1.3.1　空间直角坐标系课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间直角坐标系，涵盖坐标系建立、点与向量坐标表示、对称及中点公式等核心知识，通过平面直角坐标系类比导入，以“填一填”“练一练”搭建从二维到三维的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于问题驱动探究，如互动探究中正方体建系求坐标，培养数学眼光观察空间形式，通过类比推理（平面到空间对称规律）发展数学思维，分层作业帮助学生用数学语言表达空间关系，助力学生提升空间观念与逻辑推理，为教师提供结构化资源，便于高效教学。

第一章　空间向量与立体几何 1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1　空间直角坐标系 【学习与目标】　 自主学习通道 目录 互动探究通道 巩固提升通道 高效课时作业 自主学习通道 自研教材 梳理必备知识 返回目录 自主学习通道 单位正交基底{i，j，k} 正方向 坐标轴 原点 自主学习通道 正方向 正方向 正方向 自主学习通道 自主学习通道 有序实数组(x，y，z) 横坐标 纵坐标 竖坐标 a＝xi＋yj＋zk (x，y，z) 自主学习通道 自主学习通道 自主学习通道 √ × × √ 自主学习通道 C A 自主学习通道 (－4，0，0) 互动探究通道 师生共研 探究重点难点 返回目录 互动探究通道 C 互动探究通道 (0，0，0)，(1，1，0) 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 (2，－3，1) 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 (1，0，0) (1，0，1) (－1，1，－1) 互动探究通道 巩固提升通道 当堂巩固 验收关键能力 返回目录 巩固提升通道 巩固提升通道 A 巩固提升通道 B B 巩固提升通道 (－4，2，3) 高效课时作业 返回目录 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ABD 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (－1，－2，－1) 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (－5，－1，－2) 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ACD 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1，1，1) 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Thank you for watching. 1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 填一填 1．空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个 eq \o(□,\s\up4(1)) ．以点O为原点，分别以i，j，k的方向为 eq \o(□,\s\up4(2)) 、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做 eq \o(□,\s\up4(3)) ．这时就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做 eq \o(□,\s\up4(4)) ，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 2．右手直角坐标系的定义 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的 eq \o(□,\s\up4(5)) ，食指指向y轴的 eq \o(□,\s\up4(6)) ，如果中指指向z轴的 eq \o(□,\s\up4(7)) ，则称这个坐标系为右手直角坐标系， 如图所示． 【提醒】　画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°. 3．空间直角坐标系中的坐标 (1)空间直角坐标系中点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中(如图)，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量 eq \o(OA,\s\up15(→))，且点A的位置由向量 eq \o(OA,\s\up15(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使 eq \o(OA,\s\up15(→))＝xi＋yj＋zk. 在单位正交基底{i，j，k}下与向量 eq \o(OA,\s\up15(→))对应的 eq \o(□,\s\up4(8)) ，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的 eq \o(□,\s\up4(9)) ，y叫做点A的 eq \o(□,\s\up4(10)) ，z叫做点A的 eq \o(□,\s\up4(11)) ． (2)空间直角坐标系中向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作 eq \o(OA,\s\up15(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使 eq \o(□,\s\up4(12)) ．有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝ eq \o(□,\s\up4(13)) ． 【提醒】　(1)落在坐标轴和坐标平面上的点的特点： (2)空间中两点的中点坐标公式： 类比于平面，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB的中点C的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2))). 练一练 1．判断正误 (1)空间直角坐标系中的任意一点的坐标是唯一的．(　　) (2)空间直角坐标系中x轴上点的横坐标x＝0，竖坐标z＝0.(　　) (3)空间直角坐标系中Ozx平面上点的坐标满足z＝0.(　　) (4)关于坐标平面Oyz对称的点的坐标其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反．(　　) 2．点(2，0，3)在空间直角坐标系中的(　　) A．y轴上 B．Oxy平面上 C．Ozx平面上 D．Oyz平面上 解析　点(2，0，3)的纵坐标为0，所以该点在Ozx平面上． 3．已知点A(－1，2，7)，则点A关于x轴对称的点的坐标为(　　) A．(－1，－2，－7) B．(－1，－2，7) C．(1，－2，－7) D．(1，2，－7) 解析　点(－1，2，7)关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－7)． 4．在空间直角坐标系中，自点P(－4，－2，3)引x轴的垂线，则垂足的坐标为 ． 解析　∵点P(－4，－2，3)， ∴自点P引x轴的垂线，垂足坐标为(－4，0，0)． 类型一　求空间点的坐标　　　　　　自主探究 1．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过点P作平面Ozx的垂线PQ，垂足为Q，则点Q的坐标为(　　) A．(0，2，0) B．(0，2，3) C．(1，0，3) D．(1，2，0) 解析　因为PQ⊥平面Ozx，Q为垂足，所以点Q在平面Ozx内，即纵坐标为0，故点Q的坐标为(1，0，3)． 2．画一个正方体ABCD­A1B1C1D1，若以A为坐标原点，分别以 eq \o(AB,\s\up15(→))， eq \o(AD,\s\up15(→))， eq \o(AA1,\s\up15(→))的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 ①顶点A，C的坐标分别为 ； ②棱C1C中点的坐标为 ； ③正方形AA1B1B的对角线的交点的坐标为 . eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2))) 1．若坐标系已给出，则不用再建系，若未给出坐标系，则建立空间直角坐标系时应遵循以下原则： (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； (2)充分利用几何图形的对称性． 2．求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)进而确定第三个坐标． 类型二　空间点的对称问题 【例1】　在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4). (1)求点P关于y轴的对称点的坐标； (2)求点P关于Oyz平面的对称点的坐标； (3)求点P关于点N(－5，4，3)的对称点的坐标． 解　(1)由于点P关于y轴对称后，它的纵坐标不变，横坐标和竖坐标变为原来的相反数，故对称点的坐标为P1(2，1，－4). (2)由于点P关于Oyz平面对称后，它的纵坐标和竖坐标不变，横坐标变为原来的相反数，故对称点的坐标为P2(2，1，4). (3)设所求对称点为P3(x，y，z)，则点N为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得－5＝ eq \f(－2＋x,2)，4＝ eq \f(1＋y,2)，3＝ eq \f(4＋z,2)，即x＝2×(－5)－(－2)＝－8，y＝2×4－1＝7，z＝2×3－4＝2，故P3(－8，7，2)． 空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解． (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论． [跟踪训练1]　已知点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为 ． 解析　点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为(－2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3，1)． 类型三　求空间向量的坐标 【例2】　如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量 eq \o(BN,\s\up15(→))， eq \o(BA1,\s\up15(→))， eq \o(A1B,\s\up15(→))的坐标． 解　由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示． 记x，y，z轴正方向上的单位向量分别为i，j，k，则 eq \o(CA,\s\up15(→))＝i， eq \o(CB,\s\up15(→))＝j， eq \o(CC1,\s\up15(→))＝2k， 则 eq \o(BN,\s\up15(→))＝ eq \o(BA,\s\up15(→))＋ eq \o(AN,\s\up15(→))＝ eq \o(CA,\s\up15(→))－ eq \o(CB,\s\up15(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(CC1,\s\up15(→))＝i－j＋k＝(1，－1，1). eq \o(BA1,\s\up15(→))＝ eq \o(BA,\s\up15(→))＋ eq \o(AA1,\s\up15(→))＝ eq \o(CA,\s\up15(→))－ eq \o(CB,\s\up15(→))＋ eq \o(CC1,\s\up15(→))＝i－j＋2k＝(1，－1，2). eq \o(A1B,\s\up15(→))＝ eq \o(A1A,\s\up15(→))＋ eq \o(AB,\s\up15(→))＝ eq \o(CB,\s\up15(→))－ eq \o(CA,\s\up15(→))－ eq \o(CC1,\s\up15(→))＝－i＋j－2k＝(－1，1，－2)． 求空间向量坐标的方法 将待求向量用基向量表示出来，对应项系数形成的有序实数组即为所求的向量坐标．此时要注意向量表示中基向量的先后顺序要与基底中基向量的顺序保持一致，这种方法对于有无坐标系的情形都适用，一般步骤如下： [跟踪训练2]　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则 eq \o(AB,\s\up15(→))的坐标为 ， eq \o(DC1,\s\up15(→))的坐标为 ， eq \o(B1D,\s\up15(→))的坐标为 ． 解析　记x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量分别为i，j，k，则 eq \o(AB,\s\up15(→))＝i， eq \o(AD,\s\up15(→))＝j， eq \o(AA1,\s\up15(→))＝k. 则 eq \o(AB,\s\up15(→))＝i＋0j＋0k＝(1，0，0)． eq \o(DC1,\s\up15(→))＝ eq \o(DC,\s\up15(→))＋ eq \o(CC1,\s\up15(→))＝ eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(AA1,\s\up15(→))＝i＋0j＋k＝(1，0，1). eq \o(B1D,\s\up15(→))＝ eq \o(B1B,\s\up15(→))＋ eq \o(BC,\s\up15(→))＋ eq \o(CD,\s\up15(→))＝－ eq \o(AA1,\s\up15(→))＋ eq \o(AD,\s\up15(→))－ eq \o(AB,\s\up15(→))＝－i＋j－k＝(－1，1，－1)． 1．知识清单 (1)空间直角坐标系的概念． (2)空间点的坐标． (3)空间向量的坐标． 2．方法归纳：数形结合、类比联想． 3．常见误区：混淆空间点的坐标和向量坐标的概念，只有起点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同． 1．(2023·泰州联考)点P(0，3，0)在空间直角坐标系Oxyz中的位置是(　　) A．在y轴上 B．在Oxy平面内 C．在Oyz平面内 D．在Ozx平面内 解析　点P的横坐标和竖坐标均为0，故点P在y轴上．故选A． 2．若点A(2，4，6)在空间直角坐标平面Oyz内的射影为点B，则A，B两点的中点坐标为(　　) A．(2，2，6) B．(1，4，6) C．(2，4，3) D．(1，4，3) 解析　由题意可得B(0，4，6)，所以A，B两点的中点坐标为(1，4，6)，故选B． 3．在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1，－2，5)关于平面Oyz对称的点B为(　　) A．(1，－2，－5) B．(－1，－2，5) C．(－1，－2，－5) D．(1，2，－5) 解析　关于平面Oyz对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相同．故选B． 4．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，若D(0，0，0)，A(4，0，0)，B(4，2，0)，A1(4，0，3)，则向量 eq \o(AC1,\s\up15(→))的坐标为 ． 解析　设 eq \f(1,4) eq \o(DA,\s\up15(→))＝i， eq \f(1,2) eq \o(DC,\s\up15(→))＝j， eq \f(1,3) eq \o(DD1,\s\up15(→))＝k，则{i，j，k}构成空间的一个单位正交基底．则 eq \o(AC1,\s\up15(→))＝ eq \o(AD,\s\up15(→))＋ eq \o(DC1,\s\up15(→))＝ eq \o(AD,\s\up15(→))＋ eq \o(DC,\s\up15(→))＋ eq \o(CC1,\s\up15(→))＝－ eq \o(DA,\s\up15(→))＋ eq \o(DC,\s\up15(→))＋ eq \o(DD1,\s\up15(→))＝－4i＋2j＋3k＝(－4，2，3)． 基础巩固 1．已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量，且 eq \o(OB,\s\up15(→))＝－i＋j－k，则点B的坐标是(　　) A．(－1，1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．不确定 解析　由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点B的坐标为(－1，1，－1)． 2．(2023·马鞍山质检)在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A的坐标为(－1，2，1)，点B的坐标为(1，3，4)，则(　　) A． eq \o(AB,\s\up15(→))＝(－1，2，1) B． eq \o(AB,\s\up15(→))＝(1，3，4) C． eq \o(AB,\s\up15(→))＝(2，1，3) D． eq \o(AB,\s\up15(→))＝(－2，－1，－3) 解析　设{i，j，k}为空间向量的一个单位正交基底，则 eq \o(OA,\s\up15(→))＝－i＋2j＋k， eq \o(OB,\s\up15(→))＝i＋3j＋4k，则 eq \o(AB,\s\up15(→))＝ eq \o(OB,\s\up15(→))－ eq \o(OA,\s\up15(→))＝(i＋3j＋4k)－(－i＋2j＋k)＝2i＋j＋3k＝(2，1，3)． 3．在空间直角坐标系中，已知M(－1，0，2)，N(3，2，－4)，则MN的中点Q关于Oxy平面的对称点的坐标是(　　) A．(1，1，－1) B．(－1，1，－1) C．(1，－1，－1) D．(1，1，1) 解析　因为M(－1，0，2)，N(3，2，－4)，所以MN的中点Q的坐标是(1，1，－1)，所以点Q关于Oxy平面的对称点的坐标是(1，1，1).故选D． 4．(2024·济南一中月考)设y∈R，则点P(1，y，2)构成的集合为(　　) A．垂直于Ozx平面的一条直线 B．平行于Ozx平面的一条直线 C．垂直于y轴的一个平面 D．平行于y轴的一个平面 解析　由空间直角坐标系中点的坐标的定义，易知点P(1，y，2)(y∈R)构成的集合为垂直于Ozx平面的一条直线． 5．以棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA1B1B的对角线交点的坐标为(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2))) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2))) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，\f(1,2))) 解析　连接AB1，则正方形AA1B1B的对角线交点的坐标即为线段AB1的中点的坐标．由题可得A(0，0，0)，B1(1，0，1)， 所以AB1的中点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2))).故选B． 6．(多选)下列命题正确的是(　 　) A．点(1，－2，3)关于坐标平面Ozx的对称点为(1，2，3) B．点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，－3))关于y轴的对称点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1，3)) C．点(2，－1，3)到坐标平面Oyz的距离为1 D．设i，j，k分别是x，y，z轴正方向上的单位向量，若m＝3i－2j＋4k，则m＝(3，－2，4) 解析　点(1，－2，3)关于坐标平面Ozx的对称点为(1，2，3)，故A正确；点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，－3))关于y轴的对称点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1，3))，故B正确；点(2，－1，3)到坐标平面Oyz的距离为2，故C错误；i，j，k分别是x，y，z轴正方向上的单位向量，若m＝3i－2j＋4k，则m＝(3，－2，4)，故D正确．故选ABD． 7．如图，正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为2，则图中的点M关于y轴的对称点的坐标为 . 解析　因为D(2，－2，0)，C′(0，－2，2)，所以线段DC′的中点为M(1，－2，1)，所以点M关于y轴的对称点的坐标为(－1，－2，－1)． 8．在空间直角坐标系中，若点(3，2，－1)关于Oxy坐标平面的对称点为点A，点(2，－1，1)关于坐标原点O的对称点为点B，则 eq \o(AB,\s\up15(→))的坐标为 ． 解析　由题意知A(3，2，1)，B(－2，1，－1)，所以 eq \o(AB,\s\up15(→))＝－5i－j－2k＝(－5，－1，－2)． 9．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝3，DC＝5，DD1＝4，在如图建立的空间直角坐标系中，求点B1与向量 eq \o(AC1,\s\up15(→))的坐标． 解　记x，y，z轴正方向上的单位向量分别为i，j，k，则 eq \o(DA,\s\up15(→))＝3i， eq \o(DC,\s\up15(→))＝5j， eq \o(DD1,\s\up15(→))＝4k，则 eq \o(DB1,\s\up15(→))＝ eq \o(DA,\s\up15(→))＋ eq \o(DC,\s\up15(→))＋ eq \o(DD1,\s\up15(→))＝3i＋5j＋4k，所以点B1的坐标为(3，5，4). eq \o(AC1,\s\up15(→))＝ eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(BC,\s\up15(→))＋ eq \o(CC1,\s\up15(→))＝ eq \o(DC,\s\up15(→))－ eq \o(DA,\s\up15(→))＋ eq \o(DD1,\s\up15(→))＝5j－3i＋4k＝－3i＋5j＋4k＝(－3，5，4)． 10．如图，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1，试建立适当的空间直角坐标系并写出向量 eq \o(MN,\s\up15(→))， eq \o(DC,\s\up15(→))的坐标． 解　如图，因为PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以可设 eq \o(DA,\s\up15(→))＝e1， eq \o(AB,\s\up15(→))＝e2， eq \o(AP,\s\up15(→))＝e3，以{e1，e2，e3}为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz. 因为 eq \o(DC,\s\up15(→))＝ eq \o(AB,\s\up15(→))＝e2， eq \o(MN,\s\up15(→))＝ eq \o(MA,\s\up15(→))＋ eq \o(AP,\s\up15(→))＋ eq \o(PN,\s\up15(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \o(BA,\s\up15(→))＋ eq \o(AP,\s\up15(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(PC,\s\up15(→)) ＝－ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up15(→))＋ eq \o(AP,\s\up15(→))＋ eq \f(1,2)( eq \o(PA,\s\up15(→))＋ eq \o(AD,\s\up15(→))＋ eq \o(DC,\s\up15(→))) ＝－ eq \f(1,2)e2＋e3＋ eq \f(1,2)(－e3－e1＋e2) ＝－ eq \f(1,2)e1＋0e2＋ eq \f(1,2)e3， 所以 eq \o(MN,\s\up15(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，\f(1,2)))， eq \o(DC,\s\up15(→))＝(0，1，0)． 能力提升 11．如图，△PAB是正三角形，四边形ABCD是正方形，| eq \o(AB,\s\up15(→))|＝4，O是AB的中点，平面PAB⊥平面ABCD，以直线AB为x轴、以过点O且平行于AD的直线为y轴、以直线OP为z轴建立空间直角坐标系Oxyz，E为线段PD的中点，则点E的坐标是 (　　) A．(－2，2， eq \r(3)) B．(－1，2， eq \r(3)) C．(－1，1， eq \r(3)) D．(－1，2，2) 解析　△PAB是正三角形，故P点的坐标为(0，0，2 eq \r(3))，因为四边形ABCD是正方形，| eq \o(AB,\s\up15(→))|＝4，所以D(－2，4，0)，又E为PD的中点，所以由中点坐标公式可得E(－1，2， eq \r(3)).故选B． 12．(多选)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则(　 　) A．点B1的坐标为(4，5，3) B．点C1关于点B对称的点的坐标为(5，8，－3) C．点A关于y轴对称的点的坐标为(－4，0，0) D．点C关于平面ABB1A1对称的点的坐标为(8，5，0) 解析　由题意可知，点B1的坐标为(4，5，3)，点C1(0，5，3)关于点B(4，5，0)对称的点的坐标为(8，5，－3)，点A(4，0，0)关于y轴对称的点的坐标为(－4，0，0)，点C(0，5，0)关于平面ABB1A1对称的点的坐标为(8，5，0)，因此A、C、D正确，B错误．故选ACD． 13．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为 ；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为 ． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)，－1)) 解析　由题意知p＝2a＋b－c，则向量p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1，1，1).设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p ＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，又∵p＝2a＋b－c， ∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x－y＝1，,z＝－1，))解得x＝ eq \f(3,2)，y＝ eq \f(1,2)，z＝－1， ∴p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)，－1)). 多元数学 14．(直观想象)如图，AF，DE分别是⊙O，⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，|AD|＝8，BC是⊙O的直径，|AB|＝|AC|＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标． 解　因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD， 所以OE⊥平面ABC. 又AF⊂平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以OE⊥AF，OE⊥BC. 又BC是圆O的直径，所以|OB|＝|OC|. 又|AB|＝|AC|＝6，所以OA⊥BC， |BC|＝6 eq \r(2)， 所以|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OF|＝3 eq \r(2)． 如图所示，以O为坐标原点，分别以OB，OF，OE所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则A(0，－3 eq \r(2)，0)， B(3 eq \r(2)，0，0)，C(－3 eq \r(2)，0，0)，D(0，－3 eq \r(2)，8)， E(0，0，8)，F(0，3 eq \r(2)，0)． $