1.1.2　空间向量的数量积运算 同步练习 2026-2027学年高二上学期人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、综合运用、拓展提高三层设计，实现从数量积概念到复杂几何体应用的进阶，培养空间观念与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|数量积定义、性质、夹角与模计算|单选/多选/填空结合，如正四面体向量夹角、数量积公式辨析，夯实概念理解| |综合运用|几何体中数量积综合应用|结合正方体、直三棱柱，如证明线线垂直、求异面直线夹角，发展推理能力| |拓展提高|复杂情境下数量积创新应用|多正方体组合、内切球弦问题，如求不同向量数量积取值个数，提升空间观念与创新意识|

1.1.2　空间向量的数量积运算 一、基础巩固 1.在正四面体A-BCD中,点E,F分别是AC,AD的中点,则与的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 2.(多选)下列式子中,正确的有(　　) A.=|a| B.m(λa)·b=(mλ)a·b C.|a·b|≤|a||b| D.a2b=b2a 3.已知向量a,b满足条件:|a|=2,|b|=,且a与2b-a互相垂直,则<a,b>等于(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 4.(多选)已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积为零的是(　　) A.与　　　　 B.与 C.与 D.与 5.如图,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是(　　) A. B. C.1 D. 6.已知a,b是异面直线,点A,B∈a,点C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b所成的角是(　　) 　　　　　　　　　　 　　　　 A.30° B.45° C.60° D.90° 7.在空间四边形ABCD中,∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD,则在上的投影向量为(　　) A. B. C. D. 8.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,<a,b>=135°,且m⊥n,则实数λ等于　　　　.  9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则·=　　　　.  10.已知空间向量a,b,c中两两夹角都是,且|a|=4,|b|=6,|c|=2,则|a+b+c|=　　　　.  11.如图,已知一个60°的二面角的棱上有两点A,B,AC,BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段.又知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长. 二、综合运用 12.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列命题正确的是(　　) A.(++)2=3 B.·(-)=0 C.与的夹角为60° D.正方体的体积为|··| 13.设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足·=0,·=0,·=0,则△BCD是　　　三角形.  14.如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB'的中点. (1)求证:CE⊥A'D; (2)求异面直线CE与AC'所成角的余弦值. 三、拓展提高 　　　　　　　　　　 　　　　 15.如图所示,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八个点,则·(i=1,2,…,8)的不同值的个数为(　　) A.8 B.4 C.2 D.1 16.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,MN是它内切球的一条弦(把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦),P为正方体表面上的动点,当弦MN最长时,求·的最大值. 1.1.2　空间向量的数量积运算 一、基础巩固 1.在正四面体A-BCD中,点E,F分别是AC,AD的中点,则与的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案　C 解析　由题意,可得=, 所以<,>=<,>=180°-<,>=180°-60°=120°. 2.(多选)下列式子中,正确的有(　　) A.=|a| B.m(λa)·b=(mλ)a·b C.|a·b|≤|a||b| D.a2b=b2a 答案　ABC 解析　A,B,C正确;D不正确,因为等式左边表示与b共线的向量,右边表示与a共线的向量,两者方向不一定相同. 3.已知向量a,b满足条件:|a|=2,|b|=,且a与2b-a互相垂直,则<a,b>等于(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案　B 解析　根据a与2b-a互相垂直, 得a·(2b-a)=0, 即2a·b=|a|2=4, 解得a·b=2, ∴cos<a,b>===, 又0°≤<a,b>≤180°, ∴<a,b>=45°,故选B. 4.(多选)已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积为零的是(　　) A.与　　　　 B.与 C.与 D.与 答案　BCD 解析　因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD,故·=0; 因为PA⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD, 可得PA⊥AD, 又AD⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB, 所以AD⊥平面PAB, 又PB⊂平面PAB,所以AD⊥PB, 故·=0; 同理·=0.所以选BCD. 5.如图,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是(　　) A. B. C.1 D. 答案　D 解析　∵=++, ∴||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=1+1+1-=3-. 故||=. 6.已知a,b是异面直线,点A,B∈a,点C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b所成的角是(　　) 　　　　　　　　　　 　　　　 A.30° B.45° C.60° D.90° 答案　C 解析　∵=++, ∴·=(++)· =·++·=0+12+0=1. 又||=2,||=1. ∴cos<,>===. ∵异面直线所成的角是锐角或直角, ∴a与b所成的角是60°. 7.在空间四边形ABCD中,∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD,则在上的投影向量为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　在空间四边形ABCD中, 因为∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD, 所以·=·=0. 又=++, 则·=(++)·=||2, 所以在上的投影向量为 ·=·=. 8.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,<a,b>=135°,且m⊥n,则实数λ等于　　　　.  答案　- 解析　∵m·n=(a+b)·(a+λb) =|a|2+λa·b+a·b+λ|b|2 =18+λ·3×4·cos 135°+3×4·cos 135°+λ·16 =18-12λ-12+16λ=6+4λ, 又m⊥n,∴m·n=0=6+4λ,∴λ=-. 9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则·=　　　　.  答案　a2 解析　如图,=-,=-=-, ∴·=(-)·(-)=·-·-·+||2=0-0-0+a2=a2. 10.已知空间向量a,b,c中两两夹角都是,且|a|=4,|b|=6,|c|=2,则|a+b+c|=　　　　.  答案　10 解析　∵|a|=4,|b|=6,|c|=2, 且<a,b>=<a,c>=<b,c>=, ∴|a+b+c|2=(a+b+c)·(a+b+c) =|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2a·c+2b·c =|a|2+|b|2+|c|2+2|a||b|·cos<a,b>+2|a||c|·cos<a,c>+2|b||c|·cos<b,c> =42+62+22+4×6+4×2+6×2=100, ∴|a+b+c|=10. 11.如图,已知一个60°的二面角的棱上有两点A,B,AC,BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段.又知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长. 解　∵CA⊥AB,BD⊥AB, ∴<,>=120°. ∵=++,且·=0, ·=0, ∴||2=·=(++)·(++) =||2+||2+||2+2·+2·+2· =||2+||2+||2+2||||· cos<,>=62+42+82+2×6×8×=68,∴||=2,故CD的长为2. 二、综合运用 12.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列命题正确的是(　　) A.(++)2=3 B.·(-)=0 C.与的夹角为60° D.正方体的体积为|··| 答案　AB 解析　如图所示, (++)2 =(++)2==3; ·(-)=(+)·=·+·=0; 与的夹角是与夹角的补角,而与的夹角为60°, 故与的夹角为120°; 正方体的体积为||||||. 综上可知,AB正确. 13.设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足·=0,·=0,·=0,则△BCD是　　　三角形.  答案　锐角 解析　·=(-)·(-)=·-·-·+=>0,同理,·>0,·>0, ∴△BCD的三个内角均为锐角. ∴△BCD为锐角三角形. 14.如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB'的中点. (1)求证:CE⊥A'D; (2)求异面直线CE与AC'所成角的余弦值. (1)证明　设=a,=b,=c, 根据题意得|a|=|b|=|c|,且a·b=b·c=c·a=0. ∴=b+c,=-c+b-a. ∴·=· =-c2+b2=0, ∴⊥,即CE⊥A'D. (2)解　∵=-a+c, ∴||=|a|,||=|a|, ∵·=(-a+c)· =c2=|a|2, ∴cos<,>==. ∴异面直线CE与AC'所成角的余弦值为. 三、拓展提高 　　　　　　　　　　 　　　　 15.如图所示,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八个点,则·(i=1,2,…,8)的不同值的个数为(　　) A.8 B.4 C.2 D.1 答案　D 解析　·=·(+)=+·, ∵AB⊥平面BP2P8P6, ∴⊥,∴·=0, ∴·=||2=1, 则·(i=1,2,…,8)的不同值的个数为1. 16.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,MN是它内切球的一条弦(把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦),P为正方体表面上的动点,当弦MN最长时,求·的最大值. 解　如图所示, 设球心为O,连接PO,则当弦MN的长度最大时,MN为球的直径. 由向量线性运算可知 ·=(+)·(+)=+·+·+·=+·(+)+·, 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则球的半径为1, +=0,·=-1, 所以+·(+)+·=-1. 而||∈[1,],所以-1∈[0,2], 即·∈[0,2], 所以·的最大值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $