1.3.2空间向量运算的坐标表示同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以基础巩固为核心，通过题型梯度实现从单一知识点到综合应用的进阶，培养数学运算与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|空间向量垂直、平行、模长的坐标表示|单选题（1-7题）、填空题（10-13题）聚焦单一运算，如第1题直接考查垂直的坐标条件| |能力提升|共面判定、数量积等多知识点综合|多选题（8-9题）强化概念辨析，如第8题结合共面与数量积判断| |综合应用|坐标运算与夹角计算的综合问题|解答题（14-16题）构建问题链，如第14题先求坐标再算夹角余弦值|

1.3.2 空间向量运算的坐标表示 同步练习（附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 2．已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 3．设，，向量，，，则（   ） A． B． C． D．1 4．已知向量．若，则（   ） A． B．4 C．1 D． 5．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知空间向量，则（   ） A． B． C． D． 7．设向量，，若，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 9．已知空间向量则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．与夹角余弦值为 D． 三、填空题 10．若，则与共线反向的单位向量=___________. 11．空间向量在上的投影向量的模为__________. 12．已知向量，若，则________． 13．已知空间向量，，若，则________． 四、解答题 14．已知，，求： (1)； (2)向量与夹角的余弦值. 15．已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 16．已知向量. (1)求向量的坐标； (2)求与夹角的正弦值. 《1.3.2 空间向量运算的坐标表示 同步练习（附解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C C B C B AC 题号 9 答案 BC 1．C 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 2．C 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【详解】由向量加法得， 所以. 3．C 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】利用空间向量共线的坐标表示列式求出即可. 【详解】向量，，由，得，解得， 所以. 故选：C 4．C 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【详解】由题意，，即. 5．B 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示求出的值，可求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值. 【详解】因为，，且，则，解得， 所以，故，故， 故选：B. 6．C 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、求空间向量的数量积 【分析】根据题意，利用空间向量的夹角公式，求得，即可求解. 【详解】由向量，，可得， 则， 因为，所以. 故选：C. 7．B 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】由向量的夹角公式结合向量的数量积与模长公式进行计算即可. 【详解】因为，则有， ， 解得，由题得，故. 故选：B 8．AC 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、判定空间向量共面、求空间向量的数量积、空间向量模长的坐标表示 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以是共面向量，B错误； ，所以，C正确； ，D错误. 9．BC 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据向量的数量积为零判断AD，根据模长公式求解判断B，根据向量夹角的余弦公式求解判断C. 【详解】对于A，因为，故， 故，故A正确. 对于D，， 故即，故D正确. 对于B，，故B错误. 对于C，，,， 故，故C错误. 10． 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【详解】∵ ，∴ . ∵ 单位向量与共线且反向， ∴ . 11．/ 【知识点】求投影向量、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据投影向量的定义和空间向量夹角的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以空间向量在上的投影向量的模为 . 故答案为： 12． 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【详解】因为，所以， 即， 解得，则． 13． 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】利用空间向量共线的坐标表示可求得、的值，可得出向量的坐标，再利用空间向量的模长公式可求得的值. 【详解】因为空间向量，，且， 则，解得，， 所以，故. 14．(1) (2) 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量的坐标运算 【详解】（1）因为，所以， 解得，则， 因为，所以，即， 解得，所以. （2）由（1）得， 所以向量与夹角的余弦值为 . 15．(1) (2)． 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】（1）利用空间向量的加减运算及数乘运算得，再利用空间向量的模计算即可； （2）利用空间向量的数量积和夹角公式计算得结论． 【详解】（1）， 所以， 则， 解得． （2）因为，，所以， 又，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为． 16．(1)， (2) 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】（1）根据向量平行坐标关系，可求得m，n值，即可得坐标，根据向量垂直坐标关系，可求得k值，即可得坐标. （2）由（1）得与坐标，根据向量夹角公式，结合同角三角函数关系，即可得答案. 【详解】（1）因为，且， 所以，解得，所以； 因为，所以， 解得，所以. （2）由（1）得， 则， ， 所以， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $