2.1.1　倾斜角与斜率 同步练习 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、综合运用、拓展提高三层设计，实现从概念辨析到综合应用再到创新迁移的知识巩固路径，培养数学眼光、思维与语言能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|倾斜角定义、斜率公式、方向向量等单一知识点|选择（含多选）、填空、解答题结合，如倾斜角辨析（第1-2题）、斜率计算（第3-8题），强化概念理解与基础运算，体现几何直观| |综合运用|倾斜角范围、斜率与参数关系等综合知识|含参数讨论（第12题）、倾斜角取值范围推理（第13题），培养逻辑推理能力，衔接课时重难点| |拓展提高|平移变换、函数图像与斜率几何意义|结合平移后直线位置关系（第15题）、函数背景下斜率最值（第16题），发展模型意识与创新思维，适度提升应用能力|

2.1.1　倾斜角与斜率 一、基础巩固 1.直线x=1的倾斜角是(　　) A.0° B.45° C.90° D.不存在 2.(多选)下列命题正确的是(　　) A.若α是直线l的倾斜角,则0°≤α<180° B.若k是直线的斜率,则k∈R C.任意一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率 D.任意一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角 3.若过点A(a,-1)和B(2,a)的直线的斜率为,则a的值为(　　) A.4 B.0 C.-4 D.1 4.下列可作为斜率k=-的直线的方向向量的是(　　) A.(2,3) B.(3,2) C.(-3,-2) D.(-3,2) 5.如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则(　　) A.k1<k3<k2 B.k3<k1<k2 C.k1<k2<k3 D.k3<k2<k1 6.一条直线l与x轴相交,其向上方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为(　　) A.α B.180°-α C.180°-α或90°-α D.90°+α或90°-α 7.(多选)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l的斜率可能是(　　) A.-2 B. C.1 D. 8.斜率为2的直线过(3,5),(a,7),(-1,b)三点,则a+b=　　　　.  9.已知点A(1,2),若在坐标轴上有一点P,使直线PA的倾斜角为135°,则点P的坐标为　　　　.  10.已知斜率为2的直线l与x轴交于点A,直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线l',则直线l'的斜率为　　　　.  11.分别判断下列三点是否在同一直线上. (1)A(0,2),B(2,5),C(3,7); (2)D(-1,4),E(2,1),F(-2,5); (3)M(1,2),N(1,3),P(1,-1). 二、综合运用 12.过点A(2,1),B(m,3)的直线的倾斜角α的取值范围是,则实数m的取值范围是(　　) A.(0,2] B.(0,4) C.[2,4) D.(0,2)∪(2,4) 13.设直线l的方程为x+ycos θ+3=0(θ∈R),则直线l的倾斜角α的取值范围是　　　　.  14.已知A(-1,1),B(1,1),C(2,+1), (1)求直线AB和AC的斜率; (2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时,求直线CD的斜率的变化范围. 三、拓展提高 15.如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度,再沿y轴正方向平移2个单位长度后,又回到原来的位置,那么直线l的斜率是(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 16.已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),试求的最大值与最小值. 2.1.1　倾斜角与斜率 一、基础巩固 1.直线x=1的倾斜角是(　　) A.0° B.45° C.90° D.不存在 答案　C 解析　直线x=1与x轴垂直,故倾斜角为90°. 2.(多选)下列命题正确的是(　　) A.若α是直线l的倾斜角,则0°≤α<180° B.若k是直线的斜率,则k∈R C.任意一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率 D.任意一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角 答案　ABC 解析　A,B,C正确,D错误. 3.若过点A(a,-1)和B(2,a)的直线的斜率为,则a的值为(　　) A.4 B.0 C.-4 D.1 答案　B 解析　kAB==,解得a=0. 4.下列可作为斜率k=-的直线的方向向量的是(　　) A.(2,3) B.(3,2) C.(-3,-2) D.(-3,2) 答案　D 解析　斜率为k=-的直线的一个方向向量为a=, 所以与a共线的非零向量都可以作为该直线的方向向量. 经验证D中向量与共线. 5.如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则(　　) A.k1<k3<k2 B.k3<k1<k2 C.k1<k2<k3 D.k3<k2<k1 答案　A 解析　设直线l1,l2,l3的倾斜角分别为α1,α2,α3,则由图知0°<α3<α2<90°<α1<180°, ∴tan α1<0,tan α2>tan α3>0, 即k1<0,k2>k3>0,故选A. 6.一条直线l与x轴相交,其向上方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为(　　) A.α B.180°-α C.180°-α或90°-α D.90°+α或90°-α 答案　D 解析　如图1,当l向上方向的部分在y轴左侧时,倾斜角为90°+α; 如图2,当l向上方向的部分在y轴右侧时,倾斜角为90°-α. 7.(多选)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l的斜率可能是(　　) A.-2 B. C.1 D. 答案　ACD 解析　如图, 当直线l过点B时,设直线的斜率为k1,则k1==-; 当直线l过点A时,设直线的斜率为k2, 则k2==1. 故要使直线l过点P(1,0), 且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线的斜率的取值范围为 (-∞,-]∪[1,+∞).故选ACD. 8.斜率为2的直线过(3,5),(a,7),(-1,b)三点,则a+b=　　　　.  答案　1 解析　由题意,得2==, ∴a=4,b=-3,∴a+b=1. 9.已知点A(1,2),若在坐标轴上有一点P,使直线PA的倾斜角为135°,则点P的坐标为　　　　.  答案　(3,0)或(0,3) 解析　由题意知,kPA=-1. 若点P在x轴上,可设P(m,0)(m≠1), 则=-1,解得m=3; 若点P在y轴上,可设P(0,n), 则=-1,解得n=3. 故点P的坐标为(3,0)或(0,3). 10.已知斜率为2的直线l与x轴交于点A,直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线l',则直线l'的斜率为　　　　.  答案　- 解析　设直线l,l'的倾斜角分别为α,β, 则tan α=2, 因为直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线l',所以β=α+60°, 所以直线l'的斜率为k=tan(α+60°)===-. 11.分别判断下列三点是否在同一直线上. (1)A(0,2),B(2,5),C(3,7); (2)D(-1,4),E(2,1),F(-2,5); (3)M(1,2),N(1,3),P(1,-1). 解　(1)因为kAB==, kAC==,kAB≠kAC, 所以A,B,C三点不共线. (2)法一　因为kDF==-1, kEF==-1,则kDF=kEF, 又因为直线DF,EF有公共点F, 所以D,E,F三点共线. 法二　因为=(-1,1),=(-4,4), 所以=4,所以与共线且它们有公共点F, 所以D,E,F三点共线. (3)因为三点的横坐标均为1, 所以三点均在直线x=1上, 所以M,N,P三点共线. 二、综合运用 12.过点A(2,1),B(m,3)的直线的倾斜角α的取值范围是,则实数m的取值范围是(　　) A.(0,2] B.(0,4) C.[2,4) D.(0,2)∪(2,4) 答案　B 解析　由直线的倾斜角α的取值范围是, 得直线的斜率存在时,k<-1或k>1. 当m≠2时,k==, ∴<-1或>1, 解得0<m<2或2<m<4. 当直线的斜率不存在时,m=2符合题意. 综上,实数m的取值范围是(0,4). 13.设直线l的方程为x+ycos θ+3=0(θ∈R),则直线l的倾斜角α的取值范围是　　　　.  答案　 解析　当cos θ=0时,方程变为x+3=0,其倾斜角α=; 当cos θ≠0时,由直线方程可得斜率 k=tan α=-. ∵cos θ∈[-1,1]且cos θ≠0, ∴k∈(-∞,-1]∪[1,+∞), 即tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞). 又α∈[0,π),∴α∈∪. 综上可知,倾斜角α的取值范围是. 14.已知A(-1,1),B(1,1),C(2,+1), (1)求直线AB和AC的斜率; (2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时,求直线CD的斜率的变化范围. 解　(1)由斜率公式得kAB==0, kAC==. (2)如图所示. kBC==. 设直线CD的斜率为k, 当斜率k变化时,直线CD绕C点旋转, 当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时,直线CD与AB恒有交点,即D在线段AB上, 此时k由kCA增大到kCB,所以k的取值范围为. 三、拓展提高 15.如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度,再沿y轴正方向平移2个单位长度后,又回到原来的位置,那么直线l的斜率是(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案　B 解析　设A(a,b)是直线l上任意一点, 则平移后得到点A'(a-2,b+2), 于是直线l的斜率k=kAA'==-1. 16.已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),试求的最大值与最小值. 解　如图所示,由=的几何意义可知,它表示经过定点P(-2,-3)与曲线段AB上任一点(x,y)的直线的斜率k,由图可知kPA≤k≤kPB. 由已知可得A(1,1),B(-1,5), ∴kPA==,kPB==8, ∴≤k≤8. 故(-1≤x≤1)的最大值为8,最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $