1.2 空间向量基本定理-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（人教A版）

1.2空间向量基本定理 白题 基础过关 限时：30min 题组1空间向量基本定理的理解 5.(2025·福建厦门双十中学高二月考)如图， 1.（2025·湖北武汉高二月考)在四棱台 在四棱柱ABCD-A1B,C,D1中，底面ABCD是 ABCD-A,B,C,D1中，一定能作为空间向量的 平行四边形，点E为BD的中点，若A尼= 一个基底的是 xAA+yAB+zAD,则x+y+z= A.AB,AD,B.D B.{A店，AA,CD 题组3空间向量基本定理的应用 C.AB,AA,A D D.AA,AC,CC 6.(2025·四川眉山高二期中)如图，棱长为1 2.下列说法中正确的是 ( 的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则 A.任何三个不共面的向量都可构成空间的 BA.CE= 个单位正交基底 B.不共面的三个向量就可构成空间的单位正 交基底 C.单位正交基底中的基向量的模为1，且互相 垂直 D.不共面且模为1的三个向量可构成空间的单 4 B、 .③ 4 D.3 位正交基底 7.(2025·江西上饶高二月考)在棱长为6的正 3.已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底，若e,+ e2+e3=0,则入2+u2+2= 四面体ABCD中，点P与Q满足P=?A店，且 题组2用基底表示空间向量 C币=2C0,则1P1的值为 () 4.（2025·河南洛阳高二月考)如图，在四面 A.√13 B.√15C.17 D.19 体ABCD中，E,G分别是CD,BE的中点，则 8.如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，E,F分别 AG= ( 是BB1,D1B,的中点，求证：EF⊥平面B,AC A.++dB.+0+花 c函+D+花证Dc (第4题) (第5题) 选择性必修第一册·RJA黑白题O06 黑题 应用提优 限时：35min 1.如果向量a,b与任何向量都不能构成空间的 ua2+va成立？如果存在，求出入，u,v的值； 一个基底，则一定有 ( 如果不存在，请给出证明. A.a与b共线 B.a与b同向 C.a与b反向 D.a与b共面 2.（多选)已知M,A,B,C四点互不重合且任意 三点不共线，则下列式子中能使{M瓜，MB, MC}成为空间的一个基底的是 Aom-0i+好0d d B.MA=MB+MC C.0M=0A+0B+0C D.60M=0A+20B+30C 3.(2025·江苏无锡高二月考)如图，在平行六 面体ABCD-A,B,C,D1中，E为BC延长线上 压轴挑战川 点，BC=2C正，则DE可以表示为 1.(（2025·河北保定高二月考 长为1的正方体ABCD-A,B 中，P为正方体内一动点( A=xA店+yAD+zAA,且0≤x≤y≤1，则 A.AB+)而+ B.AB+AD-AAT P吊·PB的取值范围是 C.店+而+ D.丽+-M A.[-1,1] B好川 4.(多选)(2025·山西吕梁高二月考)已知i, j,k是空间中三个向量，则下列说法错误的是 C.[1,2] 片2列 ( 2.(2025·福建厦门高二期 A.对于空间中的任意一个向量m,总存在实 中)如图，在三棱锥P-ABC 数x,y,a,使得m=xi+yi+zk 中，G为△ABC的重心， B.若{i,j,k}是空间的一个基底，则{-3j, Pi=入PA,P吃=uPB,P序= +k,k-2}也是空间的一个基底 C.若i⊥j,k⊥j,则i∥k 元Ae0,,若Pc D.若i,j,k所在直线两两共面，则ij,k共面 交平面DEF于点M,且PM= 5.已知{i,j,k}是空间的一个基底，设a1=2i- jtk,a2=i+3j-2k,a3=-2i+j-3k,a4=3i+2i+ PE,则Aμ的最小值为 5k.试问：是否存在实数入，w,v,使a4=入a1+ 进阶突破拔高练P02 第一章黑白题007分应.动-破d+市.店}亦-动耐=7×4 子×8=0，即1成，则AM与PN所成的角为90故答案为90 9.2解析成=0-0应=(0成+0)-0i112=(0i+ o成-02-(40心+0+20i.0成-2i.0i-20成.0) 又由已知得10i=101=10心1=2,0i10成，0i10元，0成.0元=2× 2x-2,2=}×(4+4+4+4)=41=2,即EF=2故答 案为2. 10.2√13解析：因为线段AC,BD分别在这个二面角的两个半平面 内，且都垂直于AB,又二面角a--B的大小为60°，所以C,B)= 180°-60°=120.因为C=C+AB+B,所以C=C+A2+B+ 2Ci.A+2Bi.Ci+2A店·Bi=62+42+62+2×0+2×6×6× ()+2x0=52,所以1a动1=2vB,所以c0的长度为2v压放 答案为2√3. 11.解：(1)设A店=a,A⑦=b,AA=c,则1al=1cl=2,1b1=4,a·b= 6c=ca=0,欧-c-a),成.m-成.（武+i=b: [2ca)+6]2bcab42=16 (2)成.瓜=(m+·(+)=（c-a+2b）·(a+ c)=c2-a2=22-22=0. (3)成.元=(+a)·(而+D,C)=[片(-应)+ }](}市应)[片e-a)+](*a） 6a)+2++-2 2 422 12.解：(1)1A1=1A1=1,1A41=4,且A店.A市=0，A店.A4=A市. AA=1×4×co860°=2.因为AC=A店+Ad+AA,所以1AC2= (AB+AD+AA)2=1AB12+1AD12+1AA12+(AB-AD+AB.AA+ Ad.AA)=1+1+16+2×(0+2+2)=26.所以AC1=√26. (2)因为=成-成=（应++2市）-（市++2应） 名感-动，耐·G分（应-动）·（破+市+瓜） 子（前2+破.市+.武-店.动-2-市. 子(1+02-01-2)=0，所以14C故C与的夹角余弦值 为0. 13.证明：PA1PC,PB⊥PC,PA⊥PB, .P.P心=0，P市.P心=0，Pi.Pi=0,PA1平面PBC :.P.BC=0.由题意可知，PH1平面ABC, .Pi.B武=0，Pi.AB=0,Pi.A心=0. .A应.B武=(Pi-pi·B武=Pi.B戒-pi.B武=0. :.Ai⊥B武，AH⊥BC. 同理可证BH⊥AC,CH⊥AB..H是△ABC的垂心. 四方法总结 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以通过向量共线 确定点在线段上的位置. (2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角. (3)可以通过lal=√a2,将向量的长度问题转化为向量数量积的问 题求解， 参考答案 压轴挑战 1.B解析：如图，EF是棱长为8的正方体的一条体 对角线，其长度为√82+82+82=83.设EF中点为 0,则0市=-0成，且101=101=43，则M市. M亦=(Md+0)·(Md+o)=(Md+oi)·(Md 0i)=1Md12-10i12=1Md12-(43)2=10M12- 48.由于点M在正方体表面上运动，故1OM12的最 小值为O点与正方体一个面的中心连线的长，即为正方体棱长的一 半，为=4，所以店·的最小值为4-48=-32故选B 引解折：设d0=成=1，则可成=店，元： 2. 0.0d-7,由或-d-0i=u(o成-0，可得od=u0d+(1 μ)0i,0.P=0币.(0-0)=0币.0-0应=λ(0i+0成) 0成(1y0-(成7-0，化简得}-子-31=00 B戒.P=B戒.(0d-O)=u(0元-0)·[u0d+(1-u)0i A(d0]=-0,化简可得-子+号u=02,联立02得 「31 224-3升=0， 5 3 解得 λ11’ 故答案为入= 5 3 1.2空间向量基本定理 白题 基础过关 1.C解析：对于A,因为B1D∥Bi,所以{AB,Ai,B1D}中三个向量 共面，不能作为空间向量的基底，A错误；对于B,因为在四棱台中， A∥CD,所以{A,AA,CD}中三个向量共面，不能作为空间向 量的基底，B错误：对于C,A1D∥AD,且AB,A1A,A不共面，所以 {A,AA,AD}中三个向量不共面，能作为一个基底，C正确；对于 D,因为AM,A花，CC三个向量均在平面ACCA1内，所以{AA,A花， CC}不能作为空间向量的基底，D错误故选C. 2.C解析：单位正交基底中的三个向量必须是模等于1，且两两互相 垂直的一组向量故选C. 3.0解析：{e1,e2,e3}是空间的一个基底，.e1,e2,e3为不共面的向 量.又e1+ue2+e3=0,.A=u=u=0,.X2+u2+2=0. 4D解折：由E,G分别是cD,BE的中点，则成=成，应=动， 花=+感-+成=+子（成+）=+子（花-破+ 动)-亦花好市-破+}动+花故 选D. 5.0解析：在四棱柱ABCD-A1B,C1D1中，底面ABCD是平行四边形， 点E为D的中点，所以A在=+成+眩=++子励=A+ 应+2威动=+动，又立dy:动所 以=-l,y=分=弓，即：=0故答案为0 1 6.A解析：因为C壶=C+A应，所以BA.C市=B.(C+A)=B.C+ 威·应，又威=d=1,=子，(，=牙，威，应》= 所回.正-1o号1宁a行女放选 7.D解析：如图，以{A店，A亡，A为基底，则1A1=1A心1=1A1=6, ∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°，所以A.AC=A.AD=A元.AD=6× 黑白题03 6x60=18因为P=4d-市=号(A花+动)-子应：-子店+ 花+号诚所以2（子破+市)°=号+ 子+}-子破.花号破.而花.办169+9 12-12+9=19.所以1P1=√19故选D. . D 0 8.证明：设A店=a,4=b,Ai=c,有a·b=0,a·c=0,c·b=0,则 应，，动为一个正交蒸底，则成=屈+市=子（丽+ B,D)=子(ad+动=子(+市-)=子(b+e-a),丽-+ 照=d-=ab成.ad=2(bca）(a+b)-(b Ia2)=0,EF⊥AB1.同理可得EF⊥B1C.AB1nB1C=B1,.EF1 平面B1AC. 黑题应用提优 1.A解析：由空间向量基本定理可知若向量a,b与任何向量都不能构 成空间的一个基底，则一定有a与b共线.故选A. 2.AC解析：对于选项ACD,由O成i=xOi+yO店+zO(x+y+z=1),可 得M,A,B,C四点共面，即M,M市，M元共面，所以选项A中，MA,M, M心不共面，可以构成基底；选项C中，M,M,M心不共面，可以构成 基底：选项D中，因为60成=可+2成+30心，所以O成=。可+ 号应0心，可得M,AB,C四点共面，即d,应，成心共面，无法构 成基底，故选项D错误；对于选项B,根据平面向量基本定理，因为 M=M+M心，得Mi,M店，M心共面，无法构成基底，故选项B错误故 选AC. 3.B解析：因为B戒=2C成，所以B成=3花，所以D,龙=A花-AD=A店+ 成-（动+）=+成-（市+）=+市-（市+）= +市-故选B, 4.ACD解析：对于A,由空间向量基本定理，可知只有当ij,k不共面 时，ij,k才能作为基底，才能得到m=xi+y+k,故A错误；对于B,若 {ij,k}是空间的一个基底，则i,j,k不共面，设i-3j=入(U+k)+ (A=-3, u(k-2i)=j-24i+(A+)k,则-2μ=1，因为A,u无解，所以i-3j, A+u=0. j+k,k-2i也不共面，所以{-3j,j+k,k-2}也是空间的一个基底，故 B正确；对于C,若i⊥j,k⊥j,则i,k不一定平行，故C错误；对于D, 若i,Jj,k所在直线两两共面，则i,j,k不一定共面，故D错误故 选ACD. 5.解：存在.假设存在实数入，，v使a4=入a1+ua2+va3成立，则有3i+2j+ 5k=入(2i-jtk)+u(i+3j-2k)+v(-2i+j-3k)=(2λ+u-2u)i+(-入+ 3u+w)j+(A-2μ-3u)k.:{ij,k是一个基底，ij,k不共面. (2入+u-2u=3,(入=-2， -A+3+v=2,解得u=1, （(λ-2-3u=5, (v=-3. 故存在A=-2,4=1,=-3使结论成立. 压轴挑战 1.D解析：满足条件的点P在三棱柱ACD-A,C,D1内.如图，设0为 BB1的中点，连接AC1,A1C相交于点E,连接OE,OD1,A1C1,B1D1, 选择性必修第一册·RJA 因为B1D1⊥A1C1,B1D1⊥A1A,且A1A∩ D A1C1=A1,A1A,A1C1C平面A1C1CA,所以 B1D1⊥平面A1C1CA,又OE∥B,D1,所以 A 0B1平面A1C,CM因为0B=B,D,= 。,13 2,0D,=VB,D+0B=√2+4=2， 所以e[停名]所以成，网 (Pi+0)·(P%+0呢)=P2-10前2=1Pd2-}因为1Pdie [受，]所以店，P丽的取值范围为[2]，故选D 2.1解析：因为P成=成成i+子×子(+d)=成(+P成 p戒=}pi+i+成，所以p成=成=。(+Pi+心) 因为励-A成，成=u店，成：，所以成市+店+ 6入 6u 床因为双D,BF图点共面所太女了1，所以女 4图为A子a)(）号(：货+)=1，当且仅 当入=u=之时等号成立，所以Au的最小值为1，故答案为1 1.3空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1空间直角坐标系+ 1.3.2空间向量运算的坐标表示 白题 基础过关 1.BCD解析：A.在空间直角坐标系中，x轴上的点的坐标一定是(a, 0,0),∴.A错误；B.在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标 一定可写成(0，b,c),∴.B正确；C.在空间直角坐标系中，在z轴上 的点的坐标可记作(0,0，c),∴.C正确；D.在空间直角坐标系中，在 Oxz平面上的点的坐标是(a,0,c),.D正确.故选BCD. 2.C解析：由题意可知：点A(1,2,3)到平面0y的距离为该点竖坐标 的绝对值，即为3.故选C. 3.C解析：点A(-2,1,5)关于x轴的对称点的坐标为(-2，-1，-5)， 故选C. 4.D解析：空间直角坐标系0z中，点关于Oxy平面对称的点的横、 纵坐标不变，竖坐标变为相反数，所以点A(1,-2,3)关于Oy平面对 称的点的坐标为(1，-2，-3).故选D. 5.0解析：由条件可知点P在平面0y与平面0z的交线y轴上，由 y轴上的点的特征知a=0,c=0,b∈R,故a+c=0.故答案为0. 6.D解析：由题意可得AB=(1,-1,4)-(-2,1,3)=(3,-2,1).故选D. 7.A解析：因为向量p在基底{a,b,c下的坐标为(8,6,4)，即p=8a+ 6b+4c,又因为a=i+j,b=j+k,c=k+i,则p=8a+6b+4c=8(i+j)+ 6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k,因此，向量p在基底{i,j,k}下的坐 标是(12,14,10).故选A 8.A解析：因为a=(1,-2,1),b=(-1,2,-1),所以a-b=(2,-4,2), 故选A. 9.D解析：由a=(3,-2,1),b=（-2,4,0),可得4a=(12,-8,4),3b= (-6,12,0),所以4a+3b=(6,4,4).故选D. 10.D解析：a·b=2x+1-x=2,解得x=1.故选D. 11.B解析：因为a=(-1,2,1),b=(1,3,2),所以a+b=(0,5,3),2a b=(-3,1,0),则(a+b)·(2a-b)=0x(-3)+5×1+3×0=5.故选B. 12B解折：由已知得后号子所以=-3，y=2,散y-1,故 选B. 13.A解析：因为a⊥b,所以a·b=0,所以2×(-4)-2+3x=0,整理，得 3红=10，解得：9故选入 黑白题04