1.1.2空间向量的数量积运算 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本练习围绕空间向量数量积运算，通过基础概念应用、几何模型计算到综合情境创新的三层设计，实现从单一知识点到复杂问题解决的递进，适配新授课知识巩固与空间观念、运算能力的培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|数量积定义、性质及直接运算|如1题异面直线方向向量夹角计算，7题向量夹角余弦求解，强化概念理解与公式应用| |中档层|几何模型中的数量积应用|如3题三棱锥中PC模长计算，10题长方体中向量数量积，结合空间几何体培养几何直观| |提升层|综合辨析与创新情境问题|如12题正方体中向量运算判断，16题内切球弦的数量积最大值，发展推理能力与问题解决能力|

1.1.2　空间向量的数量积运算 1.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且｜a｜＝｜b｜＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为（　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 2.（2024·常州月考）已知｜a｜＝1，且a－b与a垂直，且a与b的夹角为45°，则｜b｜＝（　　） A.1 B. C.2 D.2 3.如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC＝（　　） A.6　　　　　　 　 B.6 C.12 D.144 4.（2024·临沂月考）设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知（＋－2）·（－）＝0，则△ABC是（　　） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 5.（多选）设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其中正确的是（　　） A.（a·b）·c－（c·a）·b＝0 B.｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜ C.（b·a）·c－（c·a）·b一定不与c垂直 D.（3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2 6.（多选）（2024·镇江质检）如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是（　　） A.2· B.2· C.2· D.2· 7.已知a，b是空间两个向量，若｜a｜＝2，｜b｜＝2，｜a－b｜＝，则cos＜a，b＞＝　　　　. 8.如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，则·＝　　　　，·　　　·.（填“＜”“＝”或“＞”） 9.如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则向量在上的投影向量为　　　　. 10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点，求下列向量的数量积： （1）·； （2）·. 11.（2024·许昌月考）已知a，b是异面直线，点A，B∈a，点C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是（　　） A.30° B.45° C.60° D.90° 12.（多选）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有下列说法，其中正确的有（　　） A.（＋＋）2＝3 B.·（－）＝0 C.与的夹角为60° D.正方体的体积为｜··｜ 13.在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·（＋＋）＝　　　　. 14.（2026春·连云港期中) 已知，． (1) 求； (2) 当时，求实数的值． 15.如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i＝1，2，…，8）是上底面上其余的八个点，则·（i＝1，2，…，8）的不同值的个数为（　　） A.8 B.4 C.2 D.1 16.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，MN是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN最长时，求·的最大值. 1.1.2　空间向量的数量积运算 1.B　设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝－，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°. 2.B　∵a－b与a垂直，∴（a－b）·a＝0，∴a·a－a·b＝｜a｜2－｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝0.∴1－｜b｜×＝0，解得｜b｜＝. 3.C　因为＝＋＋，所以＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC＝12. 4.B　因为＋－2＝（－）＋（－）＝＋，所以（＋）·（－）＝｜｜2－｜｜2＝0，所以｜｜＝｜｜，即△ABC是等腰三角形. 5.BD　A项，∵（a·b）·c是表示与向量c共线的向量，而（c·a）·b是表示与向量b共线的向量，∴A错误；B项，∵a，b是两个不共线的向量，根据三角形任意两边之差小于第三边可得｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜，∴B正确；C项，∵[（b·a）·c－（c·a）·b]·c＝（b·a）·c·c－（c·a）·b·c＝0可能成立，∴C错误；D项，∵向量的运算满足平方差公式，∴（3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2，∴D正确，故选B、D. 6.BC　对于A，2·＝2a2cos 120°＝－a2，错误；对于B，2·＝2·＝2a2cos 60°＝a2，正确；对于C，2·＝·＝a2，正确；对于D，2·＝·＝－·＝－a2，错误. 7.　解析：将｜a－b｜＝两边平方，得（a－b）2＝7.因为｜a｜＝2，｜b｜＝2，所以a·b＝.又a·b＝｜a｜｜b｜·cos＜a，b＞，故cos＜a，b＞＝. 8.0　＜　解析：由题易知AE⊥BC，所以·＝0，而·＝（＋）·＝·（－）＋·＝｜｜·｜｜·cos 120°－｜｜·｜｜·cos 120°＋｜｜·｜｜·cos 120°＜0，所以·＜·. 9.　解析：因为·＝（＋＋）·＝0＋6×6×＋62＝54，所以向量在上的投影向量为·＝. 10.解：如图，设＝a，＝b，＝c，则｜a｜＝｜c｜＝2，｜b｜＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0. （1）·＝·（＋）＝b·［（c－a）＋b］＝｜b｜2＝42＝16. （2）·＝（＋）·（＋）＝·（a＋c）＝｜c｜2－｜a｜2＝22－22＝0. 11.C　∵＝＋＋，∴·＝（＋＋）·＝·＋＋·＝0＋12＋0＝1，又｜｜＝2，｜｜＝1.∴cos＜，＞＝＝＝.∵异面直线所成的角是锐角或直角，∴a与b所成的角是60°. 12.AB　如图，（＋＋）2＝（＋＋）2＝＝3，故A正确；·（－）＝·＝（－＋＋）·＝0，故B正确；与的夹角是与夹角的补角，而△ACD1为正三角形，所以与的夹角为60°，故与的夹角为120°，故C错误；正方体的体积为｜｜·｜｜·｜｜，故D错误.故选A、B. 13.　解析：因为G为△ABC的重心，所以＝＋＝＋（＋）＝＋[（－）＋（－）]＝＋＋.因为棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，所以·＝·＝·＝0，所以·（＋＋）＝（＋＋）·（＋＋）＝＋＋＝×22＋×32＋×12＝. 14.解：（1）(1) ，， ，， （2），， ，， ， ，即， 解得或． 15.D　·＝·（＋）＝＋·，∵AB⊥平面BP2P8P6，∴⊥，∴·＝0，∴·＝｜｜2＝1，则·（i＝1，2，…，8）的不同值的个数为1. 16.解：如图所示，设球心为O，连接PO，则当弦MN的长度最大时，MN为球的直径， 由向量线性运算可知·＝（＋）·（＋）＝＋·＋·＋·＝＋·（＋）＋·， 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则球的半径为1， ＋＝0，·＝－1， 所以＋·（＋）＋·＝－1， 而｜｜∈[1，]，所以－1∈[0，2]，即·∈[0，2]， 所以·的最大值为2. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $