n),且=λ(λ∈[0,1]),(关键点:根据三点共线设参) 则=λ,0,,可得Pλ,,λ,所以=λ,,λ-, 设平面ABC的法向量为m=(x,y,z), 则⇒ 取x=1,得m=(1,,1), 设平面ABP的法向量为n=(x1,y1,z1), 则⇒ 取x1=1,得n=(1,(1-2λ),1), 因为平面ABP与平面ABC的夹角为, 所以|cos<m,n>|==⇒=⇒3λ2-6λ+2=0,解得λ=, 因为λ∈[0,1], 所以λ=, 因此在棱CD上存在一点P,使得平面ABP与平面ABC的夹角为,此时=. 名师支招　无垂面垂线型几何体中缺少直接的线面垂直或面面垂直关系,需人为构造垂直条件.建系的核心原则是寻找或添加辅助线(有时需补充图形),使三条两两垂直的直线交于一点,同时优先让坐标轴经过更多的顶点或特殊点,以简化坐标计算. 7 学科网（北京）股份有限公司 $