第2章 05-2.2.3 直线的一般式方程（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

该高中数学课件聚焦直线的一般式方程及应用，涵盖平行垂直判定、斜率截距计算、定点问题等核心知识点。通过题组从基础到综合逐步深入，构建知识支架，衔接前后内容。 其亮点是结合各地月考真题，以几何直观和逻辑推理培养数学眼光与思维，如用数形结合分析斜率取值范围，分类讨论等腰直角三角形。名师总结规范数学语言，助力学生系统掌握，教师可直接用于教学提升效率。

第二章 直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 2.2　直线的方程 2.2.3　直线的一般式方程 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　直线的一般式方程及应用 1.[2026福建三明第一中学月考]已知直线l1:2x+(m+1)y-2=0与l2:mx+3(m+1)y-2=0平行,则m的值是  ( ) A.-3　    B.2或-3　    C.6　    D.-1或6     D 解析　由直线l1∥l2,得2×3(m+1)=m(m+1),解得m=-1或m=6, 当m=-1时,直线l1:2x-2=0,直线l2:-x-2=0,满足l1与l2平行; 当m=6时,直线l1:2x+7y-2=0,直线l2:6x+21y-2=0,满足l1与l2平行, 所以m的值是-1或6. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026重庆第一中学校月考]“a=0”是“直线x-ay+1=0与直线ax+y-1=0相互垂直”的 ( ) A.充分不必要条件　    B.必要不充分条件 C.充分必要条件　     D.既不充分也不必要条件     A     解析　若直线x-ay+1=0与直线ax+y-1=0相互垂直,则1×a+(-a)×1=0, 该方程恒成立,则a∈R. 由a=0可以推出a∈R,则充分性成立; 由a∈R无法推出a=0,则必要性不成立, 则“a=0”是“直线x-ay+1=0与直线ax+y-1=0相互垂直”的充分不必要条件. 名师总结　已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0,则l1∥l2⇔A1B2=A2B1,且B1C2≠B2C1;l1⊥l2⇔A1A2+ B1B2=0. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026安徽黄山联考]已知直线l1:x-2y-2=0的倾斜角为θ,直线l2的倾斜角为2θ,且直线l2在y轴上的截距为 3,则直线l2的一般式方程为 ( ) A.x+y-3=0　     B.4x-3y+9=0　     C.3x-4y+3=0　    D.2x+y-3=0     B     解析　由直线l1:x-2y-2=0的倾斜角为θ,可知tan θ= ,∵直线l2的倾斜角为2θ,∴直线l2的斜率为tan 2θ=  = ,∵直线l2在y轴上的截距为3,∴直线l2的方程为y= x+3,即4x-3y+9=0. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2026广东多校联考]已知直线l1:mx-6y+1=0,l2:x+(m-7)y+1=0,则下列结论正确的是 ( ) A.若l1∥l2,则m=6　     B.若l1∥l2,则m=1或m=6 C.若l1⊥l2,则m= 　     D.若l1⊥l2,则m=-      AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　若l1∥l2,则m(m-7)+6=0,解得m=1或m=6. 当m=1时,l1,l2的方程均为x-6y+1=0,此时l1与l2重合; 当m=6时,l1:6x-6y+1=0,l2:x-y+1=0,此时l1∥l2, 所以l1∥l2时,m=6,故A正确,B错误. 若l1⊥l2,则m-6(m-7)=0,解得m= ,故C正确,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026黑龙江双鸭山部分学校月考]已知直线l:(m+1)x+my+2-m=0经过平面直角坐标系的第二、三、 四象限,则实数m的取值范围是_____________.     (0,2)     解析　因为直线l经过平面直角坐标系的第二、三、四象限,所以直线l的斜率k<0,且在y轴上的截距b< 0,m≠0. 因为直线l:(m+1)x+my+2-m=0,所以k=- ,b= , 则 解得0<m<2, 即实数m的取值范围是(0,2). 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026黑龙江鸡西实验中学月考]已知直线l:(2a+3)x-(a-1)y+3a+7=0,a∈R. (1)证明直线l过定点,并求出定点的坐标; (2)若直线l'过(1)中的定点,且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍,求直线l'的方程; (3)若直线l不经过第四象限,求a的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)整理直线l的方程,得(2x-y+3)a+3x+y+7=0, 因为此式对a∈R都成立,所以2x-y+3=0,且3x+y+7=0, 联立 解得  所以直线l过定点,该定点的坐标为(-2,-1). (2)当直线l'在两坐标轴上的截距均为0时,其方程为y= x,即x-2y=0(易错点); 当直线l'在两坐标轴上的截距不为0时,设其方程为 + =1, 则 解得  则直线l'的方程为 + =1,即12x+y+25=0. 第1讲　描述运动的基本概念 综上可知,直线l'的方程为x-2y=0或12x+y+25=0. (3)根据题设条件分为三类:斜率不存在,斜率为0,斜率不为0. 当a=1时,直线l的方程为x=-2,符合题意; 当a=- 时,直线l的方程为y=-1,不符合题意; 当a≠1,且a≠- 时,直线l的方程为y= x+ , 所以 ⇒  解得a>1或a≤- . 综上所述,当直线l不经过第四象限时,a的取值范围是 ∪[1,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　直线方程几种形式的转化及应用 7.[2026河南天一大联考月考]在同一坐标系中画出直线ax-by-c=0与bx-ay+c=0,不可能的是 ( )  　     　     　          D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　观察各选项知a,b均不为0,则两直线的斜率分别为 , ,且斜率的正负相同. A中,由两直线在x轴上的截距异号,得 × <0,所以abc2>0,得ab>0,则两直线的斜率均大于0,故A中图 形可能成立; B,C,D中,由两直线在x轴上的截距同号,得 × >0,所以abc2<0,得ab<0,则两直线的斜率均小于0,故B, C中图形可能成立,D中图形不可能成立. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[教材习题改编][多选题][2026江苏无锡江阴第二中学月考]下列说法正确的是 ( ) A.直线l:mx+y+2-m=0恒过定点(1,-2) B.如果AB<0,BC<0,那么直线Ax+By+C=0不经过第四象限 C.已知直线l过点P(2,3),且在x,y轴上的截距相等,则直线l的方程为x+y-5=0 D.若直线l沿x轴向左平移3个单位长度,再沿y轴向上平移2个单位长度后,回到原来的位置,则该直线的 斜率为-      ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析    A中,l:m(x-1)+y+2=0,显然直线l恒过定点(1,-2),A正确; B中,直线方程可化为y=- x- ,由AB<0,BC<0,知- >0,- >0, 所以直线不经过第四象限,B正确; C中,若直线l过原点,则其方程为y= x,即3x-2y=0,C错误; D中,设原直线方程为ax+by+c=0,根据平移可知,平移后的直线方程为a(x+3)+b(y-2)+c=0,即ax+by+3a-2b +c=0, 所以方程ax+by+3a-2b+c=0与ax+by+c=0表示同一直线, 所以3a-2b+c=c⇒3a=2b⇒- =- ,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026河北沧州沧县中学月考]在平面直角坐标系Oxy中,直线ax-y-a=0过定点M,点P在直线x=2上,则tan ∠OPM的最大值为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　直线ax-y-a=0即a(x-1)-y=0,可知其过定点(1,0),即M(1,0). 设P(2,t),A(2,0),注意到∠OPM=∠PMA-∠POM, 则|tan∠OPM|=|tan(∠PMA-∠POM)|= , 而tan∠PMA= =|t|,tan∠POM= = , 故|tan∠OPM|= = ≤ = , 于是tan∠OPM≤|tan∠OPM|≤ , 当t=± 时,等号成立, 故tan∠OPM的最大值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026辽宁沈阳第二中学月考]已知直线(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0,若它分别与x轴、y轴的负半轴交于 点A,B,坐标原点为O,则三角形AOB的面积最小时的直线的方程为________________.     2x+y+4=0     解析    方程(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0,即(2y-x+3)m+2x+y+4=0,令2y-x+3=0,且2x+y+4=0,解得x=-1,y=-2,即 直线恒过定点(-1,-2).由题可设直线方程为 + =1,其中a,b<0,则A(a,0),B(0,b),- - =1.由基本不等式可 知,1= + ≥2 ,解得ab≥8,当且仅当 = ,即a=-2,b=-4时取等号,故△AOB的面积S= |ab|的最小 值为4,此时直线方程为 + =1,即2x+y+4=0. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 2.2　直线的方程 2.2.3　直线的一般式方程 第1讲　描述运动的基本概念 题组　直线方程的综合应用 1.[2026广东江门广德实验学校月考]已知l的方程是x-y+1=0(-3≤x≤2),则 的取值范围是      ( ) A.[0.75,2]　     B.(0.75,2) C.(-∞,0.75)∪(2,+∞)　     D.(-∞,0.75]∪[2,+∞)     D 第1讲　描述运动的基本概念 解析     的几何意义为点(x,y)与点(1,1)连线的斜率,可考虑数形结合. 由题可知,x≠1, 令k= ,-3≤x≤2,且x≠1, 当x=-3时,y=-2;当x=2时,y=3, 记A(-3,-2),B(2,3),Q(1,1), 则k可以看作线段AB上(含端点)的点(x,y)与点Q(1,1)连线的斜率.如图: 由图可知k≥kBQ或k≤kAQ,又kBQ= =2,kAQ= =0.75, 所以 的取值范围是(-∞,0.75]∪[2,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026安徽大联考调研]已知直线Ax+By+C=0与x+ y-3=0平行,则A2+B+C2的最小值为     ( ) A.- 　    B.- 　    C.0　    D.1     A     解析　由两直线平行的充要条件可得 = ≠ ,即B= A且3A+C≠0, 所以A2+B+C2=A2+ A+C2≥A2+ A= - , 即当A=- ,B=- ,C=0时,A2+B+C2取得最小值,为- , 此时直线Ax+By+C=0即- x- y=0,与直线x+ y-3=0平行,满足要求. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2024广东佛山南海中学期中]过点P(-1,-2)的直线l的方程可表示为m(x+1)+n(y+2)=0,若直线l与两坐标 轴围成的三角形的面积为6,则这样的直线l有 ( ) A.1条　    B.2条　    C.3条　    D.4条     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　方程m(x+1)+n(y+2)=0可化为mx+ny+m+2n=0①, 要使l与两坐标轴能围成三角形,则mn≠0且m+2n≠0, 对于①,令x=0,得y=- ;令y=0,得x=- , 依题意得, ×  ×  = ×  ×  = × = × =6,所以  + +4=12或 + +4=-12, 所以 + =8或 + =-16, 设t= ,则t+ =8或t+ =-16,则t2-8t+4=0或t2+16t+4=0, 解得t= 或t= ,即t=4±2 或t=-8±2 , 因此 =4±2 或 =-8±2 ,所以这样的直线l有4条. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026河南南阳邓州阶段测试]已知直线l1:y= x-k+4,直线l2:2x+k2y-4k2-4=0(k≠0),若直线l1,l2与两坐标轴 围成一个四边形,则当k>4时,四边形面积的取值范围是_________. 解析　直线l2的方程可化为y=- x+ +4. 当k>4时, >0,- <0,-k+4<0, +4>0. 易知l1,l2均过定点(2,4),直线l1与x轴交于点 ,直线l2与y轴交于点 , ∴四边形的面积S= ×2× + ×4× =4 -16× +8=4 -8, ∵k>4,∴0< < ,∴S∈ . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026辽宁大连第八中学月考]如图,已知直线l过点(3,4),且与直线3x-4y+2=0垂直,与x轴、y轴的正半轴 分别交于点A,B,点P为线段AB上一动点,且PQ∥OB,PQ交OA于点Q. (1)求线段AB的垂直平分线方程; (2)若△APQ的面积S△APQ与四边形OQPB的面积S四边形OQPB满足S△APQ= S四边形OQPB,请你确定点P在AB上的位 置,并求出线段PQ的长; (3)判断在y轴上是否存在点M,使△MPQ为等腰直角三角形,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理 由.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为直线l与直线3x-4y+2=0垂直,所以直线l的斜率k=- , 又直线l过点(3,4),所以直线l的方程为y-4=- (x-3),即4x+3y-24=0. 令y=0,得x=6,即A(6,0);令x=0,得y=8,即B(0,8), 则线段AB的中点坐标为(3,4), 又直线l的斜率k=- , 所以线段AB的垂直平分线方程为y-4= (x-3),即3x-4y+7=0. (2)由(1)知直线l的方程为4x+3y-24=0,B(0,8), 因为S△APQ= S四边形OQPB,所以S△APQ= S△ABO. 由PQ∥OB,知△APQ与△ABO相似,于是有 = = ,即 = = ,得|PQ|=4, 第1讲　描述运动的基本概念 此时点P为线段AB的中点, 所以S△APQ= S四边形OQPB时,点P为线段AB的中点,且|PQ|=4. (3)假设在y轴上存在点M,使△MPQ为等腰直角三角形, 解题指导:直角不确定,故分∠PQM=90°、∠MPQ=90°和∠PMQ=90°三种情况进行讨论. 由(1)知直线l的方程为4x+3y-24=0, 如图1,当∠PQM=90°时,因为点M在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,所以点M必与原点O重合,设Q(t,0),因为| MQ|=|PQ|,所以P(t,t),于是有4t+3t-24=0,解得t= <6, 此时M(0,0)满足题意; 第1讲　描述运动的基本概念        如图2,当∠MPQ=90°时,由PQ∥OB,|MP|=|PQ|,知四边形OMPQ为正方形, 设Q(t1,0),则P(t1,t1),M(0,t1),于是有4t1+3t1-24=0,解得t1= <6, 此时M 满足题意; 如图3,当∠PMQ=90°时,由PQ∥OB,|MQ|=|MP|,得∠OQM=∠PQM=45°,即|OM|=|OQ|, 设Q(t2,0),则M(0,t2),P ,显然直线QM的斜率为-1,则直线PM的斜率为1, 第1讲　描述运动的基本概念 即 =1,解得t2= <6, 此时M 满足题意.   综上,y轴上存在点M(0,0)或M 或M ,使△MPQ为等腰直角三角形. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025北京门头沟期中]已知直线l1,l2均过点P(1,2). (1)若直线l1过点A(-1,3),且l1⊥l2,求直线l2的方程; (2)如图,O为坐标原点,若直线l1的斜率为k,其中0<k<2,且与y轴交于点N,直线l2过点Q (R为常 数),且与x轴交于点M,求直线l1,l2与两坐标轴围成的四边形PNOM的面积的取值范围.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为直线l1过点P(1,2),A(-1,3), 所以直线l1的斜率为 =- , 因为l1⊥l2,所以 · =-1,所以 =2, 所以直线l2的方程为y-2=2(x-1),即y=2x. (2)根据题意可得直线l1的方程为y-2=k(x-1), 令x=0,得y=2-k,即N(0,2-k), 令y=0,得x=- +1, 设直线l1与x轴的交点为T,则T . 因为直线l2过点P(1,2),Q , 第1讲　描述运动的基本概念 所以直线l2的方程为y-2= (x-1),即y-2=- (x-1),令y=0,得x=R2+1,即M(R2+1,0), 所以S四边形PNOM=S△TPM-S△TNO=  R2+1-  ×2- × ×(2-k)=R2+ - =R2+ =R2- +2,又0 <k<2,所以S四边形PNOM∈(R2+1,R2+2). 第1讲　描述运动的基本概念 $