第2章 04-2.2.2 直线的两点式方程（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

该高中数学课件聚焦直线的两点式与截距式方程，从直线方程基础出发，通过实例推导公式、辨析易错点，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接方程表示与实际问题解决。 其亮点在于结合数学思维与数学语言，通过分类讨论（如截距为0与非0情况）、正整数条件应用（如求符合条件的直线条数），培养学生推理意识与应用意识。提供方法技巧与易错警示，助力学生提升解题严谨性，教师可直接用于课堂练习与思维训练。

第二章 直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 2.2　直线的方程 2.2.2　直线的两点式方程 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　直线的两点式方程 1.[2026河北沧州沧县中学月考]过点(1,-1)和(-3,1)的直线方程为 ( ) A.x+2y-5=0　    B.2x-y+4=0 C.x+y-2=0　     D.x+2y+1=0     D     解析　根据直线的两点式方程可得 = ,化简可得x+2y+1=0. 方法技巧 利用两点式求直线方程的步骤 (1)分别判断所给两点的横坐标与纵坐标是否相等,相等则直接得方程. (2)若两点的横坐标与纵坐标均不相等,可直接代入公式求解. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026河南濮阳第一高级中学月考]下列说法正确的是 ( ) A.在两坐标轴上的截距相等的直线都可以用方程 + =1表示 B.方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行于y轴的直线 C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tan θ(x-1) D.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程为(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0     BD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,当直线在两坐标轴上的截距相等且均不为零时,直线可用方程 + =1表示;当截距都是 零时,不可用此方程表示,故A错误. 对于B,当m=0时,方程为x-2=0,此时所表示的直线与y轴平行,故B正确. 对于C,当θ=90°时,tan θ不存在,此时直线方程为x=1,故C错误. 对于D,当x1≠x2时,由直线的点斜式方程,可得y-y1= (x-x1),可整理为(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0; 当x1=x2时,直线方程为x=x1或x=x2,又此时方程(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0可整理为x=x1,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026河南天一大联考阶段性测试]经过点(1,3)和(-3,1)的直线的两点式方程为___________.    = 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　直线的截距式方程 4.[2024吉林长春期中]在x,y轴上的截距分别是-3,4的直线方程是 ( ) A.4x+3y-12=0　    B.4x-3y+12=0 C.4x+3y-1=0　     D.4x-3y+1=0     B     解析　根据直线的截距式方程得直线方程为 + =1,化简得4x-3y+12=0. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[易错题][2026河南南阳第一中学校月考]经过点(1,2),且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是      ( ) A.x+y-3=0　    B.x+y-3=0或2x-y=0 C.x-y+1=0　    D.x-y+1=0或2x-y=0     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　当直线在x轴和y轴上的截距都为0时,易知直线的斜率存在, 设直线方程为y=kx,将(1,2)代入,解得k=2,此时直线方程为2x-y=0; 当直线在x轴和y轴上的截距相等且均不为0时,设直线方程为 + =1,将(1,2)代入,解得a=3, 此时直线方程为x+y-3=0, 所以满足题意的直线方程为x+y-3=0或2x-y=0. 易错警示　注意分别讨论截距均为0和均不为0两种情况. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[教材习题改编]已知直线mx+3y-12=0在两个坐标轴上的截距之和为7,则实数m的值为( ) A.2　    B.3　    C.4　    D.5     C     解析　由题意知m≠0,令x=0,得y=4,令y=0,得x= ,∵直线mx+3y-12=0在两个坐标轴上的截距之和为7, ∴4+ =7,∴m=4. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025江苏苏州期中]直线l分别交x轴和y轴于点A,B,若M(1,2)是线段AB的中点,则直线l的方程为 ________________.     2x+y-4=0     解析　因为A,B两点分别在x轴和y轴上,所以设A(a,0),B(0,b), 因为M(1,2)是线段AB的中点,所以a=2,b=4,即A(2,0),B(0,4), 因此直线l的截距式方程为 + =1,即2x+y-4=0. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　直线的两点式、截距式方程的应用 8.[2026广东东莞外国语学校期中]过点P(1,3)作直线l,若l经过点A(a,0)和B(0,b),且a,b均为正整数,则这样 的直线l可以作出 ( ) A.1条　    B.2条　    C.3条　    D.无数条     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　∵直线l过点A(a,0)和B(0,b),a,b均为正整数,∴可设直线l的方程为 + =1, ∵直线l过点P(1,3),∴ + =1,即3a=(a-1)b, 又a∈N*,b∈N*, ∴当a=1时,b无解,因此a=1不满足条件; 当a≥2且a∈N*时,b= =3+ , 则a-1是3的正约数,即a-1=1或a-1=3,解得a=2或a=4, 当a=2时,b=6;当a=4时,b=4,均满足条件. 综上所述,满足条件的直线l有2条. 解后反思　条件“a,b均为正整数”的运用是解题的关键,本题中a,b的等量关系只有一个:3a=(a-1)b,由 此无法确定a,b的值,需利用该条件结合分类讨论,求出不定方程的整数解,从而确定直线的条数. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026吉林长春第二实验中学月考]在平面直角坐标系Oxy中,曲线C: +|y|=1的周长为 ( ) A.4　    B.6　    C.8　    D.10     C     解析　在曲线C的方程 +|y|=1中,将x用-x代换,或将y用-y代换,或两种代换同时进行,方程都没有变, 所以曲线C关于x轴,y轴,原点对称, 当x≥0,y≥0时,曲线C的方程为 +y=1,表示以( ,0)和(0,1)为端点的线段,其长度为 =2, 根据对称性知,其他三条线段的长也为2,所以曲线C: +|y|=1的周长为4×2=8. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026江苏南京中华中学月考]在平面直角坐标系Oxy中,已知点A ,B(2,4),过点P(2,1)作直线分别 交射线AB,x轴正半轴于点M,N,则△MON面积的最小值为_________.     3     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图所示:   由点A ,B(2,4),得直线AB的方程为 = ,即y=2x, 设点M(t,2t) ,点N(n,0), 当t= 时,M ,N不存在,故t> . 由M,N,P三点共线和点P(2,1)可知, 第1讲　描述运动的基本概念 当t≠2时, = ,解得n= , 此时△MON的面积为S△MON= ·2t· = ,t> 且t≠2, 令2t-1=u(u>0,u≠3),即t= , 则S△MON= = + + ≥2 + =3,当且仅当 = ,即u=1时等号成立, 即当t=1时,S△MON的最小值为3; 当t=2时,M(2,4),N(2,0),P(2,1),此时S△MON= ×4×2=4>3. 综上,S△MON的最小值为3. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026山西忻州现代双语学校月考]已知直线l1:kx-y-3-4k=0(k∈R)过定点P. (1)求过点P且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l2的方程; (2)若直线l1交x轴正半轴于点A,交y轴负半轴于点B,△ABO的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求 此时直线l1的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)直线l1:kx-y-3-4k=0即y+3=k(x-4),则直线l1过定点P(4,-3). ①当直线l2在两坐标轴上的截距均不为0时,设直线l2的方程为 + =1, 因为点P(4,-3)在直线l2上,所以 + =1, 若a=b,则a=b=1,所以直线l2的方程为x+y=1; 若a=-b,则a=7,b=-7,所以直线l2的方程为x-y=7. ②当直线l2在两坐标轴上的截距均为0时,直线l2过原点,且过点P(4,-3),所以直线l2的方程为3x+4y=0. 综上所述,直线l2的方程为x+y-1=0或x-y-7=0或3x+4y=0. (2)对于方程kx-y-3-4k=0,令y=0,则x= ,令x=0,则y=-4k-3, 则点A ,点B(0,-4k-3),k>0, 第1讲　描述运动的基本概念 则S= ·|OA|·|OB|= · ·(4k+3)= · ≥ · 24+2  =24, 当且仅当16k= ,即k= 时取等号, 因此S的最小值为24,此时直线l1: x-y-3-4× =0,即3x-4y-24=0. 第1讲　描述运动的基本概念 名师点评 求直线方程时方程形式的选择技巧 (1)已知一点的坐标,求过该点的直线方程时,通常选用点斜式方程. (2)已知直线的斜率,通常选用点斜式或斜截式方程,再由其他条件确定一个定点的坐标或在y轴上的截 距即可. (3)已知直线在两坐标轴上的截距时,通常选用截距式方程. (4)已知直线上两点时,可选用两点式方程,通常选用点斜式方程. 第1讲　描述运动的基本概念 $