第1章 12-高考模拟练（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了空间向量与立体几何的核心知识，通过高考模拟题和应用实践例题，串联空间向量工具、线面关系证明、空间角计算等内容，构建从基础概念到综合应用的知识网络。 其亮点在于采用分层设计，基础题如线面平行证明培养逻辑推理，综合题含参数最值问题提升数学思维，新情境叉积题发展数学抽象。一题多解和错题注记帮助教师分层教学，学生巩固知识并提升核心素养。

第一章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 高考模拟练 第1讲　描述运动的基本概念 应用实践 1.[2026山东济南历下月考]如图,四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°, PA= AB=1,E,F分别是线段BD和PC上的动点,且 = =λ(0<λ≤1). (1)求证:EF∥平面PAB; (2)求直线DF与平面PBC所成角的正弦值的最大值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:连接AC,取CD的中点G,连接AG,由四边形ABCD是菱形,且∠ABC=60°,可知△ACD为等 边三角形,则AG⊥CD,又AB∥CD,故AG⊥AB. 因为PA⊥平面ABCD,AB,AG⊂平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AG,以A为坐标原点,建立如图所示的空间 直角坐标系,   则A(0,0,0),B(2,0,0),C(1, ,0),D(-1, ,0),P(0,0,1),G(0, ,0), 所以 =(1, ,-1), =(-3, ,0), =(-2,0,1), 第1讲　描述运动的基本概念 由 = =λ(0<λ≤1),可知 =λ , =λ , 所以 = + + =(4λ-2,0,1-λ), 易知 =(0, ,0)是平面PAB的一个法向量, 显然 · =0,且EF⊄平面PAB,故EF∥平面PAB. (2)结合(1)可知 = + =(λ+1, λ- ,1-λ), 设平面PBC的法向量为n=(a,b,c), 则  令a=1,则c=2,b= ,则平面PBC的一个法向量为n= , 设直线DF与平面PBC所成的角为α, 第1讲　描述运动的基本概念 则sin α=|cos<n, >|= = , 易知λ= 时,(5λ2-6λ+5)min= ,此时sin α取得最大值,为 . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026河南郑州部分学校联考]如图1所示,在直角梯形MBCD中,MD∥BC,BM⊥MD,且MD= BC=2, 点A,E分别在线段MD,BC上,且MA=BE=1,P为DC的中点,将四边形MBEA沿AE折起,使二面角C-AE-B的 大小为θ. (1)若AE=1,θ= (如图2所示),求直线AB与平面BCD所成角的正弦值; (2)若θ= ,Q为平面ABE内一点,若PQ⊥平面ABE(如图3所示),求PQ的长.             第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题知AM,AE,AD两两垂直,以A为原点,建立如图1所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,1), C(1,2,0),D(0,1,0),   所以 =(1,0,1), =(0,2,-1), =(-1,1,-1), 设平面BCD的法向量是m=(x,y,z), 则 得 即  取y=1,得平面BCD的一个法向量为m=(-1,1,2), 第1讲　描述运动的基本概念 设直线AB与平面BCD所成的角为α, 所以sin α= = = , 所以直线AB与平面BCD所成角的正弦值为 . (2)如图2,分别取AE,AB的中点K,T,连接KT,PK,TP.   由题意知AE⊥KT,AE⊥PK,所以∠PKT为二面角C-AE-B的平面角,即∠PKT=θ,又KT,PK⊂平面PKT,KT ∩PK=K,所以AE⊥平面PKT. 第1讲　描述运动的基本概念 若PQ⊥平面ABE,因为AE⊂平面ABE, 所以AE⊥PQ,又AE⊥PK,PQ,PK⊂平面PQK,PQ∩PK=P,所以AE⊥平面PQK, 又AE⊥平面PKT,所以Q∈KT且KQ∈ , 在Rt△PKQ中,cos θ= ,因为θ= ,且KP= = ,所以PQ=KQ= × = , 即PQ的长为 . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026安徽阜阳太和中学月考]如图所示,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=BC=2AD=2,四边形 EDCF为矩形,CF= ,平面EDCF⊥平面ABCD. (1)求证:DF∥平面ABE; (2)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值; (3)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为 ?若存在,求出线段BP的长; 若不存在,请说明理由.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:在矩形EDCF中,ED⊥CD, ∵平面EDCF⊥平面ABCD,平面EDCF∩平面ABCD=CD,ED⊂平面EDCF, ∴ED⊥平面ABCD, 过D作AB的平行线,交BC于点G,又AD∥BC,∴四边形ABGD为平行四边形,又AD⊥AB,即∠DAB=90°,∴ 四边形ABGD为矩形,∴AD⊥DG. ∵AD,DG⊂平面ABCD,ED⊥平面ABCD,∴AD⊥ED,DG⊥ED.以D为原点,DA,DG,DE所在直线分别为x 轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,   第1讲　描述运动的基本概念 则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0, ),F(-1,2, ), ∴ =(-1,-2, ), =(0,2,0), 设平面ABE的法向量为n=(x,y,z), 则 即 则y=0,令z=1,得x= ,故n=( ,0,1), 又 =(-1,2, ),∴ ·n=- +0+ =0,∴ ⊥n, 又∵DF⊄平面ABE,∴DF∥平面ABE. (2)由(1)得 =(-1,-2, ), =(-2,0, ), 设平面EFB的法向量为m=(x1,y1,z1), 则 即  第1讲　描述运动的基本概念 令y1= ,则x1=2 ,z1=4, 故m=(2 , ,4), 设平面ABE与平面EFB所成的锐二面角为θ, 则cos θ= = = , ∴平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值是 . (3)假设存在满足题意的点P,且 =λ ,则由(1)知 =λ(-1,2, )=(-λ,2λ, λ),λ∈[0,1], ∴P(-λ,2λ, λ), =(-λ-1,2λ-2, λ), 设直线BP与平面ABE所成的角为α, 由(1)知平面ABE的一个法向量为n=( ,0,1), 第1讲　描述运动的基本概念 ∴sin α=|cos< ,n>|= = = , 化简得8λ2-6λ+1=0,解得λ= 或λ= . 当λ= 时, = , ∴| |=2; 当λ= 时, = , ∴| |=2. 综上,存在满足题意的点P,且线段BP的长为2. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025广东佛山高中教师解题比赛]如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠B1A1A=∠C1A1A=60°,AA1=AC=4,AB =2,P,Q分别为棱AA1,AC的中点. (1)在平面ABC内过点A作AM∥平面PQB1交BC于点M,请写出作图步骤,但不要求证明; (2)若侧面ACC1A1⊥侧面ABB1A1,求直线A1C1与平面PQB1所成角的正弦值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)在平面ABB1A1内,过点A作AN∥B1P交BB1于点N, 连接BQ,在△BB1Q中,作NH∥B1Q交BQ于点H,连接AH并延长交BC于点M,则直线AM即为所求.   (2)连接PC1,AC1,因为AA1=AC=4,A1C1=AC,∠C1A1A=60°,所以△AC1A1为正三角形,因为P为AA1的中点,所 以PC1⊥AA1,又侧面ACC1A1⊥侧面ABB1A1,侧面ACC1A1∩侧面ABB1A1=AA1,PC1⊂侧面ACC1A1,所以PC1⊥ 平面ABB1A1, 以P点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz,则P(0,0,0),A1(0,2,0),C1(0,0,2 ),A(0,-2,0),C(0,-4,2 第1讲　描述运动的基本概念  ),Q(0,-3, ),B1( ,1,0), 则 =(0,-2,2 ), =(0,-3, ), =( ,1,0), 设平面PQB1的法向量为n=(x,y,z), 则 即  即 令x=-1,得n=(-1, ,3), 设直线A1C1与平面PQB1所成的角为θ,则sin θ=|cos< ,n>|= = = ,即直线A1C1与平面 PQB1所成角的正弦值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 一题多解　本题第(1)问还有以下求法: ①连接A1B和A1C,过A作AN∥PB1交A1B于N,过N作NM∥A1C交BC于M,连接AM.   ②延长BA,B1P交于R,连接RQ并延长交BC于K,过A作AM∥QK交BC于M.   第1讲　描述运动的基本概念 ③过A作AT∥PB1交BB1于T,过A作AS∥PQ交C1C的延长线于S,连接TS交BC于M,连接AM.   第1讲　描述运动的基本概念 5.[创新题·新情境][2026甘肃武威月考]从O点引出三个不共面的向量e1,e2,e3,它们之间的位置关系和 右手拇指、食指、中指的位置相同,则这个标架(记为{O;e1,e2,e3})构成右手标架,如图所示.规定:a×b为一 个向量,它的长度为|a|·|b|sin<a,b>,它的方向与向量a,b均垂直,且使{O;a,b,a×b}构成右手标架.该运算满 足:a×(λb)=λ(a×b);(a+b)×c=a×c+b×c;c×(a+b)=c×a+c×b.已知i,j,k为单位正交基底,且{O;i,j,k}构成右手标 架,以i,j,k的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,若m=xi+yj+zk,则记m=(x,y,z). (1)证明:a×b=-(b×a); (2)已知向量a=(1,2,0),b=(1,0,3),求a×b的坐标表示; (3)①在三棱锥O-ABC中, × =(1,2,2), =(2,1,2),求三棱锥O-ABC的体积VO-ABC; ②请结合“×”与“数量积”的几何意义,用 , ,  表示平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:若a与b共线,则a×b=b×a=0,满足a×b=-(b×a); 若a与b不共线,则|a×b|=|a||b|·|sin<a,b>|=|b||a||sin<b,a>|=|b×a|,即a×b与b×a的模相等, 根据定义知a×b与b×a同时垂直于a,b,因此a×b与b×a共线, 由题意知a,b,a×b与b,a,b×a按顺序分别构成右手标架{O;a,b,a×b}与{O;b,a,b×a},所以a×b与b×a的方向相 反,因此a×b=-b×a. 综上知,a×b=-(b×a). (2)由题知,a=(1,2,0)=i+2j,b=(1,0,3)=i+3k, 则a×b=(i+2j)×(i+3k)=i×i+i×3k+2j×i+2j×3k, 由定义知i×i=j×j=k×k=0,i×k=-j,j×i=-k,j×k=i, 代入上式得a×b=6i-3j-2k,因此a×b的坐标表示为(6,-3,-2). (3)①结合定义可知,| × |的几何意义为以OA,OB为邻边的平行四边形的面积, 第1讲　描述运动的基本概念 所以S△OAB= | × |= , 易得 =(2,1,2)在 × 上的投影的长度为 = , 所以VO-ABC= S△OAB· = × × = . ②由|a×b|的几何意义可得平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的面积为| × |, 点A1到底面ABCD的距离为 在底面ABCD的法向量 × 上的投影的长度, 因此 =| × |· (注:此公式也可以直接应用在选择、填空题中). 第1讲　描述运动的基本概念 素养点评　本题主要考查与空间向量有关的新定义运算.新定义类试题的要点在于超越机械记忆,直指 对核心素养的考查.这类试题往往通过创设陌生情境,引导学生将已有的数学知识、思想方法进行有效 迁移,并灵活应用于解决新问题.学生需从新情境中抽象出核心模型,依靠逻辑推理构建解题路径,然后 进行精准运算,同时借助直观想象洞察结构间的关联,通过数据分析把握其内在规律,并最终完成数学 建模,实现从实际问题到数学结论的转化. 第1讲　描述运动的基本概念 $