2.2.3直线的一般式方程（培优教学课件）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“直线的一般式方程”，前情回顾点斜式、斜截式等四种方程的几何要素与适用范围，通过重合直线的不同方程引入统一形式需求，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以“读教材”引导自主探究培养数学眼光，分情况讨论斜率存在与否锻炼数学思维，题型涵盖方程互化、位置关系及直线系问题强化数学语言表达，如直线过定点问题的推理训练。学生能系统掌握知识，教师可获得结构化教学资源提升效率。

第二章 直线和圆的方程 2.2.3 直线的一般式方程 前情回顾 直线方程 几何要素 适用范围 点斜式方程（简称点斜式） 直线上一 斜率 直线存在斜率 斜截式方程（简称斜截式） 斜率 直线在轴上的截距 直线存在斜率 两点式方程（简称两点式） 直线上任意两点 直线存在斜率 且 截距式方程（简称截距式） ， 直线不与坐标轴平行或重合,不过原点 定点和定方向(斜率)确定直线，两点确定直线 学 习 目 标 1 2 3 掌握一般式方程的形式特点，用一般式方程判断斜率情况. 能进行直线方程的一般式与另外四种形式间的互化. 能运用一般式方程解决平行直线系和垂直直线系问题. 我们一起来探究“直线的一般式方程”吧！ 读教材 阅读课本P64-P66，5分钟后完成下列问题： 1. 直线的一般式方程如何表示直线斜率情况？ 2. 直线的一般式方程如何求直线的截距？ 3. 直线的一般式方程如何判定两条直线平行、重合与垂直？ 新课引入 方程的形式不同，但这四条直线是重合的， 那么，我们能不能用统一的形式表示直线呢？ 解：(1)点斜式：； (2)截距式1； (3)两点式； (4). 问题：由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形： (1)斜率是,经过点； (2)在轴和轴上的截距分别是,； (3)经过两点 (4)在轴上的截距是倾斜角是. 学习过程 01 03 02 目录 1 直线的一般式方程 2 判断两条直线的位置关系 3 题型训练 新知探究1 思考：下列四种直线方程有什么区别和联系? 点斜式方程（简称点斜式） 斜截式方程（简称斜截式） 两点式方程（简称两点式） 截距式方程（简称截距式） 区别：应用条件不同；表达形式不同； 联系：都不能表示斜率不存在的直线， 都是关于 都可以用, （，不为）表示 新知探究1 探究1 平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用关于 ，的二元一次方程表示吗？ 直线 斜率存在 斜率 不存在 0 直线斜率存在时，显然可以；当直线的斜率不存在，直线的方程为， 上述方程可以认为是关于的二元一次方程，因此此时方程中的系数为0。 都可以用（，不同时为）表示. 新知探究1 探究1 (2)任意一个关于的二元一次方程都表示一条直线吗？ （，不同时为） 斜率不存在过点 且垂直于轴的直线 任意一个关于的二元一次方程都表示一条直线吗？ 概念 直线的一般式方程 直线的一般式方程： 我们把关于的二元一次方程 (其中，不同时为0) 叫做直线的一般式方程，简称一般式. 应用条件：适用于所有直线 式子结构：按“”排序；A为正整数且A、B、C尽量是整数。 练习巩固 练习1 方程表示倾斜角为锐角的直线，则必有( ) A； B C且 D且 B 练习2 已知直线经过点A(6,－4)，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程？ 解：经过点A(6,－4)，斜率为直线的点斜式方程是 化为一般式得： 练习巩固 练习3 根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式： (1) 经过点(8,－2)，斜率是； (2) 经过点(4, 2)，平行于轴； (3) 经过点(3,－2)，(5,－4)；(4) 在轴、轴上的截距分别是 ，－3. 由方程 ； 由方程 ； 由方程 ； 由方程 练习巩固 练习4 已知直线经过点，，求直线的点斜式、斜截式和一般式方程， 并根据方程指出直线在轴、轴上的截距？ 解：∵， 所以点斜式方程为， 斜截式方程为， 一般式方程为， 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为. 方法总结 直线的一般式方程注意事项： 在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示. 代数 (其中不同时为0) 坐标系中 的任意直线 斜率 学习过程 01 03 02 目录 1 直线的一般式方程 2 判断两条直线的位置关系 3 题型训练 新知探究2 探究2 (1)直线，直线 －＝0或－≠0 ＝0，且－0 新知探究2 探究2 (2)直线，直线 ＝0 0 概念 判断两条直线的位置关系 两条直线的位置关系： 斜截式方程 一般式方程 斜率存在 （，不同时为） 斜率不存在 ＝0，且－0 ＝0，且－0 ＝0 0 概念 判断两条直线的位置关系 平行直线系与垂直直线系： (1)与直线平行的直线系方程 可设为： (其中为参数) 已知直线 (2)与直线垂直的直线系方程 可设为： (其中为参数) A，B不变设方程，带已知点求 x，y换系数且中间变号， 带已知点求 练习巩固 练习1 判断下列各对直线是平行还是垂直，并说明理由. (1)：3，：； (2)：3，：； (3)：，：； (4)：，：. 解： (1)∵3×10－5×6＝0且3×3－6×(－6)0，∴. (2)∵3×2＋(－6)×1=0，∴. (3)∵：，，且两直线在x轴上的截距不相等，∴. (4)由方程知轴，轴，则. 练习巩固 练习2 直线直线 若平行，求的值？ 解：由，知： ①当时，显然与不平行； ②当时，，. 解得或， ∴的值为或. 练习巩固 练习3 直线 直线互相垂直，值？ 解: 由题意知，直线. ①若1即时，直线与直线显然垂直. ②若即时，直线与直线不垂直. ③若1且，则直线，的斜率都存在， ，.当时， 即解得 综上可知，当或时，直线. 学习过程 01 03 02 目录 1 直线的一般式方程 2 判断两条直线的位置关系 3 题型训练 直线的一般式方程及其应用 题型1 题型探究 例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点； (2)斜率是，在轴上的截距为； (3)经过点两，点； (4)经过点，且平行于轴； (5)在轴，轴上的截距分别为，； (6)斜率为，且在轴上截距为 . . . . . 直线的一般式方程及其应用 题型1 题型探究 例2 把直线的一般式方程化为斜截式，求出直线的斜率以及 它在轴与轴上的截距，并画出图形？ 解：把直线的一般式方程化为斜截式. 因此，直线的斜率，它在轴上的截距是. 在直线的方程中， 令，得，即直线在轴上的截距是. 由上面可得直线与轴、轴的交点分别为，， 过，两点作直线，就得直线(如图). 直线的平行、垂直及其应用 题型2 题型探究 例3 (1)若直线和平行，求实数 的值？ 解：由题意得 ，解得或 当时，两直线方程都可化为 ，两直线重合， 当时，两直线方程分别为，两直线平行， 综上， 例3 (2)判断直线 的位置关系？ 解：因为 所以两直线垂直. 直线的平行、垂直及其应用 题型2 题型探究 例4 已知直线的方程为求满足下列条件的直线的方程： (1)过点，且与平行； (2)过点，且与垂直. 解：(1)由与平行，可设的方程为. 将点代入上式得. ∴所求直线的方程为. (2)由与垂直，可设的方程为. 将点代入上式得.∴所求直线的方程为. 直线过定点问题 题型3 题型探究 例5 无论取何实数，直线都过定点， 则 的坐标为________. 解：由得 ， 当 解得： 直线过定点即的坐标为 直线过定点问题 题型3 题型探究 例6 (1)已知直线 当变化时，所有直线都恒过点________. 解：直线方程可化为 故直线过定点. 例6 (2)直线 恒过的定点的坐标是________. 解：原方程可化为 由直线恒过定点可知 解得 所以直线恒过定点 . 直线过定点问题 题型3 题型探究 例7 已知直线. (1)求证：不论为何值，直线总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求的取值范围？ 解：(1)证明：将直线的方程整理为，∴直线过定点， 而点在第一象限内，故不论为何值，恒过第一象限. (2)解：直线的斜率为如图所示， 要使不经过第二象限，需斜率， ∴，即的取值范围为. 课堂小结 直线方程 几何要素 适用范围 点斜式方程（简称点斜式） 直线上一 斜率 直线存在斜率 斜截式方程（简称斜截式） 斜率 直线在轴上的截距 直线存在斜率 两点式方程（简称两点式） 直线上任意两点 直线存在斜率 且 截距式方程（简称截距式） ， 直线不与坐标轴平行或重合,不过原点 一般式方程 （，不同时为 所有直线 感谢聆听! $